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第五讲导数及其应用


一、考点强化 1.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切 线,两说法区别是____. 2.求函数导数的有关公式和运算法则你熟练吗? 3.函数在某个范围内增减的快慢及图象的“陡峭”、 “平缓”与函数在该区间上的导数有怎样的关系? 4.导数值为0的点一定是函数的极值点吗?其为函数在 该点取得极值的什么条件?

5.由曲线y=f(x),x轴,x=a,x=b所围成的曲边梯形面积与 定积分的关系怎样?

考点小测

1.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时, f/(x)>0,g/(x)>0,则x<0时 ( ) A.f/(x)>0,g/(x)>0 B. f/(x)>0,g/(x)<0 C.f/(x)<0,g/(x)>0 D. f/(x)<0,g/(x)<0
2.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在x=5处的切线斜率为( )

3.已知函数f(x)=x2+alnx(a为实数),若曲线y=f(x)只有

1 A. ? 5

1 B. 0 C. D. 5 5

一条切线且与直线x+y+3=0垂直,则a的取值范围( )
A. a≤0 B. a<0 C. a=1/8 D. a=1/8或a≤0

4.曲线 y

?e

1 x 2 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角
5 0

形的面积为______.

5.已知f(x)是偶函数,且 ?

f ( x)dx ? 6 ,则

?

5 ?5

f ( x)dx ? ___.

6.函数y=xsinx在x=θ处取得极值,则(1+θ2) (1+ cos 2θ)的值为______. 7.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点 的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+……+a99的值为__. 8.设气球以每秒100 cm3的常速注入气体,假设气体压 力不变,那么当气球半径为10cm时,气球半径增加的 速度为______.

典型考例 例1 设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀 速度c增长,则球的表面积增长速度与球半径 ( ) A. 成正比,比例系数为c B.成正比,比例系数为2c C. 成反比,比例系数为c D.成反比,比例系数为2c 例2 函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+1. (1)当a=2时,求f(x)在[0,3]内的最值; (2)若函数的极大值为m,求x的值l;

(3)设点P(l,m),求点P的轨迹方程.

例3 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).

(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处切线的斜率
为-3,求a,b的值;

(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.

例4(10陕西理) 已知函数 f ( x) ? x ,g(x)=alnx,a∈R.

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相
同的切线,求a的值和该切线的方程;

(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其
最小值φ(a)的解析式.

(3)对(2)中的φ(a)和任意的a>0,b>0,证明: / / ? (a) ? ? (b) / a?b / 2ab ? ( )? ?? ( ) 2 2 a?b

例4 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极 值点.
(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间; 25 x 2 (2)设a>0, g ( x) ? (a ? )e ,若存在ξ1 、 ξ2 ∈[0,4] 4 使得|f (ξ1)-g (ξ2)|<1成立,求a的取值范围.


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