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广东省五校2015届高三联考数学理试题 Word版含答案


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广东五校 2015 届高三年级联考试题 数 学 (理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后, 用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的 空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卷各题目指定区域 内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知 A ? A. ?1?

? x| x

2

? 4 x ? 5 ? 0 ? , B ? ? x | x 2 ? 1 ? ,则 A B ? (
B. ? 1 , ?1 , 5 ? C. ? ? 1 ?



D. ? 1 , ?1 , ? 5 ?

2 2.设条件 p: a ? 0 ;条件 q: a ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的

A.充分不必要条件 3.已知双曲线

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程为 2 2 a b
B. y ? ? 2 x C. y ? ?

A. y ? ? 2 x

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

4.下列命题不正确 的是 ... A.如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线,则两平面垂直; B.如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面,则两平面平行; C.如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线 和交线平行; D.如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直,则这两条直线垂直. 5.已知函数 f ?x ? ? ? A. f ?x ? 是偶函数 C. f ?x ? 是周期函数

?x 2 ? 1, x ? 0 ?cos x, x?0

则下列结论正确的是





B.

f ?x ? 的值域为 ?? 1,???

D. f ?x ? 是增函数

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6.在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC ? 1,则 BC ? ___ . A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

7.节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在内 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电 后 , 它 们 第 一 次 闪 亮 的 时 刻 相 差 不 超 过 2 秒 的 概 率 是 ( ) A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

7 8

8.在空间中,过点 A 作平面 ? 的垂线,垂足为 B ,记 B ? f? ( A) .设 ? , ? 是两个不同的平面,对 空间任意一点 P , Q1 ? f ? [ f? ( P)],Q2 ? f? [ f ? ( P)] ,恒有 PQ1 ? PQ2 ,则 ( )
0

A.平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角为 45 C.平面 ? 与平面 ? 平行 为 600

B.平面 ? 与平面 ? 垂直 D. 平面 ? 与平面 ? 所成的(锐)二面角

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题)

1 ? 2i 9. 复数 的值是 1? i

开始



10.若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 其前 n 项和为 Sn ,则

1 an (n ? N ? ) , 2
. .

S ? 2, k ? 1

S4 ? a4

k ? 2013



11. 执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是

? 0 ? x ? 2, ? 12. 已知不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域的面积 ?kx ? y ? 2 ? 0 ?
为 4 ,则 k 的值为__________.

是 1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1

13 . 将 A, B, C, D, E, F 六 个 字 母 排 成 一 排 , 且 A, B 均 在 C 的 同 侧 , 则 不 同 的 排 法 共 有 ________种(用数字作答) (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)
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14. (坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,曲线 C1 : ?

? x ? 2t ? 2a ( t 为参数) , ? y ? ?t

曲线 C2 : ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数).若曲线 C1 、 C2 有公共点, ? y ? 2 ? 2sin ?
O

B

则实数 a 的取值范围____________. 15. (几何证明选讲)如图,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 2, BC ? 6, ?CAB ? 120 ,则 ?AOB 对应的劣弧长为 .

A C
第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系下,已知 A(2, 0) , B(0, 2) , C (cos 2 x,sin 2 x) , f ( x) ? AB ? AC . (1)求 f ( x ) 的表达式和最小正周期; (2)当 0 ? x ?

uu u r uuu r

?
2

时,求 f ( x ) 的值域。

17. (本题满分 12 分) 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生, 将其数学成绩 (均为整数) 分成六段 ?40,50? ,?50,60? … ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回 答下列问题: (Ⅰ)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个 频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的 平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到 的学生成绩在 ?40,60? 记 0 分,在 ?60,80? 记 1 分, 在 ?80,100? 记 2 分,用 ? 表示抽取结束后的总记分, 求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本题满分 14 分) 如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为 平行四边形,DC ? 平面 ABC , AB ? 2 ,
第 17 题图

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已知 AE 与平面 ABC 所成的角为 ? ,且 tan ? ? (1)证明:平面 ACD ? 平面 ADE ;

3 . 2

(2)记 AC ? x , V ( x) 表示三棱锥 A-CBE 的体积,求 V ( x) 的表达式; (3)当 V ( x) 取得最大值时,求二面角 D-AB-C 的大小. 19. (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 5 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? , 令 bn ?

1 . an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 f ? x ? ? 2x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2? ?

1 ? bn f ? n ? ? ( n ≥ 1 ). 6

20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 (?2,0) , F2 2,0 ,点 A(2, 3) 在椭 圆 C1 上, 过点 A 的直线 L 与抛物线 C2 : x2 ? 4 y 交于 B,C 两点, 抛物线 C2 在点 B,C 处 的切线分别为 l1,l2 ,且 l1 与 l2 交于点 P . (1) 求椭圆 C1 的方程;

?

?

P ? 若存在, (2) 是否存在满足 PF 指出这样的点 P 有几个 (不 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
必求出点 P 的坐标); 若不存在,说明理由.

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (1) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2 f (b) ? f (a) ?a?b? (3) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?
(2) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ?
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数学(理科)参考答案
一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. ?

1 3 ? i 2 2

10. 15

11.

1 2

12.1

13.480

14. 2 ? 5 ? a ? 2 ? 5 ( 或 [2 ? 5, 2 ? 5] )

15.

2 ? 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: 解: (1) AB ? (?2, 2) , AC ? (?2 ? cos 2x,sin 2x)

uu u r

uuu r

…………1 分

∴ f ( x) ? (?2, 2) ? (cos 2 x ? 2,sin 2 x) ? 4 ? 2 cos 2 x ? 2sin 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ∴ f ( x ) ? 2 2 sin(2 x ?

?
4

)?4,

?
4

)?4, 2? ?? , 2

…………6 分 …………8 分

∴ f ( x ) 的最小正周期为 T ? (2)∵ 0 ? x ?

?
2

∴?

?
4

? 2x ?

?
4

?

3? 2 ? ∴? ? sin(2 x ? ) ? 1. 4 2 4
…………12 分

∴ 2 ? f ( x) ? 4 ? 2 2 .所以函数 f ( x ) 的值域是 (2 , 4 ? 2 2 ] .

17. (本题满分 12 分) (Ⅰ)设分数在 ?70,80? 内的频率为 x ,根据频率分布直方图, 则有 (0.01 ? 0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? x ? 1 , 可得 x ? 0.3 ,所以频率分布直方图如右图所示. ………………4 分 (求解频率 3 分,画图 1 分) (Ⅱ)平均分为:

x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 71.
………7 分 (Ⅲ)学生成绩在 ?40,60? 的有 0.25 ? 60 ? 15 人,在 ?60,80? 的有 0.45 ? 60 ? 27 人,
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?80,100?





0 ? . 3?

6 人 0 . 1并 8 且

?













0 , 1 .,

2 ,

3 , 4 …………………………8 分

2 1 1 1 1 2 C15 C15 C27 C15 C18 ? C27 7 27 207 则 P(? ? 0) ? 2 ? ; P(? ? 1) ? ; P(? ? 2) ? ; ? ? 2 2 C60 118 C60 118 C60 590 1 1 2 C27 C18 C18 81 51 ; . ? P ( ? ? 4) ? ? 2 2 C60 295 C60 590

P(? ? 3) ?

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

7 118

27 118

207 590

81 295

51 590

………………………………………………………11 分

E? ? 0 ?

7 27 207 81 51 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 2.1 …………………12 分 118 118 590 295 590

18. (本题满分 14 分) 解:(1)证明:∵四边形 DCBE 为平行四边形 ∴ CD // BE , BC // DE ------1 分 ∵ DC ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ∴ BC ? 平面 ADC. ∵DE//BC ∴ DE ? 平面 ADC ---------------------------------------3 分 ∴平面 ACD ? 平面 ADE ----------------4 分 ∴ BE ? 平面 ABC 又∵ DE ? 平面 ADE (2)∵ DC ? 平面 ABC ∴ DC ? BC . ----------2 分 ∵AB 是圆 O 的直径 ∴ BC ? AC 且 DC

AC ? C

∴ ?EAB 为 AE 与平面 ABC 所成的角,即 ?EAB = ? -------------------5 分 在 Rt△ABE 中,由 tan ? ? 在 Rt△ABC 中 ∵ AC ? ∴ S ?ABC ?

BE 3 , AB ? 2 得 BE ? 3 ------------6 分 ? AB 2

AB2 ? BC2 ? 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 )

1 1 AC ? BC ? x 4 ? x 2 ------------------------------------7 分 2 2 1 3 S ?ABC ? BE ? x 4 ? x 2 ( 0 ? x ? 2 )-----8 分 3 6

∴ V ( x) ? VC ? ABE ? VE ? ABC ? (3)由(2)知 0 ? x ? 2

2 要 V ( x) 取得最大值,当且仅当 x 4 ? x ?

x 2 (4 ? x 2 ) 取得最大值,

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∵ x (4 ? x ) ? (
2 2

x2 ? 4 ? x2 2 ) ? 4 ------------------------------------------------------9 分 2

当且仅当 x 2 ? 4 ? x 2 ,即 x ?

2 时,“=”成立,

∴当 V ( x) 取得最大值时 AC ? 2 ,这时△ACB 为等腰直角三角形------------10 分 解法 1:连结 CO,DO ∵AC=BC,DC=DC ∴ Rt ?DCA ≌ Rt ?DCB ∴AD=DB
C E D

又∵O 为 AB 的中点 ∴ CO ? AB, DO ? AB ∴ ?DOC 为二面角 D-AB-C 的平面角------------12 分
A

1 在 Rt ?DCO 中 ∵ CO ? AB ? 1 , DC ? BE ? 3 2 DC ? 3 , ∴ ?DOC = 60 ∴ tan ?DOC ? CO

O

B

即当 V ( x) 取得最大值时,二面角 D-AB-C 为 60°.------------------------14 分 解法 2:以点 O 为坐标原定,OB 为 x 轴建立空间直角坐标系如图示: 则 B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,1, 3 ), ∴ OD ? (0,1, 3), OB ? (1,0,0) , 平面 ABC 的法向量 CD ? (0,0, 3) ,-------------------11 分
y z

D

E

设平面 ABD 的法向量为 m ? (a, b, c) 由 m ? OB, m ? OD 得 a ? 0, b ? 3c ? 0 令 c ? 1 ,则 b ? ? 3 ∴ m ? (0, ? 3,1) -------------12 分 设二面角 D-AB-C 的大小为 ? ,则 cos ? ?
A

C

x O

B

m ? CD 3 1 ? ? | m | ? | CD | 2 ? 3 2

∴ ? ? 60 ,即二面角 D-AB-C 的大小为 60°.------------------------------------14 分

19. (本题满分 14 分) 解: 【解】 (1)由题意知 Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2n?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? -------2 分

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∴ an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ?

? ? a3 ? a2 ? ? a2

-------3 分

? 2n?1 ? 2n?2 ?

? 22 ? 5 ? 2n?1 ? 2n?2 ?

? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3? -----6 分
-------7 分

检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 . (2)由于 bn f ? n ? ?

n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? n ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? n ?1 ? n n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?

--------9 分 故 Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ?
1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? bn f ? n ? ? ?? ? ? ? ?? 2 ? ? 2 2 ?? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 1 ? 23 ? 1 ?? ? 1 ?? n ? n?1 ? ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??

---------11 分

1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? . ?? ? 2 ? 1 ? 2 2n ?1 ? 1 ? 2 1 ? 2 6

---------14 分

20. (本题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2
2 ? ?a ? 16, 2 ? ?b ? 12.

? 22 32 ? ? ? 1, 依题意: ? a 2 b2 ?a 2 ? b2 ? 4. ?
∴ 椭圆 C1 的方程为

解得: ?

………2 分

x2 y 2 ? ? 1. 16 12 x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , a 2 b2

………3 分

解法 2:设椭圆 C1 的方程为

a ? 4, 根据椭圆的定义得 2a ? AF 1 ? AF 2 ? 8 ,即
2 2 2 ∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .

………1 分 ………2 分

∴ 椭圆 C1 的方程为 (2)解法 1:设点 B ( x1 ,

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

………3 分

1 2 1 2 1 2 x1 ) , C ( x 2 , x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x1 , ( x 2 ? x12 )) , 4 4 4

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BA ? (2 ? x1 ,3 ?

1 2 x1 ) , 4
……4 分

∵ A, B, C 三点共线, (∴ BC // BA . ∴ x2 ? x1 ? 3 ?

?

?

? ?

1 2? 1 2 x1 ? ? x2 ? x12 4 ? 4

?

? ?2 ? x ? ,
1

化简得: 2 (x1 ? x2 ) ? x1x2 ? 12 . ① 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

………5 分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

……6 分

∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x 1 2 x1 1 x1 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? x12 . ② 4 2 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
③ ……………8 分

同理,抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

设点 P( x, y) ,由②③得: 而 x1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?

x1 x 1 1 2 x ? x12 ? 2 x ? x2 , 2 4 2 4
……………9 分 ……………10 分

1 ( x1 ? x 2 ) . 2

1 x1 x 2 , 4

则 2 x ? x1 ? x2 , 4 y ? x1 x2 代 入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为

y ? x ? 3.

………11 分

P 在椭圆 C1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
…12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ………13 分 …………14 分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法 2:设点 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

…………4 分

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∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ?

x1 ( x ? x1 ) , 2
………5 分

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2 x1 x0 ? y1 . 2
① ……6 分

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上, ∴ y 0 ?

同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2

………7 分

综合①、②得,点 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y . ………8 分 2

x x0 ? y , 2
∴ y0 ? x0 ? 3 .

………9 分 ………10 分 ………11 分

∵点 A(2,3) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 .

P 在椭圆 C1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,12 分 若 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 ,则点
∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C1 内一点 (3, 0) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C1 交于两点. ……13 分 ……14分

P 有两个. ∴满足条件 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 的点
解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k x ? 2 ? 3 ,

?

?

由?

? ? y ? k ? x ? 2 ? ? 3, ? ? x ? 4 y,
2

消去 y ,得 x ? 4kx ? 8k ? 12 ? 0 .
2

……4分

设 B x1 , y1 ,C x2 , y2 ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? 8k ? 12 . 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

?

?

?

?

………5分

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2

………6 分

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∴抛物线 C2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y1 ? 分 ∵ y1 ?

x1 x 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? y1 ? x12 .…7 2 2 2

x 1 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? x12 . 4 2 4 x2 1 2 x ? x2 . 2 4
……………8 分

同理,得抛物线 C2 在点 C 处的切线 l2 的方程为 y ?

? x y ? 1 x? ? ? 2 由? ? y ? x2 x ? ? ? 2

? x ? x2 1 2 x ? 1 ? 2k , x1 , ? ? 2 4 解得 ? 1 2 ? y ? x1 x2 ? 2k ? 3. x2 , ? ? 4 4

∴ P 2k , 2k ? 3 . ∵ PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? AF 2 , ∴点 P 在椭圆 C1 :

?

?

………10 分

x2 y2 ? ? 1 上. 16 12
2

………11 分

? 2k ? ∴
16

2

?
2

? 2k

? 3? 12

? 1.
…………12 分 ………13 分 ………14 分

化简得 7k ? 12k ? 3 ? 0 .(*)
2 由 Δ ? 12 ? 4 ? 7 ? ?3 ? 228 ? 0 ,

? ?

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. 21. (本题满分 14 分) 解:(1)

f (x)的反函数 g ( x) ? ln x ,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k= g' (1) .

1 ? k ? g' (1) ? 1 .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 。 。 。 。 。 。3 分 x 1 2 (2) 证明曲线 y=f(x)与曲线 y ? x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下. 2 1 1 令h( x) ? f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2 g' (x) ?

h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, , h' ' (0) ? 0 因
此,

当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减 ;当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增
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? y ? h' ( x) ? h' (0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一 个零点x ? 0
所以,曲线 y=f(x)与曲线 y ? (3) 设

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 。 。 。 。 。8 分 2

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b?a a ? ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)
令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x .

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在( 0, ? ?)上单调递增
,且 g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增 , 而g (0) ? 0,

所以在(0,??)上g ( x) ? 0 .

?当x ? 0时,g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0且a ? b,
? (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ?e ? 0 2 ? (b ? a)

所以 当a < b时,

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) ? 2 b?a 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。14 分

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