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新课标高三数学模拟试卷


新课标学高三数学模拟试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第 1 卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 8 页.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷指定地方.并将姓名、 考试科目、准考证号用铅笔涂写在答题卡上. 2

. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号徐黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案.不能答在试题卷上. 3. 考试结束,监考人员将本试卷和答题卡一并收回.
三角函数积化和差公式: 正棱台、圆台侧面积公式

1 [ sin (? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos?sin? ? [ sin (? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos?cos? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin?sin? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 sin?cos? ?

1 ? (c ? c)l 2 其中c?、c分别表示上、下底面周 长, l表示斜高或母线长 台体体积公式 1 V台体 ? (S ? ? S ?S ? S )h 3 其中S ?、S分别表示上、下底面积 h表示高 , S台侧 ?

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)若 sin? cos? >0,则 ? 在 (A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点 A(1,—1) 、B(—1,1)且圆心在直线 x 十 y—2=0 上的圆的方程是 (A) ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (C) ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (B) ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 (D) (x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4

(3)设{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4
-1-

(D)6

(4)若定义在区间(—1,0)内的函数 f ( x) ? log 2a ( x ? 1) 满足 f (x) >0,则 a 的取值范 围是 (A) (0 ,

1 ) 2

(B) (0 ,

1 ] 2

(C) (

1 , ? ?) 2

(D) (0 , ? ?)

(5)极坐标方程 ? ? 2 sin(? ?

? 的图形是 )
4

(6)函数 y=x+1 (?? ? x ? 0) 的反函数是 (A)y=-arccos(x-1) (C)y=arccos(x-1) 2) (7)若椭圆经过原点,且焦点为 F1(1,0) 2(3,0) ,F ,则其离心率为 (A)

(0≤x≤2) (B) = ? -arccos x-1) (0≤x≤2) y ( (0≤x≤2)
(D)y= ? +arccos(x-1) (0≤x≤

3 4

(B)

2 3

(C)

1 2

(D)

1 4

(8)若 0 ? ? ? ? ? (A)a<b

?
4

, sin ? ? cos ? ? a , sin ? ? cos ? ? b ,则
(B)a>b (C)ab<1 (D)ab>2

(9)在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°

(10)设 f (x) (x)都是单调函数,有如下四个命题: 、g ①若 f (x)单调递增,g (x)单调递增,则 f (x)-g (x)单调递增; ②若 f (x)单调递增,g (x)单调递减,则 f (x)-g (x)单调递增; ③若 f (x)单调递减,g (x)单调递增,则 f (x)-g (x)单调递减; ④若 f (x)单调递减,g (x)单调递减,则 f (x)-g (x)单调递减. 其中,正确的命题是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④

(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法: ①单向倾斜; ②双向倾斜; ②四向倾斜. 记 三种盖法屋顶面积分别为 P1、P2、P3 .
-2-

若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ? ,则 (A)P3>P2>P1 (B)P3>P2=P1 (C)P3=P2>P1 (D)P3=P2=P1

(12)如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网 线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最 大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递. 则单位时间内传递的最大 信息量为 (A)26 (B)24 (C)20 (D)19

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)

注意事项: 1. 第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上. 2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚. 3. 座位号填写准考证号最末尾两位数.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. ( 13 ) 若 一 个 圆 锥 的 轴 截 面 是 等 边 三 角 形 , 其 面 积 为 3 , 则 这 个 圆 锥 的 侧 面 积 是 (14)双曲线 .

y2 x2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上.若 PF1⊥PF2,则点 9 16

-3-

P 到 x 轴的距离为

(15)设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若{Sn}是等差数列,则 q = .

(16)圆周上有 2n 个等分点(n>1) ,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 如图,在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中,∠ABC=90°,SA⊥面 ABCD,SA S 1 =AB=BC=1,AD= .

2

(Ⅰ)求四棱锥 S—ABCD 的体积; (Ⅱ)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. A

B C D

-4-

(18) (本小题满分 12 分) 已知复数 z1=i (1—i )3. (Ⅰ)求 arg z1 及| z |; (Ⅱ)当复数 z 满足| z |=1,求| z—z1 |的最大值.

-5-

(19) (本小题满分 12 分) 设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明直线 AC 经过原点 O.

-6-

(20) (本小题满分 12 分) 已知 i,m,n 是正整数,且 1<i≤m<n.
i (Ⅰ)证明 ni Pm ? mi Pni ;

(Ⅱ)证明 (1 ? m)n ? (1 ? n)m .

-7-

(21) (本小题满分 12 分) 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产 业.根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少

1 .本年度当地旅游业 5

收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会 比上年增加

1 . 4

(Ⅰ)设 n 年内(本年度为第一年)总投人为 an 万元,旅游业总收入为 bn 万元.写 出 an,bn 的表达式; (Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收人才能超过总投入?

-8-

(22) (本小题满分 12 分) 设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数。 其图象关于直线 y=x 对称, 对任意 x1, 2 ? [0 . 1 ] , x

2

都有 f (x1+x2)=f (x1)· (x2) f ,且 f ( 1 )=a>0. (Ⅰ)求 f ( ) 及 f ( ) ; (Ⅱ)证明 f (x)是周期函数; (Ⅲ)记 an ? f (2n ?

1 2

1 4

1 ) ,求 lim (ln an ) . n ?? 2n

-9-

江苏省兴化中学高三数学模拟试卷 参考答案及评分标准

说明: 一.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分 细则. 二.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. (1)B (7)C (2)C (8)A (3)B (9)B (4)A (10)C (5)C (11)D (6)A (12)D

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题 4 分,满分 16 分. (13)2 ? 三、解答题 (17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ)直角梯形 ABCD 的面积是: M 底面 ?
- 10 -

(14)

16 5

(15)1

(16)2n(n-1)

1 3 (BC ? AD) AB ? 2 4

∴四棱锥 S-ABCD 的体积是: V ?

1 1 3 1 ? SA ? M 底面 ? ? 1 ? ? 3 3 4 4

(Ⅱ)延长 BA、CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱; ∵AD∥BC,BC=2AD ∴EA=AB=SA,∴SE⊥S(B)

∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线,又 BC⊥EB, ∴BC⊥平面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影, ∴CS⊥SE,故∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵ SB ? SA2 ? AB 2 ? 2 ,BC=1,BC⊥SB ∴ tg?BSC ?

BC 2 ? SB 2 2 . 3

即所求二面角的正切值为

(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算,以及分析问题和解决问题的能力,满分 12 分. 解: (Ⅰ) z1 ? i(1 ? i)3 ? 2 ? 2i ? 2 2 (cos ∴ a r g1 ? z

7? 7? ? isin ) 4 4

7? ,| z1 |= 2 2 . 4

(Ⅱ)设 z ? c o ? ? i s i n ,则 z ? z1 ? ( c o? ? 2) ? ( s i ? ? 2)i s n s ?

| z ? z1 |2 ? ( c o? ? 2)2 ? ( s i ? ? 2)2 ? 9 ? 4 2 s i n ( ? s n ?
当 s i n (? ?

?
4

)

?
4

) ? 1 时, | z ? z1 |2 取得最大值 9 ? 4 2 ,从而得到 | z ? z1 | 的最大值为

1? 2 2 .
(19)本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力, 满分 12 分. 证明:因为抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的焦点为 F ( 0) ,所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为:
- 11 -

y

A

p , 2
F C B x

x ? my ?

p 2

4分

? 代入抛物线方程得: y 2 ? 2 p m y p 2 ? 0
若记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1、y2 是该方程的两根,所以 y1 y2 ? ? p2 . 因为 BC∥x 轴,且点 C 在准线 x ? ? 的斜率为

p p 上,∴点 C 的坐标为( ? , y2 ) ,故直线 CO 2 2

k?

y2 2 p y1 ? ? ,即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O. p y1 x1 ? 2

(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力,满分 12 分. (Ⅰ)证明:对于 1<i≤m,有 同理
i Pm m m ? 1 m ? i ?1 ? ? ??? i m m m m

Pni n n ? 1 n ? i ?1 ? ? ??? i n n n n

由于 m<n,对整数 k=1,2,…,i-1,有 ∴
i Pni Pm i ? i ,即 mi Pni ? ni Pm . ni m

n?k m?k ? n m

(Ⅱ)由二项式定理有 (1 ? m)n ?

?m C
i i ?0

n

i n

, (1 ? n)m ?

?n C
i i ?0

m

i m

i i 由(Ⅰ)知 mi Pni ? ni Pm ,而 Cm ?

i Pm Pi i , Cn ? n , 1<i≤m<n i! i!
m

i i ∴ miCn ? niCm ,因此

?
i ?2

m

i miCn ?

?n C
i i ?2

i m

0 0 1 1 i 又 m0Cn ? n0Cm ? 1 , mCn ? nCm ? mn , miCn ? 0 (m<i≤n)



?m C ? ?n C
i i n i i ?0 i ?0

n

m

i m

,即 (1 ? m)n ? (1 ? n)m .

(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数 学知识解决实际问题的能力,满分 12 分.

- 12 -

解: (Ⅰ)第一年投入为 800 万元,第二年投入为 800× (1 ? 入为 800× (1 ?

1 ) 万元,…,第 n 年投 5

1 n?1 ) 万元. 5 1 1 4 ) ? ? ? 800(1 ? )n?1 ? 4000 ? [1 ? ( )n ] ; 5 5 5

∴n 年内的总投入为: an ? 800 ? 800(1 ?

第一年旅游业收入为 400,第二年旅游业收入为 400× (1 ? 业收入为 400× (1 ? ∴ n

1 ) 万元,…,第 n 年旅游 4

1 n?1 ) 万元 4
年 内 旅 游 业 总 收 入 为 :

bn ? 400 ? 400(1 ?

1 1 5 ) ? ? ? 400(1 ? )n?1 ? 1600 ? [( )n ? 1] 4 4 4

(Ⅱ)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此 bn-an>0 即 1600 ? [( )n ? 1] ? 4 0 0 ? [1 ? ( )n ] ,化简得: 5 ? ( )n ? 2 ? ( )n ? 7 ? 0 0 令 x ? ( )n ,代入上式得:5x2-7x+2>0,解得:x< ∴ ( )n ?

5 4

4 5

4 5

5 4

4 5

2 或 x>1(舍去) 5

4 5

2 ,由此得 n≥5. 5

答:至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入. (22)本小题主要考查函数的概念、图象,函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知 识,考查运算能力和逻辑思维能力,满分 14 分. (Ⅰ)解:由 f (x1) ? f (x2 ) ? f (x1) f (x2) , x1 , x2 ?[0 ,

1 ] 知: 2

x x f (x) ? f ( ) f ( ) ≥0,x∈[0,1] 2 2
∵ f (1) ? f (
1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )]2 ,f (1)=a>0,∴ f ( ) ? a 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? f ( ) f ( ) ? [ f ( )]2 ,∴ f ( ) ? a 4 4 4 4 4 4 4

∵ f( )? f(

1 2

(Ⅱ)证明:依题设 y=f (x)关于直线 x=1 对称, 故 f (x)=f (1+1-x) ,即 f (x)=f (2-x) ,x∈R
- 13 -

又由 f (x)是偶函数知 f (-x)=f (x) ,x∈R 将上式中-x 以 x 代换,得 f (x)=f (x+2) ,x∈R 这表明 f (x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 f (x)>0,x∈[0,1]

1 1 1 1 1 1 ? f ( ) ? f (n ? ) ? f[ ? (n ? 1) ? ] ? f ( ) f [(n ? 1) ] 2 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 1 1 ? f ( ) f ( ) f [(n ? 2) ] ? f ( ) f ( ) ? f ( ) ? [ f ( )]n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
∴ f(
1 1 ) ? a 2n 2n
1 1 1 ) ? f ( ) ,因此 an ? a 2n 2n 2n

∵f (x)的一个周期是 2,∴ f (2n ? ∴ lim (lnan ) ? lim (
n?? n??

1 l n a? 0 . ) 2n

- 14 -


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