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常微分方程试题(1)及解答


常微分期终考试试卷(1)
一、 填空题(30%) 1 、方程 M ( x, y) dx ? N( x, y) dy? 0有只含 x 的积分因子的充要条件是 ( ) 。有只含 y 的积分因子的充要条件是______________。

2、_____________称为黎卡提方程,它有积分因子______________。 3、____________

______称为伯努利方程,它有积分因子_________。 4、若 X1(t ), X 2 (t ),?, X n (t ) 为 n 阶齐线性方程的 n 个解,则它们线性 无关的充要条件是__________________________。 5、形如___________________的方程称为欧拉方程。 6、若 ? (t ) 和? (t ) 都是 x ' ? A(t ) x 的基解矩阵,则 ? (t ) 和? (t ) 具有的关 系是_____________________________。 7、当方程的特征根为两个共轭虚根是,则当其实部为_________时, 零解是稳定的,对应的奇点称为___________。 二、解答题(60%) 1、 ydx ? ( x ? y 3 )dy ? 0

2、 x?? ? x ? sin t ? cos2t

?? ? ? 2 1? 3、若 A ? ? 试求方程组 x? ? Ax 的解 ? (t ),? (0)? ? ? ? 1 ? 并求 ? ? ?1 4? ??2 ?
expAt

4、 (

dy 3 dy ) ? 4 xy ? 8 y 2 ? 0 dx dx

5、求方程

dy ? x ? y 2 经过(0,0)的第三次近似解 dx

6.求

dx dy ? ? x ? y ? 1, ? x ? y ? 5 的奇点,并判断奇点的类型及稳定性. dt dt

三、证明题(10%) 1、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。

试卷答案 一填空题
?M ?N ? ?y ?x ? ? ( x) 1、 N

?M ?N ? ?y ?x ? ? ( y) ?M
y? y?z

2、 3、

dy ? p( x) y 2 ? Q( x) y ? R( x) dx dy ? p( x )y ? Q x ( y)n dx

u( x, y) ? y ?ne?

( n?1) p ( x ) dx

4、 w[ x1 (t ), x2 (t ),?, xn (t )] ? 0
dny d n?1 dy ? a1 n?1 ? ? ? an?1 ? an y ? 0 5、 x n dx dx dx
n

6、? (t ) ? ? (t )C

7、零 二计算题

稳定中心

?M ?N ? 1, ? ?1 ?x 1、解:因为 ?y ,所以此方程不是恰当方程,方程有积
1 1 dx x ? y3 分因子 ? ( y ) ? e ?e ? 2 ,两边同乘 2 得 ? dy ? 0 y y y y2 x? ? ? 3 ? ?x ? y 1 y? 所以解为 ? dx ? ? ? ? ?dy ? c 2 y ? y y ? ? ? ? ? ?
? ln y 2

? ? y dy

2

x y2 ? ? c 即 2 x ? y ( y 2 ? c ) 另外 y=0 也是解 y 2

2、线性方程 x?? ? x ? 0 的特征方程 ? 2 ? 1 ? 0 故特征根 ? ? ?i
f1 (t ) ? sin t

? ? i 是特征单根,原方程有特解 x ? t ( A cos t ? B sin t )
1 B=0 2
f 2 (t ) ? ? cos 2t ? ? 2i 不是特征

代入原方程 A=-

根,原方程有特解 x ? A cos 2t ? B sin 2t 代入原方程 A ?
1 1 所以原方程的解为 x ? c1 cos t ? c2 sin t ? t cos t ? cos 2t 2 3

1 B=0 3

3 、 解 : p (? ) ? k=1 n1 ? 2

? ?2
1

?1

? ?4

? ? 2 ? 6? ? 9 ? 0 解 得 ?1 , ? 2 3 此 时

1 i ? ?? ? ?? ? t (??1 ? ?2 ) ? ??1 ? t 3t ? ? ? ? ? ? v ? (t ) ? e ?? ( A ? 3E )i ? ? 1 ? ? e3t ? 1 ? ??2 ? t (??1 ? ?2 ) ? ??2 ? ? i ?0 i ! ? ??2 ?

n?1 i t 由公式 expAt= e?t ? ( A ? ? E )i 得 i ?0 i !

? ?1 0? ? ?1 1? ? 3t ?1 ? t t ? exp At ? e3t ? E ? t ( A ? 3E )? ? e3t ? ? ?t? ??e ? ? ? ? ? ?t 1 ? t ? ? ?0 1 ? ? ?1 1? ?
? dy ? 2 ? ? ? 8y dy p3 ? 8 y 2 dx ? ? 4、解:方程可化为 x ? 令 ? p 则有 x ? (*) dy dx 4 yp 4y dx
3

(*)两边对 y 求导: 2 y ( p 3 ? 4 y 2 )
3 2

dp ? p (8 y 2 ? p 3 ) ? 4 y 2 p dy
1

dp dp p ? p) ? 0 由 2 y ? p ? 0 得 p ? cy 2 即 y ? ( )2 将 y 即 ( p ? 4 y )(2 y dy dy c

? c2 2 p x ? ? 2 ? c2 2 p ? 4 c p 代入 (*)x ? ? 2 即方程的 含参数形式的通解为: ? 4 c ? y ? ( p )2 ? c ?

为参数 又由 p ? 4 y ? 0 得 p
3 2

1 2 3 ? (4 y ) 代入(*)得:

y?

4 3 x 也是方程的解 27

?0 ? y0 ? 0
x2 ?1 ? y0 ? ? xdx ? 0 2 x x2 x 2 x5 ?2 ? y0 ? ? ( x ? )dx ? ? 0 4 2 20
x

5、解:

x 4 x10 x 7 x 2 x5 x11 x8 ?3 ? y0 ? ? ( x ? ? ? )dx ? ? ? ? 0 4 400 20 2 20 4400 160
x

?? x ? y ? 1 ? 0 6、解:由 ? 解得奇点( 3 , -2 )令 X=x-3,Y=y+2 则 ? x? y ?5?0
? dx ? ?x ? y ? ? dt ? ? dy ? x ? y ? ? dt

因为 由

?1 ?1 1 ?1 1

=1+1 ? 0 故有唯一零解(0,0)

? ?1
?1

? ?1

? ? 2 ? 2? ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 2? ? 2 ? 0 得 ? ? ?1 ? i 故(3,-2)

为稳定焦点。 三、 证明题 由解的存在唯一性定理知:n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解:
x1 (t0 ) ? 1, x2 (t0 ) ? 0,??, xn (t0 ) ? 0
' ' x1 (t0 ) ? 0, x2 (t0 ) ? 1,??, xn (t0 ) ? 0

???????????????
n ?1 n ?1 n ?1 x1 (t0 ) ? 0, x2 (t0 ) ? 0,?, xn (t 0 ) ? 1

1

0 1 0

? ? ?

0 0 1 ?1? 0

考虑 w[ x1 (t0 ), x2 (t0 ),?, xn (t0 )] ?

0 0

? ? ? ?

从而 xi (t )(i ? 1,2,?n) 是线性无关的。


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