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广东高考文科数学07-14试题分类汇编


平面几何与圆锥曲线 2007 19 分 2008 19 分 2009 19 分 2010 19 分 2011 19 分 2012 19 分 2013 24 分 2014 19 分

(2007 年高考广东卷第 11 小题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶 点在原点 O ,且过点 P(2, 4) ,则该抛物线的方程是

/>y 2 ? 8x



(2007 年高考广东卷第 19 小题)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 椭圆 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原点 O , 焦点的距离之和为 10 . (1)求圆 C 的方程; (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , 使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 19 解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)(m<0,n>0)

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两 a2 9

n ? ? ?1 ? m 依题意可得 ? ? m2 ? n2 ? 2 2 ?

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2

?所求的圆的方程为
(2) 由已知可得 点为 F( 4, 0);

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8

2a ? 1 0

?

a?5

? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 , 右焦 25 9

?( x0 ? 2) 2 ? ( y0 ? 2) 2 ? 8 ? 设 Q( x0 , y0 ) ,依题意 ? ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 16 ? 0 0 ?
解得 x0 ?

4 12 , y0 ? 或 x0 ? 0, y0 ? 0 (舍去) 5 5
2 2

?存在点 Q( 4 , 12 )
5 5

(2008 年高考广东卷第 6 小题)经过圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心 C,且与直线

x ? y ? 0 垂直的直线方程是( C
A. x + y + 1 = 0 0

) C. x - y + 1 = 0 D. x - y - 1 =

B. x + y - 1 = 0

(2008 年 高 考 广 东 卷 第 20 小 题 ) 设 b>0 , 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ?1 ,抛物线方程为 2b 2 b 2

x2 ? 8( y ? b) 。如图所示,过点 F(0,b + 2)作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的
交点为 G。已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1。 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A、B 分别是椭圆长轴的左、右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P,使得△ ABP 为直角三角形? 若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求 出这些点的坐标) 。 【解析】 (1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ?

1 2 x ?b, 8 1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) , y ' ?

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 ,

令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F 1 点的坐标为 (b, 0) ,

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) ; 2 (2) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有
? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为
一个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 ( x,

1 2 x ? 1) , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和 8

( 2,0) ,
1 1 4 5 2 PA PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 。 8 64 4 2 关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两
个, 因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 (2009 年高考广东卷第 13 小题)以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程 是 .
2 2

【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?

25 2

【解析】 将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ?

| 2 ?1 ? 6 | 5 ? ,所以圆的方程为 1?1 2

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

25 2

(2009 年高考广东卷第 19 小题)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 , 2

两 个 焦 点 分 别 为 F1 和 F2 , 椭 圆 G 上 一 点 到 F1 和 F2 的 距 离 之 和 为 12. 圆

Ck : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak .
(1)求椭圆 G 的方程 由. 【解析】 (1)设椭圆 G 的方程为: (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? ? a?6 ? 2 2 2 则?c , 解得 , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 ? 3 ? ?c ? 3 3 ? ? 2 ?a
x2 y 2 ? ?1. 所求椭圆 G 的方程为: 36 9
(2 )点 AK 的坐标为 ? ?K , 2?

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
(2010 年高考广东卷第 6 小题)若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线

x ? 2 y ? 0 相切,则圆 O 的方程是 D
A . ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

B . ( x ? 5)2 ? y2 ? 5

C . ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5

(2010 年高考广东卷第 7 小题)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该 椭圆的离心率是 B A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

(2011 年高考广东卷第 8 小题)设圆

C与圆x2 ? ( y ? 3)2 ? 1外切,与直线y ? 0相切,则圆C的圆心轨迹为 A
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆

(2011 年高考广东卷第 21 小题) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2交x 轴于点 A , 设 P 是 l 上一点, M 是线段 OP 的垂直平分线上的一点,且满足 ?MPO ? ?AOP. (1) 当点 P 在 l 上与动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T (1, ?1), 设 H 是 E 上动点,求 HO ? HT 的最小值,并给出此时点 H 的 坐标; (3) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求 直线 l1 的斜率 k 的取值范围。 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图 1,设 MQ 为线段 OP 的垂直平分线,交 OP 于点 Q,

?MPQ ? ?AOP,? MP ? l , 且 | MO |?| MP | .
2 2 因此 x ? y ?| x ? 2 |, 即 y 2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1).



另一种情况,见图 2(即点 M 和 A 位于直线 OP 的同侧) 。

MQ 为线段 OP 的垂直平分线, 又

??MPQ ? ?MOQ.

?MPQ ? ?AOP,??MOQ ? ?AOP.

因此 M 在 x 轴上,此时,记 M 的坐标为 ( x,0). 为分析 M ( x,0)中x 的变化范围,设 P(?2, a) 为 l 上任意点 (a ? R). 由 | MO |?| MP | (即 | x |?

( x ? 2) 2 ? a 2 )得, x ? ?1 ?

1 2 a ? ?1. 4


故 M ( x,0) 的轨迹方程为

y ? 0, x ? ?1

综合① 和② 得,点 M 轨迹 E 的方程为

x,? ? 1 , ?4 (x ? 1 ) y2 ? ? x?? 1. ?0 ,

(2)由(1)知,轨迹 E 的方程由下面 E1 和 E2 两部分组成(见图 3) :

E1 : y2 ? 4( x ? 1)( x ? ?1) ; E2 : y ? 0, x ? ?1.
当 H ? E1 时 , 过 T 作 垂 直 于 l 的 直 线 , 垂 足 为 T ? , 交 E1 于

? 3 ? D ? ? , ?1? 。 ? 4 ?
再过 H 作垂直于 l 的直线,交 l于H ?. 因此, | HO |?| HH ? | (抛物

| HO | ? | HT |?| HH ? | ? | HT |?| TT ? |? 3 (该等号 线的性质) 。?
仅当 H ?与T ? 重合(或 H 与 D 重合)时取得) 。 当 H ? E2 时,则 | HO | ? | HT |?| BO | ? | BT |? 1 ? 5 ? 3. 综合可得,|HO|+|HT|的最小值为 3,且此时点 H 的坐标为 ? ?

? 3 ? , ?1? . ? 4 ?

(3)由图 3 知,直线 l1 的斜率 k 不可能为零。 设 l1 : y ? 1 ? k ( x ? 1)(k ? 0). 故x ?

1 4 ?4 ? ( y ? 1) ? 1, 代入E1 的方程得: y 2 ? y ? ? ? 8 ? ? 0. k k ?k ?
2

16 ?4 ? ?4 ? 因判别式 ? ? 2 ? 4 ? ? 8 ? ? ? ? 2 ? ? 28 ? 0. 所以 l1 与 E 中的 E1 有且仅有两个不 k ?k ? ?k ?
同的交点。 又由 E2 和 l1 的方程可知,若 l1 与 E2 有交点, 则此交点的坐标为

k ?1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 ? ,0 ? , 且 ? ?1.即当 ? ? k ? 0时, l1与E2 有唯一交点 ? , 0 ? ,从而 l1 表 ? k 2 ? k ? ? k ?
三个不同的交点。 因此,直线 l1斜率k 的取值范围是 (??, ? ] ? (0, ??). (2012 年高考广东卷第 8 小题) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 3x ? 4y ? 5? 0与 圆

1 2

x2 ? y 2 ? 4 相交
于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 (B) A. 3 3 B. 2 3 C.

3

D. 1

(2012 年高考广东卷第 20 小题)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上. a 2 b2

(1) 求椭圆 C1 的方程;(2)设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方 程. 解:(1):依题意:c=1,…………………………………………………………………………1 分
则: a
2

? b 2 ? 1,…………………………………………………………………………2 分
x2 y2 ? 2 ? 1………………………………………………………………3 分 b ?1 b
2

设椭圆方程为:

将 P(0,1) 点坐标代入,解得: b 2 ? 1 …………………………………………………………4 分 所以

a 2 ? b2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2
2

故椭圆方程为: x …………………………………………………………………………5 分 ? y2 ? 1 2

(2)设所求切线的方程为: y ? kx ? m ……………………………………………6 分
? y ? kx ? m ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ? 2

消除 y
(2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx? (2m2 ? 2) ? 0

?1 ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 2) ………7 分
化简得:

m 2 ? 2k 2 ? 1?????①………………………………………………………8 分
同理:联立直线方程和抛物线的方程得:

? y ? kx ? m ? 2 ? y ? 4x
消除 y 得:

k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ?2 ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0
化简得:
……………………………………………………………………9 分

km ? 1???????? ②
4 2

…………………………………………………………………………10 分

将②代入①解得: 2k ? k ? 1 ? 0

解得: k ?
2

1 2 2 2 , (k ? ?1舍去),故k ? , 或者k ? ? 2 2 2

当k ? 1时,m ? 2,当k ? ?1时,m ? ? 2 ………………………………………………………12 分

故切线方程为: y ?

2 2 x ? 2或者y ? ? x ? 2 …………………………………………………14 分 2 2
2 2

(2013 年高考广东卷第 7 小题)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的直线 方程是( A) B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

1 (2013 年高考广东卷第 9 小题).已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1, 0), 离心率等于 2 ,
则 C 的方程是( D )

x2 y 2 ? ?1 4 A. 3

x2 y 2 ? ?1 4 3 B.

x2 y 2 ? ?1 2 C. 4

x2 y 2 ? ?1 3 D. 4

(2013 年高考广东卷第 20 小题) (本题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c>0)到直线 L:x-y-2=0 的距离为 设 P 为直线 L 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点。 (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P(x0,y0)为直线 L 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 L 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

3 2 . 2

0?c?2
20、解: (Ⅰ)由

2

?

3 2 2 得, c ? 1 或 c ? ?5 (舍去) ,

2 所以抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .

(Ⅱ)设

A? x1 , y1 ?

,则有

y1 ? y0 1 ? x1 x1 ? x0 2

2 ,即 2 y1 ? 2 y0 ? x1 ? x0 x1 ,

2 因为 x1 ? 4 y1 ,所以 2 y1 ? 2 y0 ? 4 y1 ? x0 x1 ,

化简可得 x0 x1 ? 2 y1 ? 2 y0 ? 0 …①. 同理,设

B ? x2 , y2 ?

,可得 x0 x2 ? 2 y2 ? 2 y0 ? 0 …②.

由①②可得直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 .

? ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ? 2 ?x ? 4 y (Ⅲ)联立 ? ,得
2 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y02 ? 0
2 2 , ∴ y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 .

由抛物线的定义可知 ∴

AF ? y1 ? 1



BF ? y2 ? 1



2 2 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1

∵ 点 P 在直线 l 上移动,所以 x0 ? y0 ? 2 ? 0 , ∴
2 2 y0 ? x0 ?2 y0 ?1 ?2 y20 ?2 y0 ?, 5

∴ 当

y0 ? ?

1 9 AF ? BF 2 时, 有最小值,且最小值为 2 .

(2014 年高考广东卷第 8 小题 ) 若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线

x2 y2 ? ? 1 与曲线 16 5 ? k

x2 y2 ? ? 1 的( D ) 16 ? k 5
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 (2014 年高考广东卷第 20 小题)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的一个焦点为 a 2 b2

?

5,0 ,离心率为

?

5 。 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P?x0 , y0 ?为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的 轨迹方程.

c 5 ? 得:a ? 3, b ? 2. a 3 20.解: (1) x2 y2 椭圆方程为: ? ?1 9 4 由c ? 5 , e ?

设两个切点分别为 A、B
(2) ①当两条切线中有一条斜 率不存在时,即 A、B两点分别位于

椭圆长轴与短轴的端点 ,P点坐标为(? 3,?2)

②当两条 切线斜率均存在时, 设椭圆切线斜率为 k,过点P的椭圆切线方程为 y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? 联立? x 2 y 2 ,得 ? ? 1 ? 4 ?9 2 2 (9k 2 ? 4)x 2 ? (18ky0 ? 18k 2 x0 ) x ? 9k 2 x0 ? 18kx0 y 0 ? 9 y 0 ? 36 ? 0
2 2 △? 0 ? 9k 2 ? 4 ? (kx0 ? y 0 ) 2 ? ( x0 ? 9)k 2 ? 2 x0 y 0 k ? y 0 ?4?0 2 y0 ?4 设PA、PB斜率分别为k1、k 2,则k1 ? k 2 ? 2 x0 ? 9

又PA、PB互相垂直, ? k1 ? k 2 ?
2 2 化简得x0 ? y0 ? 13 (x0 ? ?3)

2 y0 ?4 ? -1 2 x0 ? 9

2 2 又 ? P(? 3,?2)在x0 ? y0 ? 13上

?点P在圆x 2 ? y 2 ? 13上.


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