当前位置:首页 >> 数学 >>

函数-定义域、值域、解析式、分段函数 (1)


远景教育个性化辅导讲义
函数
第一部分
【考点分类】 热点一 函数的定义域和值域 例 1.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1, 0) ,则函
数 f (2 x ? 1) 的定义域( A. (?1,1) B. ( ?1, ? ) )

函数的定义域和值域、解析式和分段函数

1 2

C. (?1, 0)

D. ( ,1)

1 2

1 2 例 2.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科) 】 函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 的定 x
义域为_____________.

例3.【2013年全国高考新课标(I)理科】若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,
则f(x)的最大值是______.
1 x ? x 2 的定义域为( 变式: 1. 【2013 年山东省临沂市高三教学质量检测考试】 函数 f ( x ) ? ln x ?1

)

(A)(0,+∞)

(B)(1,+∞)

(C)(0,1)

(D)(0,1) ? (1,+ ? )

2.【天津一中 2012—2013 学年高三 数学一月考】函数 f(x)=ax+ a x ? 2 的值域为_________.

【方法总结】
求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般 有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于 0:(4)实际问题还需要考 虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有 分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法.

注:一、求复合函数的定义域
1.已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义
1 杭州远景教育培训中心——专心教育,用心服务

远景教育个性化辅导讲义
域之中, 因此可得其方法为: 若 f ( x) 的定义域为 x ? ?a, b ? , 求出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的 范围,即为 f [ g ( x)] 的定义域。 2.已知复合函数 f [ g ?x ?] 的定义域,求 f ( x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x ?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义域。 3.已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由 f [ g ?x ?] 定义域求得

f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得 f [h?x?] 的定义域。
4.已知 f ( x ) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即 先求出各个函数的定义域,再求交集。

二、值域的求解方法集锦
(1) 、直接法:从自变量 x 的范围出发,推出 y ? f ( x) 的取值范围。或由函数的定义域结合图象, 或直观观察,准确判断函数值域的方法。 (2) 、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如 F ( x) ? af 2 ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的 值域问题,均可使用配方法。 (3) .最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 (4) 、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得 到原函数的值域。 (5) 、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利 用反函数法。小结:已知分式函数 y ? 的要求)内,值域为 ? y y ?

ax ? b (c ? 0) ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量 cx ? d

? ?

a? ,采用部分分式法将原 ? ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件) c?

ad a c (ad ? bc) ,用复合函数法来求值域。 函数化为 y ? ? c cx ? d b?
2 杭州远景教育培训中心——专心教育,用心服务

远景教育个性化辅导讲义
(6) 、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域, 形如 y ? ax ? b ? cx ? d ( a 、 b 、 c 、 d 均为常数,且 a ? 0 )的函数常用此法求解。 (7) 、判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ;通过方程有实数根,判别式 ? ? 0 , 从而求得原函数的值域,形如 y ? 法求解。 (8) 、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。

a1 x 2 ? b1 x ? c1 ( a1 、 a2 不同时为零)的函数的值域,常用此方 a2 x 2 ? b2 x ? c2

(9 ) 、基本不等式法:利用基本不等式 a 2 ? b 2 ? 2ab 和 a ? b ? 2 ab (a, b ? 0) 是求函数值域
的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域 , 要合理地添项和拆项 , 添项和拆项的原则是要使最终的 乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取 " ?" 成立的条件. (10) 、有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。 (11) 、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函 数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线 的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。 (12) 、复合函数法:对函数 y ? f (u), u ? g ( x) ,先求 u ? g ( x) 的值域充当 y ? f (u ) 的定义域, 从而求出 y ? f (u ) 的值域的方法。

(13) 、非负数法:根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 (14) 、导数法 :若函数 f 在 ( a, b) 内可导, 可以利用导数求得 f 在 ( a, b) 内的极值, 然后再计算 f 在 a , b 点的极限值. 从而求得 f 的值域. 热点二 函数的解析式 例 1.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科) 】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1 时. f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________. 2 例 2.【2012 年高考(上海理) 】已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? _______ . 【方法总结】
函数解析式的求法

3 杭州远景教育培训中心——专心教育,用心服务

远景教育个性化辅导讲义
(1)凑配法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便 得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;

?1? (4)方程思想:已知关于 f(x)与 f? ?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方 ?x ?
程组,通过解方程组求出 f(x).

热点三 分段函数 ? ?-x2+2x x≤0 例 1.【2013 年全国高考新课标(I)理科】已知函数 f(x)=? ,若| f(x)|≥ax,则 a ? ?ln(x+1) x>0
的取值范围是( A、 (-∞,0] ) B、 (-∞,1] C、[-2,1] D、[-2,0] )

? ?1, x为有理数 例 2.(2012 年高考(福建理) )设函数 D( x) ? ? ,则下列结论错误的是( 0, ? x 为无理数 ?
A. D ( x ) 的值域为 ?0,1? B. D ( x ) 是偶函数 C. D ( x ) 不是周期函数 D. D ( x ) 不是单调函数 变式:1.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】已知函数 f

? x?

?log x, x ? 0 , 则 ? ? x 2 3 , x ? 0 ?

? ? 1 ?? f ? f ? ? ? 的值是( ? ? 4 ??



??1, x ? 0, 2.【云南师大附中 2013 届高三适应性月考卷(三) 】已知函数 f ( x) ? ? 2 则满足 ? x ? 1, x ? 0,
不等式 f (3 ? x ) ? f (2x) 的 x 的取值范围为(
2

) C.(-3,1) D.(-3,- 3 )

A. ? ?3,0?

B.(-3,0)

4 杭州远景教育培训中心——专心教育,用心服务

远景教育个性化辅导讲义
【方法总结】
对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外 层函数的自变量的值.另外,要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现 考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解 析式,千万别代错解析式.

【考点剖析】
一.明确要求
1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于函数的基础性强,渗透面广,所以会与其他知识结合考查.

二.命题方向
1.函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点. 2.本节是函数部分的基础,以考查函数的定义域、值域为主,求函数定义域是高考的热点,而求函 数值域是高考的难点. 3.题型以选择题和填空题为主,与其他知识点交汇则以解答题的形式出现.

三.规律总结 一个方法
求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a, b), 则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域; ②若 y=f(g(x)) 的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域.

两个防范
(1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.
5 杭州远景教育培训中心——专心教育,用心服务

远景教育个性化辅导讲义
(2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.

三个要素
函数的三要素是:定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函 数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射 f:A→B 的三 要素是两个集合 A、B 和对应关系 f.

【拔高演练】 1.【湖北省黄冈市黄冈中学 2013 届高三下学期 6 月适应性考试】已知
2 ? 0 ? x ?1 ? 1? x f ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x ? 0 ?? 1 ? x

且 0 ?| m |? 1,0 ?| n |? 1, mn ? 0 ,则使不等式

f (m) ? f (n) ? 0 成立的 m 和 n 还应满足条件是(
A. m ? n ? 0 B. m ? n ? 0 C. m ? n ? 0

) D. m ? n ? 0

2.【上海市 2013 届高考虹口二模卷】已知函数

f ( x) ?

x2 ?( a ?1) x ?2 a ? 2 2 x2 ? ax ?2 a 的定义域是使得解

析式有意义的 x 的集合,如果对于定义域内的任意实数 x,函数值均为正,则实数 a 的取值范围 是


3.【上海市 2013 届高考闵行二模卷】设 f (x)是定义在 R 上的函数,若 f (0)= 1 ,且对任意的 x?R, 8
满足 f (x+2)-f (x)≤3x,f (x+4)-f (x)≥10?3x,则 f (2014)=
? 1 x ( ) ? 1, ( x ? 0) 4..已知函数 f ( x) ? ? ,对于下列命题: ? 2 ?? x 2 ? 2 x, ( x ? 0) ?



①函数 f ( x) 的最小值是 0;②函数 f ( x) 在 R 上是单调递减函数; ③若 f ( x) ? 1, 则x ? ?1 ;④若函数 y ? f ( x) ? a 有三个零点,则 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 ;
2 0

0

7

6 杭州远景教育培训中心——专心教育,用心服务

0

3

2

远景教育个性化辅导讲义
⑤函数 y ? f ( x) 关于直线 x ? 1 对称.其中正确命 y 题的序号是______. (填上你认为所有正确命题的 序号) . O 2 x

5.设 OA ? ? x, a ? x ? , OB ? ? x,2 ? , x ? ?1,2 ? ,且 OA ? OB ,则函数 f ( x) ? log a 1 a x ? 1 的最大值
为 .

6.定义:? m ? 表示大于或等于 ? m ? 的最小整数 ( m 是实数) . 若函数 f ( x) ?
则 函数 g ( x) ?? f ( x) ?

ax (a ? 0, a ? 1) , ax ?1

1 1 ? ? ? f (? x) ? ? 的值域为____ 2 2

7 杭州远景教育培训中心——专心教育,用心服务


赞助商链接
相关文章:
_函数的定义域和值域、解析式和分段函数
定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.( 0,1] () D.[0,第1 页共 1 页 函数定义域值域解析式分段函数热点一 函数定义域值域 1,函数错误...
函数的概念(定义域、值域、解析式、分段函数)
函数的概念(定义域值域解析式分段函数) - 考点 4 函数的概念(定义域值域解析式分段函数) 【考点剖析】 1.最新考试说明: (1)了解函数、映射的...
...精析:函数的定义域和值域、析式和分段函数
考点 04 函数定义域值域解析式分段函数 【考点剖析】 一.明确要求 1.主要考查函数定义域值域解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3....
...函数的定义域和值域、解析式和分段函数
考点4 函数定义域值域解析式分段函数 【考点分类】热点 函数定义域值域 1,【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数 y ? A.(0...
考点04函数的定义域和值域、解析式和分段函数(教师版) ...
2013 年新课标数学 40 个考点总动员 考点 04 函数定义域值域解析式分段函数(教师版)热点 函数定义域值域 1.(2012 年高考(江西理) )下列函数...
...冲关专题演练04_函数的定义域和值域、解析式和分段函数
考点 4 函数定义域值域解析式分段函数 【考点分类】 热点 函数定义域值域 1,【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】函数 y ? A....
考点04 函数的概念(定义域、值域、解析式、分段函数)-2...
考点04 函数的概念(定义域值域解析式分段函数)-2016届高考文科数学必考考点专题分类训练_高考_高中教育_教育专区。【考点剖析】 1.最新考试说明: (1)了解...
...04函数的概念(定义域、值域、解析式、分段函数)理.
2018届高考数学黄金考点精析精训考点04函数的概念(定义域值域解析式分段函数)理. - 考点 4 函数的概念(定义域值域解析式分段函数) 【考点剖析】 ...
函数定义域值域解析式图像练习卷1
函数定义域值域解析式图像练习卷1_数学_高中教育_教育专区。函数定义域值域、...f ( x ? 2) ( x ? 6) 案为 A . 考点:分段函数的概念及求值. 4.C...
...函数的定义域和值域、解析式和分段函数(新课标解析...
考点04 函数定义域值域解析式分段函数 【考点剖析】 一.明确要求 1.主要考查函数定义域值域解析式的求法. 2.考查分段函数的简单应用. 3.由于...
更多相关标签: