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2013走向高考数学4-7


基础巩固强化 1.(文)已知两座灯塔 A、B 与 C 的距离都是 a,灯塔 A 在 C 的北 偏东 20° 灯塔 B 在 C 的南偏东 40° 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( , , A.a C. 2a [答案] B [解析] 由余弦定理可知,AB2=a2+a2-2a· cos120° a· =3a2,得 B. 3a D.2a )

AB= 3a,故选 B

. (理)(2011· 舟山期末)某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° , 然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点恰好 3 km,那么 x 的值为 ( ) A. 3 C.2 3或 3 [答案] C [解析] 如图,△ABC 中,AC= 3,BC=3,∠ABC=30° , 由余弦定理得, ∠ABC, ∴3=x2+9-6x· cos30° ,∴x= 3或 2 3. AC2 = AB2 + BC2 -2AB· cos BC· B.2 3 D.3

2. 一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40n mile 的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30min 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏 东 65° ,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2n mile C.20 2n mile [答案] A [解析] 如图,由条件可知△ABC 中,∠BAC=30° ,∠ABC= ) B.10 3n mile D.20 3n mile

105° ,AB=20,∠ACB=45° , BC 20 由正弦定理得sin30° sin45° = ,∴BC=10 2,故选 A.

3.(2012· 东北三校模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距 10n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看 见一灯塔在船的南 60° 西,另一灯塔在船的南 75° 西,则这艘船的速 度是每小时( A.5n mile C.10n mile [答案] C ) B.5 3n mile D.10 3n mile

[解析] 如图, 依题意有∠BAC=60° ∠BAD=75° 所以∠CAD , , =∠CDA=15° ,从而 CD=CA=10,在 Rt△ABC 中,求得 AB=5, 5 ∴这艘船的速度是0.5=10(n mile/h). 4.(2011· 沧州模拟)有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高 不变,将倾斜角改为 10° ,则斜坡长为( A.1 C.2cos10° [答案] C [解析] 如图,BD=1,∠DBC=20° ,∠DAC=10° , )

B.2sin10° D.cos20°

1 AD 在△ABD 中,由正弦定理得sin10° sin160° = , ∴AD=2cos10° . 5.

(2012· 厦门质检)如图所示, 在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上一 建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15° ,向山顶前进 100m 到达 B 处,又测得 C 对于山坡的斜度为 45° ,若 CD=50m,山坡对于地平 面的坡度为 θ,则 cosθ=( 3 A. 2 C. 3-1 [答案] C [解析] 在△ABC 中,由正弦定理可知, BC= AB· sin∠BAC 100sin15° = =50( 6- 2), sin∠ACB sin?45° -15° ? BC· sin∠CBD CD ) B.2- 3 2 D. 2

在△BCD 中,sin∠BDC= =

50? 6- 2?· sin45° = 3-1. 50

由题图知,cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC= 3-1. 6.

如图,海岸线上有相距 5n mile 的两座灯塔 A、B,灯塔 B 位于灯 塔 A 的正南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° 方向, A 相距 3 2n mile 的 D 处; 与 乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5n mile 的 C 处,则两艘轮船之间的距离为( A.5n mile C. 13n mile [答案] C [解析] 连接 AC, ∠ABC=60° BC=AB=5, AC=5.在△ACD , 则 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45° ,由余弦定理得 CD= 13. 7.在地面上一点 D 测得一电视塔尖的仰角为 45° ,再向塔底方 向 前 进 100m , 又 测 得 塔 尖 的 仰 角 为 60° 则 此 电 视 塔 高 约 为 , ________m.( A.237 C.247 [答案] A [解析] ) B.227 D.257 B.2 3n mile D.3 2n mile )

解法 1: 如图, ∠D=45° ∠ACB=60° DC=100, , , ∠DAC=15° , DC· sin45° ∵AC= sin15° , ∴AB=AC· sin60° = 100· sin45°sin60° · sin15°

2 3 100× 2 × 2 = ≈237.∴选 A. 6- 2 4 解法 2:在 Rt△ABD 中,∠ADB=45° ,∴AB=BD, ∴BC=AB-100.在 Rt△ABC 中,∠ACB=60° , ∴ AB = 3,∴AB=150+50 3≈237. AB-100

8.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯 塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在 北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为________km. [答案] 30 2

[解析] 如图,依题意有 AB=15×4=60,∠MAB=30° ,∠AMB 60 BM =45° ,在三角形 AMB 中,由正弦定理得sin45° sin30° = , 解得 BM=30 2(km). 9.(2011· 洛阳部分重点中学教学检测)在 O 点测量到远处有一物 体在做匀速直线运动,开始时刻物体位于 P 点,一分钟后,其位置在 Q 点,且∠POQ=90° ,再过一分钟,该物体位于 R 点,且∠QOR= 30° ,则 tan∠OPQ 的值为________. [答案] [解析] 3 2 由于物体做匀速直线运动,根据题意,PQ=QR,不妨

设其长度为 1.在 Rt△POQ 中,OQ=sin∠OPQ,OP=cos∠OPQ,在 2 △OPR 中,由正弦定理得sin120° = OP 1 ,在△ORQ 中, = sin30° sin∠ORP

OQ OQ 3 ,两式两边同时相除得 OP =tan∠OPQ= 2 . sin∠ORQ 10.(2011· 东北三校二模)港口 A 北偏东 30° 方向的 C 处有一检查 站,港口正东方向的 B 处有一轮船,距离检查站为 31n mile,该轮船 从 B 处沿正西方向航行 20n mile 后到达 D 处观测站,已知观测站与 检查站距离 21n mile,问此时轮船离港口 A 还有多远?

[解析] 在△BDC 中,由余弦定理知, BD2+CD2-BC2 1 cos∠CDB= =-7, 2BD· CD 4 3 ∴sin∠CDB= 7 . π ∴sin∠ACD=sin(∠CDB-3) π π 5 3 =sin∠CDBcos3-cos∠CDBsin3= 14 . 在△ACD 中,由正弦定理知 AD CD =sinA sin∠ACD

5 3 3 ?AD= 14 ×21÷ 2 =15(n mile). ∴此时轮船距港口还有 15n mile. 能力拓展提升 11.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯 角分别为 45° 30° 和 ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船 相距( ) B.100 3m D.30m

A.10 3m C.20 30m [答案] A

[解析] 设炮塔顶 A、底 D,两船 B、C,则∠BAD=45° ,∠CAD

=30° ,∠BDC=30° ,AD=30,∴DB=30,DC=10 3,BC2=DB2 +DC2-2DB· cos30° DC· =300, ∴BC=10 3. 12.(2012· 湖南文,8)在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° , 则 BC 边上的高等于( 3 A. 2 C. 3+ 6 2 ) 3 3 B. 2 D. 3+ 39 4

[答案] B [解析] 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB,即 7=AB2 1 +4-2×2AB×2,AB2-2AB-3=0,∴AB=3 或 AB=-1(舍去),则 3 3 BC 边上的高 AD=ABsinB=3×sin60° 2 . = 13. (2013· 安徽省阜阳市第一中学二模)△ABC 为锐角三角形,且 m=sinA+sinB,n=cosA+cosB,则 m 与 n 的大小关系为( A.m≥n C.m>n [答案] C π π π π π [解析] ∵△ABC 为锐角三角形, ∴A+B>2,>A>2-B>0,>B>2 2 2 -A>0, ∴sinA>cosB, sinB>cosA, ∴sinA+sinB>cosA+cosB, ∴m>n, 故选 C. 14.(2012· 重庆理,13)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 3 5 a、b、c,且 cosA=5,cosB=13,b=3,则 c=________. B.m≤n D.m<n )

[答案]

14 5

4 12 [解析] 由已知 sinA=5,sinB=13. 4 ∴sinC=sin[π- (A+ B)]= sin(A+ B)=sinAcosB+cosAsinB= 5 56 3×65 5 3 12 56 c b bsinC 14 ×13+5×13=65.由正弦定理sinC=sinB,∴c= sinB = 12 = 5 . 13 15. (2012· 河北衡水中学调研)如图, 在山脚 A 测得山顶 P 的仰角 为 α=30° ,沿倾斜角为 β=15° 的斜坡向上走 10m 到 B,在 B 处测得 山顶 P 的仰角为 γ=60° ,求山高 h(单位:m).

[解析] 在三角形 ABP 中, ∠ABP=180° -γ+β, ∠BPA=180° -(α-β)-∠ABP =180° -(α-β)-(180° -γ+β) =γ-α. 在△ABP 中,根据正弦定理得 AP AB = , sin∠ABP sin∠APB



AP 10 = , sin?180° -γ+β? sin?γ-α? 10sin?γ-β? . sin?γ-α?

∴AP=

又 γ=60° ,α=30° ,β=15° , ∴山高为 h=APsinα= 10sinαsin?γ-β? =5 2(m). sin?γ-α?

16.(2011· 东北四校联考)在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山峰, 山顶设有一个观察站 P,有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行, 上午 11?00时, 测得此船在岛北偏东 15° 俯角为 30° B 处, 11?10 、 的 到 时,又测得该船在岛北偏西 45° 、俯角为 60° C 处. 的

(1)求船的航行速度; (2)求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离. x [解析] (1)设船速为 xkm/h,则 BC=6km. 在 Rt△PAB 中,∠PBA 与俯角相等为 30° , 1 ∴AB=tan30° 3. =

1 3 同理,Rt△PCA 中,AC=tan60° 3 . = 在△ACB 中,∠CAB=15° +45° =60° , ∴由余弦定理得 BC= 3 3 21 ? 3?2+? 3 ?2-2× 3× 3 cos60° 3 , =

21 ∴x=6× 3 =2 21km/h, ∴船的航行速度为 2 21km/h. (2)作 AD⊥BC 于点 D,连接 PD, ∴当航行驶到点 D 时,AD 最小,从而 PD 最小. 3 3 3× 3 × 2 AB· sin60° AC· 3 7 此时,AD= = = 14 . BC 21 3 ∴PD= 3 259 1+?14 7?2= 14 .

259 ∴船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为 14 km.

1.(2012· 重庆理,5)设 tanα、tanβ 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 则 tan(α+β)的值为( )

A.-3 C.1 [答案] A

B.-1 D.3

[解析] 本题考查了根与系数的关系与两角和的正切公式. 由已知 tanα+tanβ=3,tanα· tanβ=2, tanα+tanβ 3 所以 tan(α+β)= = =-3.故选 A. 1-tanα· tanβ 1-2 [点评] 运用根与系数的关系,利用整体代换的思想使问题求解 变得简单. 2.(2012· 重庆文,5) 3 A.- 2 1 C.2 [答案] C [解析] ∵sin47° =sin(30° +17° )=sin30° cos17° +cos30° sin17° , sin30° cos17° +sin17° cos30° -sin17° cos30° 1 ∴原式= =sin30° 2. = cos17° 3.(2012· 上海文,17)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ ABC 的形状是( ) B.直角三角形 D.不能确定 sin47° -sin17° cos30° =( cos17° 1 B.-2 3 D. 2 )

A.钝角三角形 C.锐角三角形 [答案] A

[解析] 由 sin2A+sin2B<sin2C.由正弦定理可得 a2+b2<c2,则由 a2+b2-c2 余弦定理 cosC= 2ab <0,则角 C 为钝角,故三角形为钝角三角 形.

4.(2012· 浙江理,18)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 2 a、b、c.已知 cosA=3,sinB= 5cosC. (1)求 tanC 的值; (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. 2 [解析] (1)∵0<A<π,cosA=3, 5 ∴sinA= 1-cos2A= 3 , 又 5cosC=sinB=sin(A+C) 5 2 =sinAcosC+cosAsinC= 3 cosC+3sinC. 所以 tanC= 5. (2)由 tanC= 5,得 sinC= 于是 sinB= 5cosC= 5 . 6 5 1 ,cosC= . 6 6

a c 由 a= 2及正弦定理sinA=sinC,得 c= 3, 1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S=2acsinB= 2 . 5.

(2011· 郑州一测)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射 型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在 C 处进行该仪器的垂直弹射, 观察点 A、B 两地相距 100m,∠BAC=60° ,在 A 地听到弹射声音的 2 时间比 B 地晚17s.A 地测得该仪器在 C 处时的俯角为 15° ,A 地测得 最高点 H 的仰角为 30° 求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速 , 度为 340m/s) 2 [解析] 由题意,设|AC|=x,则|BC|=x-17×340=x-40, 在△ABC 内,由余弦定理:|BC|2=|BA|2+|CA|2-2|BA|· cos∠ |CA|· BAC, 即(x-40)2=x2+10000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,|AC|=420,∠CAH=30° +15° =45° ,∠CHA=90° -30° =60° , |CH| |AC| 由正弦定理: = , sin∠CAH sin∠AHC sin∠CAH 可得|CH|=|AC|· =140 6. sin∠AHC 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 6m. 1 3 6.在△ABC 中,tanA=4,tanB=5. (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 最大边的边长为 17,求最小边的边长. [解析] (1)∵C=π-(A+B), 1 3 4+5 ∴tanC=-tan(A+B)=- 1 3=-1. 1-4×5

3π 又∵0<C<π,∴C= 4 . 3π (2)∵C= 4 ,∴AB 边最大,即 AB= 17. π? ? 又∵tanA<tanB,A、B∈?0,2?,
? ?

∴角 A 最小,BC 边为最小边.

?tanA= sinA =1, cosA 4 ∵? ?sin2A+cos2A=1.

π? ? 17 且 A∈?0,2?,∴sinA= 17 . ? ?

AB BC sinA 由sinC=sinA得,BC=AB· = 2. sinC 所以,最小边 BC= 2. 7.

如图所示, 甲船由 A 岛出发向北偏东 45° 的方向作匀速直线航行, 速度为 15 2n mile/h,在甲船从 A 岛出发的同时,乙船从 A 岛正南 1 40n mile 处的 B 岛出发,朝北偏东 θ(θ=arctan2)的方向作匀速直线航 行,速度为 10 5n mile/h. (1)求出发后 3h 两船相距多少海里? (2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?

(3)两船在航行中能否相遇?试说明理由. [解析] 以 A 为原点,BA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1=15 2tcos45° =15t,y1=x1=15t, 1 2 5 5 由 θ=arctan2可得,cosθ= 5 ,sinθ= 5 , 故 x2=10 5tsinθ=10t, y2=10 5tcosθ-40=20t-40, (1)令 t=3,则 P、Q 两点的坐标分别为(45,45),(30,20), |PQ|= ?45-30?2+?45-20?2= 850=5 34. 即两船出发后 3h,相距 5 34n mile. (2)由(1)的求解过程易知: |PQ|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?10t-15t?2+?20t-40-15t?2 = 50t2-400t+1600= 50?t-4?2+800≥20 2, ∴当且仅当 t=4 时,|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发后 4h,相距最近,距离为 20 2n mile. (3)由(2)知两船航行过程中的最近距离为 20 2n mile,故两船不 可能相遇.


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