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二次根式的定义和化简


二次根式的定义和化简
知识点一:二次根式的定义和性质 (1)定义 例 1:下列式子一定是二次根式的是 A. ? x ? 2 (2)非负性: 例 1:若式子 x ? 5 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( A.x>-5 例 2:函数 y ? B.x<-5 C.x≠-5 D.x≥-5 ) B. x C. x 2 ? 2 D. x 2 ? 2 ( )

/>


1 的自变量 x 的取值范围在数轴上可表示为( x ?1
x 0 1 B. x 0 1 C. ) x

0 1 A.

0 1 D.

x

例 3:若 x ? 2 y ? A.64 练习:

y ? 2 ? 0 ,则 (? xy)2 的值为(
B. ?64 C.16 D. ?16

1、若 2 x ? 1 有意义,则 x 的取值范围是_________. 2、如果 x ? 1 有意义,那么字母 x 的取值范围是( A. x ≥ 1 B. x ? 1 C. x ≤ 1 ) D. x ? 1

3、函数 y=

2x ?1 中,自变量 x 的取值范围是 x ?1

.

4、若 x2 ? 2xy ? y 2 ?

y ? 2 ? 0 ,则 (? xy)2 的值为(



5、已知 a 为实数,求代数式 a ? 2 ? 8 ? 4a ? ?a2 的值.

1

(2)基本性质 1:

ab ? _______________________

a ? ____________________ b

例 1:化简二次根式: (1) 8 ? ______ (2) 12 ? ______(3) 18 ? ______ (4) 20 ? ______(5) 24 ? ______ (6) 28 ? ______ (7) 32 ? ______ (8) 40 ? ______ (9) 48 ? ______ (10) 50 ? ______ (11) 128 ? ______ (12) 128 ? ______ (13) (16)

1 1 1 (14) (15) ? ______ ? ______ ? ______ 2 3 8

1 ? ______(17) 0.5 ? ______ 12
. (2)计算: 5 2 ? 8 = .

例 2:(1)计算 12 ? 3 的结果是 (3)基本性质 2: a 2 =____________ 例 1:化简 (-3) A.3
2

的结果是( B.-3

) C.±3 D.9 ) D. a ≤ 1

2 例 2:若 (1 ? a ) ? 1 ? a ,则 a 的取值范围是(

A. a ? 1

B. a ≥ 1

C. a ? 1
2

例 3: 当 1 ? x ? 5 时,

? x ?1?

? x ? 5 ? _____________ 。
1 ? a 2 ? 2 ,其中 a2

例 4:对于题目“化简并求值: 1 ?
a

” ,甲、乙两人的解答不同。甲的解答是:

1 ? a

1 1 1 1 1 49 ; ? a 2 ? 2 ? ? ( ? a) 2 ? ? ? a ? 2 a a a a 5 a
1 1 1 1 1 1 ? a 2 ? 2 ? ? (a ? ) 2 ? ? a ? ? 。 2 a a a a 5 a

乙的解答是: 1 ? a

谁的解答是错误的?为什么?

练习: 1.下列变形中,正确的是(



2

(A)(2 3 )2=2×3=6 (C) 9 ? 16 = 9 ? 16 2.下列各式中,一定成立的是(
2 (A) ( a ? b) =a+b

(B) (? ) =-
2

2 5

2 5

(D) (?9) ? (?4) = 9 ? 4 )
2 2 (B) ( a ? 1) =a2+1

(C) a2 ?1 = a ? 1 · a ? 1

(D)

a 1 = b b

ab


2 2 2 2 3.若 x<y<0,则 x ? 2 xy ? y + x ? 2 xy ? y =(

(A)2x 4.当

(B)2y

(C)-2x

(D)-2y

1 1 <x<1 时, x 2 ? 2 x ? 1 - ? x ? x 2 =______________. 2 4

5.实数 a 在数轴上的位置如图所示: 化简: a ? 1 ? (a ? 2) ? ______ .
2

a
?1

0

1

2

知识点三:最简二次根式: (1) (2)

例 1:下列根式中属最简二次根式的是( A. a2 ?1 B.

) D. 27
) .

1 2

C. 8

例 2:下列二次根式中,是最简二次根式的是( A. 0.2 B. a 2 ? b 2 C.

1 x

D. 4a

知识点四:同类二次根式: 例 1:下列各式中与 2 是同类二次根式的是 ( A.2 3 B. C. 8 ) D. 10 )

例 2:已知二次根式 2a ? 4 与 2 是同类二次根式,则 a 值可以是( A、5 B、6 C、7 D、8

3

例 3:以下二次根式:① 12 ;② 22 ;③ A.①和② B.②和③

2 ;④ 27 中,与 3 是同类二次根式的是( 3
D.③和④

) .

C.①和④

知识点五:二次根式的加减法 例 1:计算 (1) ( π ? 1) ? 12 ? ? 3 .
0

(2) 4 5 ? 45 ? 8 ? 4 2

(3)

6 ?1? ? 18 ? ? ? . 2 ?2?

0

9 (4) 8 ? 32 ? 2

?1? (5) 计算 8 ? 2 3 ? 2 ? ? ? ? 2?
0

?

?

?1

(6) 18 ?

2 8 ? ? 2 2

?

5 ?1

?

0

作业:

1.当

a?2 a?2

有意义时,a 的取值范围是( B.a>2 C.a≠2

) D.a≠-2

A.a≥2

2.如果 x ? x ? 6 ?

x( x ? 6) ,那么( )
D.x 为一切实数

A.x≥0 B.x≥6 C.0≤x≤6 3.小明的作业本上有以下四题:

① 16a 4 ? 4a 2 ;② 5a ? 10a ? 5 2a ;③ a 是( ) A.①

1 1 ? a 2 ? ? a ;④ 3a ? 2a ? a 。做错的题 a a

B.②

C.③

D.④ ) .

4、已知 a ? 2 ? b ? 1 ? 0 ,那么 (a ? b) 2007 的值为( A、-1 B、1 C、 3
2007

D、 ? 3

2007

4

5.如果 a ? 2 ? 5 , b ?

1 2? 5

,那么 a 与 b 的关系是 ( C.a>b

) D.a=b )

A.a<b 且互为相反数 6.在根式① a2 ? b A.①② 7.把 a ? ②

B.a>b 且互为相反数

x 5

③ x 2 ? xy C.①③

④ 27abc 中最简二次根式是(

B.③④

D.①④ )

1 中根号外面的因式移到根号内的结果是( a
B. ?

A. ? a

a

C. ? ? a

D. a ) D. 45与 54

9.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( A. 12与

1 2

B. 18与 27

C. 3与 12
2

2 10.① ( ?0.3) ?

;② ( 2 ? 5 ) ? 有意义的条件是 。



11.二次根式

1 x ?3

12.若 0≤ a ≤1,则 a 2 ? (a ? 1) 2 = 13.比较大小: 2 3 14.当 x=



13 ; ? 3 2

? 2 3 ; 2 3 ? 11


3 2 ? 17

时,二次根式 x ? 1 取最小值,其最小值为

15.已知 a,b,c 为三角形的三边,化简

(a ? b ? c) 2 ? (b ? c ? a) 2 ? (b ? c ? a) 2

=________

16.观察下列各式: 2 ?

2 2 3 3 4 4 ? 2 ? ; 3? ? 3? ; 4? ? 4 ? ;?? 3 3 8 8 15 15
; 用 n(n ? 2) 的 等 式 表 达 你 所 观 察 得 到 的 规 律 应 。

则依次第四个式子是 是 17.计算 (1) ( π ? 1) ? 12 ? ? 3 .
0

(2) 12 ? 18 ? 0.5 ?

1 3

(3) 18 ? ( 2 ? 1) ?1 ? (?2) ?2

5


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