当前位置:首页 >> 数学 >>

第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第 六 章 不 等 式、 推 理 与 证 明

高考成功方案第一步
第三节 二元一 次不等 式(组) 与简单 的线性 规划问 题

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式. 2.了

解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表 示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问

题,并能加以解决.

返回

返回

1.如图所示的平面区域(阴影部分) 满足不等式 A.x+y-1<0 B.x+y-1>0 C.x-y-1<0 ( )

D.x-y-1>0

返回

解析:∵直线过点(0,1)和(1,0) ∴阴影区域的边界所在的直线方程为x+y-1=0, 又当x=0,y=0时,x+y-1<0, ∴阴影部分满足的不等式为x+y-1>0.

答案:B

返回

2.下列各点中,与点(1,2)位于直线x+y-1=0的 同一侧的是 ( )

A.(0,0)
C.(-1,3)

B.(-1,1)
D.(2,-3)

返回

解析:当x=1,y=2时,x+y-1=1+2-1=2>0

当x=-1,y=3时,x+y-1=-1+3-1=1>0
∴(-1,3)与(1,2)位于直线x+y-1=0的同侧. 答案:C

返回

3 . (2011· 北 高 考 ) 直 线 2x + y - 10 = 0 与 不 等 式 组 湖 ?x≥0, ? ?y≥0, ? ?x-y≥-2, ?4x+3y≤20 ?

表示的平面区域的公共点有

(

)

A.0个 C.2个

B.1个 D.无数个

返回

解析:直线2x+y-10=0与不等式组 表示的平面区域的位置关系如图所示,

故直线与此区域的公共点有1个.

答案:B

返回

4.点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x -y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是_____. 解析:画图知点P为(0,0)时, 其到原点距离最小为

0;点P为(-6,8)时,其到原点最大距离为10.
答案:[0,10]

返回

5.若实数 x、y 满足 ?x+y-2≥0, ? ?x≤4, ?y≤5, ?

则 s=x+y 的

最大值为________. 解析:可行域如图所示,作直线
l0:y=-x,当平移直线y=-x至 点A处时,s=x+y取得最大值,

即smax=4+5=9.
答案:9

返回

1.二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有 点组成的平面区域(半平面) 不包括 边界直线. 不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面) 包括 边界直线.

返回

(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y),使得Ax+By+C的值符号相同,也就是

位于同一半平面的点,其坐标适合Ax+By+
C>0;而位于另一个半平面内的点,其坐标 适合 Ax+By+C<0 .

返回

(3)可在直线Ax+By+C=0的某一侧任取一点,一般 取特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的 符号 来判断

Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.

返回

(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域, 是各个不等式所表示的平面区域的 公共部分 .

2.线性规划中的基本概念 名称 意义

约束条件 由变量x,y组成的 不等式 线性约束 由x,y的 一次 不等式(或方程)组成的不 条件 等式(组)

返回

名称 目标函数 线性目标

意义 关于x,y的函数 解析式 ,如z=2x+3y等 关于x,y的 一次 解析式 满足线性约束条件的解 (x,y)

函数
可行解

返回

名称 可行域 最优解

意义 所有可行解组成的 集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 或 最小值 问题

线性规划 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 问题

返回

返回

[做一题] ?x-y+5≥0, ? [例1]已知不等式组?x+y≥0, ?x≤3. ? (1)画出该不等式组所表示的平面区域; (2)分别写出x、y的取值范围.

返回

[自主解答]

(1)不等式x-y+5≥0

表示直线x-y+5=0上及右下方 的点的集合,x+y≥0表示直线 x+y=0上及右上方的点的集合, x≤3表示直线x=3上及其左方 的点的集合.不等式组表示的平 面区域即为图示的三角形区域:

返回

(2)由(1)可得x、y的取值范围分别为: 5 [-2,3],[-3,8].

返回

本例中的x,y能同时取得最小值吗?
5 5 解:当x取最小值-2时,y=2;当y取最小值-3时, x=3故x,y不能同时取得最小值.

返回

[悟一法]

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直
线定界,测试点定域. 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成 虚线,有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也 可以选多个,若直线不过原点,测试点常选取原点.

返回

[通一类]
1.如图,△ABC中,A(0,1),B(-2,2), (2,6),写出 △ABC区域所表示的二元 一次不等式组. 解:由两点式得直线AB、BC、CA的

方程并化简为:
直线AB:x+2y-2=0, 直线BC:x-y+4=0, 直线CA:5x-2y+2=0.

返回

∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左 ?x+2y-2≥0, ? 端,结合式子的符号可得不等式组为?x-y+4≥0, ?5x-2y+2≤0. ?

返回

[做一题] ?x-y+2≥0 ? 已知?x+y-4≥0 ?2x-y-5≤0 ?

[例 2] 大值.

,设 z=x+2y,求 z 的最

返回

[自主解答] 作出可行域如图阴影部分,并求出交点 的坐标为A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).

返回

1 1 平移动直线y=- 2 x+ 2 z至可行域,易知当动直线经 过点C时,纵截距达到最大值,z最大,∴zmax=7+ 2×9=25.

返回

保持例题条件不变,如何解决下列问题. (1)设 z=x2+y2-10y+25,求 z 的最小值; y+1 (2)设 z= ,求 z 的取值范围. x+1

返回

解:(1)z=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到定 点M(0,5)的距离的平方.过M作直线AC的垂线,易 知垂足N在线段AC上(图略),故z的最小值是|MN|2= |0-5+2| 2 9 ( )= . 2 2 y+1 (2)z= 表示可行域内任一点(x,y)与定点Q(-1, x+1 1 -1)连线的斜率(图略).因为kQA=2,kQB= ,故z的 2 1 取值范围是[ ,2]. 2

返回

[悟一法] 1.线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取

得,也可能在边界处取得.
2.求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函 数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数.

返回

3.对目标函数不是一次函数的问题,常考虑目标函数 的几何意义.如:(1) x2+y2 表示点(x,y)与原点

(0,0)之间的距离; ?x-a?2+?y-b?2 表示点(x,y)与 y 点(a,b)之间的距离.(2) x 表示点(x,y)与原点(0,0) y-b 连线的斜率; 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜 x-a 率.这些代数式的几何意义能使所求代数问题转化 为几何问题.

返回

[通一类]

2.(2011· 湖南高考改编)设 m>1,在约束条件 ?y≥x, ? ?y≤mx, ?x+y≤1 ?

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于

2,求 m 的取值范围.

返回

1 z 解:变换目标函数为y=-mx+m,由 1 于m>1,所以-1<-m<0,不等式组表示 的平面区域如图中的阴影部分所示,根据 1 z 目标函数的几何意义,只有直线y=-mx+m在y轴上的

返回

截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点A处取得最 1 m 大值,由y=mx,x+y=1,得A( , ),所以目标 1+m 1+m 1 m2 函数的最大值是 + <2,即m2-2m-1<0,解得1 1+m 1+m - 2<m<1+ 2,故m的取值范围是(1,1+ 2).

返回

[做一题]

[例3] (2011· 四川高考)

某运输公司有12名驾驶员和19名

工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的 乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物,派用的每辆车 需满载且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2名工人, 运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工

人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两
类卡车的车辆数,可得最大利润z= ( )

返回

A.4 650元 C.4 900元

B.4 700元 D.5 000元

返回

[自主解答] 设派用甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆, ?10x+6y≥72, ? ?x+y≤12, ? 则?2x+y≤19, ? ?0≤x≤8, ?0≤y≤7 ? 目标函数 z=450x+350y, 画出可行域如图, 当目标函 数经过 A(7,5)时,利润 z 最大,为 4 900 元. [答案] C

返回

[悟一法]
线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解 题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找 出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为 简单的线性规划问题,再按如下步骤完成

返回

(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数

所表示的平行直线系中过原点的那一条l0;
(2)平移——将l0平行移动,以确定最优解的对应点A的 位置; (3)求值——解方程组求出A点坐标(即最优解),代入目标 函数,即可求出最值.

返回

[通一类] 3.某公司仓库A存有货物12吨,仓库B存有货物8吨,

现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙
三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每 吨货物的运费分别为8元、6 元、9元;从仓库B运 货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为 3元、4元、5元.问应如何安排调运方案,才能

使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少?

返回

解:将已知数据列成下表: 商店 每吨运费 仓库 A 8 6 9 甲 乙 丙

B

3

4

5

返回

设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨,

则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)吨,
从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8 -y)吨、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)吨, 于是总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y) +5(x+y-7)=x-2y+126.

返回

?12-x-y≥0, ? ?7-x≥0, ? ∴线性约束条件为?8-y≥0, ? ?x+y-7≥0, ?x≥0,y≥0 ? ?x+y≤12, ? ?0≤x≤7, 即? ?0≤y≤8, ?x+y≥7. ?

返回

目标函数为z=x-2y+126.

返回

作出上述不等式组表示的平面区域,即可行域,如图所示 作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移

动到过点(0,8)时,在可行域内z=x-2y+126取得最小值
zmin=0-2×8+126=110,则x=0,y=8时总运费最少. 安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货物 分别为0吨、8吨、4吨,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物 分别为7吨、0吨、1吨,此时可使得从两个仓库运货物到三

个商店的总运费最少.

返回

返回

[热点分析]
简单的线性规划问题是高考每年的必考内容,题型 多为选择题或填空题,高考试题的考查主要有以下几种: 一是求给定可行域的面积;二是求给定可行域的最优解; 三是给出可行域的最优解,求目标函数中的参数的范围; 四是线性规划在实际问题中的应用. 另外,与向量的运算、概率相结合的趋势也在加强,

应予以充分重视.

返回

[考题印证] (2011· 天津高考)设变量x,y满足约束条件 ?x≥1, ? ?x+y-4≤0, ?x-3y+4≤0, ? A.-4 4 C.3 ( )

则目标函数z=3x-y的最大值为

B.0 D.4

返回

[考题纠错]———————————(前人之鉴,后人之师)
[错解] 根据约束条件作出可行域, 如图所示,易求A(2,2),C(1,3). 由图易知,目标函数y=3x-y在 C点处取得最大值ymax=3×1-3=0.

[答案] B

返回

[错因]

本题错解的原因是忽视了z值与目标函数对应直

线的截距相反. 除此之外,解决线性规划问题时,以下几点容易造成 失误: (1)对区域边界的实虚不分而出现错误;

(2)平移目标函数对应直线时,易出现与原区域边界的相
对位置关系不准确; (3)解决实际问题,易忽略解的实际意义,如整解问题.

返回

[正解] 根据约束条件可作出可行域,如上图所示,

∵z=3x-y,∴y=3x-z,
∴目标函数所在直线由图中虚线位置向下平移时,z 逐渐变大,当经过点A(2,2)时,z取得最大值,即zmax =3×2-2=4. [答案] D

返回

?x+2y-5≤0, ? 1.设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ?x≥0, ? 目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为
A.11 C.9 B.10 D.8.5



(

)

返回

解析:画出不等式组表示的平面区域 z-1 2 如图,由目标函数得y=-3x+ 3 , 根据目标函数的几何意义,显然当直 z-1 2 线y=-3x+ 3 在y轴上的截距最大时z最大,故在图 中的点A处目标函数取得最大值,点A(3,1), 所以zmax=2×3+3×1+1=10.
答案:B

返回

2.在平面直角坐标系中,若不等式组 ?x+y-1≥0, ? ?x-1≤0, ?ax-y+1≥0 ?

(a 为常数)所表示的平面区域的

面积等于 2,则 a 的值为
A.-5 B.1

(

)

C.2

D.3

返回

解析:由题意知不等式组所表示 的平面区域为一个三角形区域, 设为△ABC,可得A(1,0),B(0,1), C(1,1+a)且a>-1, ∵S△ABC=2, 1 ∴2(1+a)×1=2,解得a=3.
答案:D

返回

?x+y-11≥0 ? 3.设不等式组 ?3x-y+3≥0 ?5x-3y+9≤0 ?

表示的平面区域为D.

若指数函数y=ax的图象上存在区域D上的点,则a 的取值范围是
A.(1,3] C.(1,2] B.[2,3] D.[3,+∞)

(

)

返回

解析:画出不等式组表示的平面区域 如图中阴影部分所示(包括边界).当 a>1时才能够使函数y=ax的图象上存 在区域D上的点,由图可知当函数 y=ax的图象经过点A时a取得最大值, 由方程组

返回

?x+y-11=0, ? ? ?3x-y+3=0, ?

解得x=2,y=9,

即点A(2,9),代入函数解析式得 9=a2, 即a=3, 故1<a≤3.

答案:A

返回

4. 若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4, 且点 P 在不等式 2x+y<3 表示的平面区域内,则 m=
?|4m-9+1| ? =4, 5 解析:由题意可得? 解得 m=-3. ?2m+3<3 ?
答案:-3

________.

返回

?x≥1, ? 5.已知实数x,y满足 ?x-2y+1≤0 ?x+y≤m ?

如果目标函数z=

y x的最大值为2,则实数m=________.

返回

解析:作出可行域如图所示,目标函数 y z=x可以看做是可行域中一点与原点连 线的斜率,显然目标函数的图象过点A y 和点O时,目标函数z=x取得最大值2. 此时x=1,y=2,∴m=1+2=3.
答案:3

返回

点击下图片进入

返回


相关文章:
第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题 1.若实数 x,y ?x+2y-5≥0, 满足不等式组 ?2x+y-7≥0, ?x≥0,y≥0, B.15 ...
第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 课下作业
第六章 二元一次不等式( 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题题组一 二元一次不等式(组 表示的平面区域 二元一次不等式 组)表示的平面区域 +...
第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
二元一次不等式( 第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题题组一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 x+y-1≥0, 1.(2009福建高考)在平面...
第六章 第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 第六章 第三节 二元一次不等式(组)简单的线性规划问题 隐藏>> 一...
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 文
​第​六​章​ ​第​三​节​二​元​一​次​不​...第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二...
第六章二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第六章二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_数学_高中教育_教育专区。第六章 不等式 考点二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【考试说明】线性规划以选...
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016-2017年高三数学理科复习资料,详略得当,重点突出,难点解析详细,清楚!...
第三节 二元一次不等式组和简单线性规划问题
第三节 二元一次不等式组和简单线性规划问题_数学_高中教育_教育专区。二元一次不等式组和简单线性规划问题 山东省巨野一中 高三数学课时学案班级 课题 目标及要求...
2014年人教A版数学理(福建用)课时作业:第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
2014年人教A版数学理(福建用)课时作业:第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题_数学_高中教育_教育专区。课时提升作业(三十七) 一、选择题 1...
更多相关标签:
线性代数第六章 | 线性矩阵不等式 | 线性不等式 | 线性矩阵不等式 俞立 | 双线性矩阵不等式 | 不等式线性规划 | lmi线性矩阵不等式 | 双线性矩阵不等式求解 |