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互斥事件(示范教案)


案例 4

对互斥事件的教学设计 (江苏省苏州大学附属中学)

[设计者] 房之华

设计符合现代教育理念和新课程标准的教学方案,是当前教育探讨的热门话题,而概率又是新增加的 高中数学内容,具有一定的难度,学生在学习中会产生许多困惑,为了让学生能正确地理解并掌握,精心 地设计教学方案显得格外重要.笔者就概率中较难学习的一节内容“互斥事件有一个发生的概率”给出教学 方案的一个设计,供大家参考. [课题] [教学目标] 互斥事件有一个发生的概率 通过探究式教学,使学生能正确地理解并掌握“互斥事件”、“彼此互斥”和“对立事

件”等概念,理解并掌握当 AB 互斥时“事件 A+B”的含义及其概率的求法,了解对立事件的概率的和为 1 的结论,会应用所学知识解决实际问题. 通过探究式教学,引导学生学会学习“互斥事件有一个发生的概率”,学会如何观察、推理和评价, 潜移默化地激发学生的情感,使学生形成一种积极的态度和正确的人生价值观. 通过探究式教学,让学生养成手、口、眼、耳、脑五官并用的良好习惯,强化动作技能的熟练. (点评:教学目标是对教学行动结果的预期.教学目标一般涉及三大领域:认知领域、情感领域和动作 领域,认知领域的目标是现代学校教育最重要的领域,根据教学目标是重视学生的学习结果还是过程,教 学目标又可分为行为目标和过程目标,我们在确定教学目标时应全方位地加以考虑.) [教学重点] [教学难点] [教学模式] 互斥事件的概念及其概率的求法 对立事件与互斥事件的关系,事件 A+B 的概率的计算方法. 以探究为主导策略的教学模式,“帮助学生发展理智素养和理智技能”.

(点评:在探究模式中,大部分时间由教师控制,但仍需要学生积极参与活动,教师的主要任务是为 学生的探究活动去精心地创设问题情境,并对学生的探究结果给出客观性的评价) [教学程序] 1、创设情境,让学生的思维“动”起来 [问题 1] 在一个盒子内放有 10 个大小相同的小球,其中有 7 个红球,2 个绿球,1 个黄球.若从盒中

摸出 1 个红球记为事件 A, 从盒中摸出 1 个绿球记为事件 B, 从盒中摸出 1 个黄球记为事件 C, 则事件 A、 B、 C 之间存在怎样的关系(如图 1)?

思考 1:如果从盒中摸出 1 个是红球,则说明事件 A 怎么样? 思考 2:如果从盒中摸出的 1 个球是绿球,即事件 B 发生,则说明事件 A 又如何呢? 思考 3:通过对 1、2 的探究你发现了什么? (点评: 以上几个思考题不能和盘托出, 应逐个抛出, 并留给学生思维的空间, 让学生的头脑动起来.) 学生展开思维活动,并将探索出来的结论加以归纳概括. [探究结论 1] 事件 A 与 B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. 同理,事件 B 与 C、事件 A 与 C 都是互斥事件. 思考 4:若事件 A、B、C 中任何两个都是互斥事件,则就事件 A、B、C 彼此互斥,那么,三个以上的 事件是否也能存在这样的关系呢?若能,请你把它推广到 n 个事件的情形. (点评:引导学生的思维向纵深发展,由特殊的情形去大胆地猜想一般的情形是否也存在,从而培养 学生由特殊到一般的推理思维方式.)

2、广泛联想,让学生的思维“活”起来 为了加深对概念的深刻理解,更清楚地认识事物的本质属性,迅速地建构起知识的认知结构,教师应 引导学生展开广泛的联想. (点评:集合是数学中基本概念之一,是联系中学数学中众多不同知识的纽带,当从集合的角度去认 识排列、组合和概率时,求排列数、组合数和概率,都可看成一个全集下的某个子集到数的集合的不同的 映射,这样有助于揭示这些概念的本质及其内在联系,可见广泛的联想能让学生的思维活跃起来.) [设问 1] 联想集合的知识,想一想,能用集合的知识来解释互斥事件的概念吗?若能,请给出互斥事 件的集合意义. [联想与思考] 要求学生在联想与独立思考的基础上开展小组讨论, 并归纳概括出建立在集合意义上的 互斥事件的形象解释.

[探究结论 3] 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相 交,即交集是空集,如图 1 所示.

[设问 3] 互斥事件与对立事件存在着怎样的关系? 学生思考、讨论与概括可得如下的探究结论: [探究结论 5] 一般地,两个事件对立是两个事件互斥的充分条件,但不是必要条件. [反馈训练]判别下列每对事件是否是互斥事件: 从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 个)中任取 2 件,其中: (1)恰有 1 件次品和恰有 2 件次品; (2)至少有 1 件正品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品; 先由学生独立思考与求解, 再请一名学生公布所做的答案, 让大家来评判与讨论, 直至得到正确答案. (点评:及时反馈是检验概念掌握情况的有效措施,通过练习来纠正学生对概念理解中的错误,从而 强化概念的理解与掌握.) 3、变式教学,让学生的思维“跳”起来

对问题不断地进行变换,在变换中增加思维的难度,让学生的思维“跳一跳”才能够得着,以便培养 学生探究与创新的能力. [变换 1] 对上面的问题 1 稍作变形:“若从盒中摸出 1 个球,得到红球或绿球的概率是多少?” (点评:经变换后的问题,显然增加了思维的难度,为了让学生“跳一跳”能够得着,有必要把问题 加以分解,为问题的解决搭设思维的台阶,本题难在其事件的结果为若干个,而不是单一的.) 为了解答这个问题,我们可以设计系列思考题,从而降低问题的难度. 思考 1:满足怎样的条件,才表示这个事件发生? 思考 2:这个事件是否能分解为若干个基本事件? 思考 3:若把这个事件记作 A+B,则 A+B 的概率如何求? 引导学生思考与讨论,可得出如下结论:

4、注重反思,让学生的思维“深”下去 解决问题不能只追求得出一个答案,应注重解题后的反思,这样才能从题海中解脱出来,达到举一反 三、触类旁通的功效,才能训练学生思维的深刻性.

例1

某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示:

引导学生分析与探究,并让学生登台讲解,然后引导学生反思,归纳求解的方法与步骤,以及应当注 意的问题. [反思 1] 设定义过的事件 A、B、C、D 是彼此互斥的事件组,要结合题意分析清楚互斥的原因;所求 事件是关于互斥事件 A、B、C、D 中两个或几个的和的事件,不符合这两点,就不能运用互斥事件的概率加 法公式. [反思 2] 解题步骤可归结为如下四步: (1)用数学符号来表示问题中的有关事件;(2)判断各事件间的互斥性;(3)应用概率加法公式进 行计算;(4)写出答案. 例2 多少? 引导学生分析,求解与反思. [反思 1] 当问题所涉及的事件包含若干个事件时,要注意进行合理的分类讨论,如:“至少有 1 件为 二级品”可分解为 3 个事件: 示 3 件全是二级品的事件. [反思 2] 在求某些稍复杂的事件的概率时,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互 斥的事件的概率的和,二是先去求此事件的对立事件的概率,前者是直接法,后者为逆向思维法,即间接 法. 5、学会建构,让学生的思维得以升华 零散的知识点,不易被人们所接受和记忆,教师要引导学生对所学的内容给予高度的抽象和概括,建 构精炼的知识结构的框架,便于记忆和应用. 本教案的教学设计试图依据新课程所倡导的教学理念,注重课程的发生和开发过程,注重师生交往、 互动、共同发展的过程,关注学生的发展和情感体验. 参考文献: 1.陈希平. 实验直观 抽象 目标 评价 调控. 数学通报.2002,6 表示恰有 1 件为二级品的事件, 表示恰有 2 件为二级品的事件, 表 在 20 件产品中,有 15 件一级品,5 件二级品,从中取 3 件,其中至少有 1 件为二级品的概率是

2.房之华.对互斥事件的教学设计.数学教学.2004,4 3.傅建明.课堂教学基本技能训练. 杭州大学出版社,1995,11 4.奚定华.数学教学设计.华东师范大学出版社,2001,1 5.徐英俊. 教学设计,教育科学出版社,2001.9 6.王书臣,刘长华,蒋永晶. 数学新课程教学设计,辽宁师范大学出版社,2002.5 7.张景斌.中学数学教学教程.科学出版社 2000,12


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