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2.3其他不等式的解法


2.3 其他不等式的解法
【教学目标】1、掌握简单分式不等式、高次不等式、绝对值不等式的解法 2、分式不等式的应用 3、培养学生化归、分类讨论的数学思想方法 【教学重点】 分式、绝对值不等式的解法 【教学难点】 绝对值不等式的应用 一、课前预习反馈:1、分式方程的解法: 另:

若 a ? b ,则

x?a ? 0 的解集为:

x?b x?a ? 0 的解集为: x?b


; ;

x?a ? 0 的解集为: x?b x?4 ?2 x ?1

x?a ? 0 的解集为: x?b



x2 ? 2x ? 3 ? 2x x ?1

[例 2]

解:

2、绝对值的定义和几何意义: x ? a (a ? 0) 总结解题步骤:1、 3、 二、课堂学习探索: 1、分式不等式 称为分式不等式。 分式不等式与分式方程的解法的相同处是 不同处是 [例 1](1) 解分式不等式 。 [例 3]解不等式: 解: 2、

x?8 ?2 x ? 2x ? 3
2

x?4 ? 0 ? ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 x ?1

练习:解下列不等式:①

2x ? 1 ?1 x2 ? 2



2x ? 1 ?0 1? x

(2)解分式不等式

x?4 ? 0 ? ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 且 x ?1



2x ? 1 ?2 x?2



1 2 1 ? 2x ? 2 ? 3 x ?1 x ? x ?1 x ?1

(3)解分式不等式 小结:分式不等式的解集

?x ? 4 ?0? x ?1

1

[例 4]解关于 x 的方程 m( x ? 1) ? 3( x ? 2) ;当 m 为何值时,此方程的解为正数?负数?

?1 ?1 ? ?x 5、 ? ? 1 ? ?2 ? ?x

6、

a( x ? 1) ? 1 ( a ? 1) x?2

[例 5]解关于 x 的不等式:

x ? 1? a x ?1

练习:

a( x ? 1) ?1 x?2

(a ? 0 )

2、[拓展]某些高次不等式解法 例1、 解关于 x 的不等式: 2( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0 令 f ( x) ? 2( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)
正 因 区 式 负

? ??, ?1?

? ?1, 2?

?1, 2?

? 2, 3?

? 3, ???

[例 6]已知同时满足不等式

x?2 2x ? 5 ? 0与 ? 0 的 x 的整数值只有 ? 2 ,求 a 的取值范围。 x ?1 x?a

x ?1 x ?1 x?2 x?3

f ( x)
练习:解下列关于 x 的不等式: 1、

x?5 ?0 3? x

2、 2 x ? 2 ?

1 1 ? 3x ? 1 ? 2x ? 1 2x ? 1

若 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,则不等式 ( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ?? ( x ? an ) ? 0 或 ( x ? a1 )( x ? a2 ) ? ?? ( x ? an ) ? 0 的解法如下图(即“序轴标根法”或“穿线法”,注意: ) :

3、

x?3 ?1 2? x

4、

3x ? 2 ?0 ( x ? 1)( x 2 ? x ? 1)

(用于解高次不等式的“序轴标根法”从最右边“+”开始) 例 2、解关于 x 的不等式: 2( x ? 1)(1 ? x )( x ? 2)( x ? 3) ? 0

2

例 3、解关于 x 的不等式: 2( x ? 1)( x ? 1)2 ( x ? 2)3 ( x ? 3) ? 0

3、含绝对值不等式的解法

? x (当x ? 0时) ? 1) | x |? ? 0 (当x ? 0时) ?? x (当x ? 0时) ?
2)|x|的意义:它表示实数 x 在数轴上所对应的点到原点的距离(距离为非负数) (1)|x|<1 的解集就是表示在数轴上到原点的距离小于 1 的点所对应的实数 x 的集合 (2)|x|>1 的解集就是表示在数轴上到原点的距离大于 1 的点所对应的实数 x 的集合 (3)|x|<-1 的解集为 ? (4)|x|>-1 的解集为 R 3)小结:

练习:1、 ( x ? 1)(1 ? x )(2 x ? 3) ? 0

2、 x( x 2 ? 5 x ? 6)( x 2 ? 9 x ? 10) ? 0

3、

x?5 ?1 2 x ? 2x ? 3

4、 x( x ? 3)2 ( x ? 2)3 ( x ? 1) ? 0

x ? a 的解集
a?0

x ? a 的解集

a?0
a?0

5、 x ? 1 ?

4 x ?1

6、 0 ? x ?

1 ?1 x

[例 1]求下列不等式的解集

(1) 2 x ? 3 ? 5

(2) 2 ? 4 x ? 5

7、 x ? 2 x ? x ? 2 ? 0
3 2

8、

3 x 2 ? 14 x ? 14 ?1 x2 ? 6x ? 8

(3) x 2 ? 3 x ? 4

( 4 )x 2 ? 1 ?

0

3

(5) x 2 ? 1 ? ?1

(6)4 ?

1 ? x3 ? 7

[例 2]求不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集

(7) 2 x ? 3 ? x ? 2

(8) 2 x ? 3 ? x ? 2

练习:求不等式的解集:

(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 5

(9)

2x ? 3 ?1 x?2

(10)

x ?1 ?0 x ? x ?1
2

(2) x ? 3 ? 2 x ? 1 ?

x ?1 2

(11) x ? 2 x ? 15 ? 0

2

(12)

2x ? 3 2x ? 3 ? x?2 x?2

4


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