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(北师大版)数学必修二课时作业:2.1.2.2直线方程的两点式和一般式(含答案)


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课时提升作业(十七)
直线方程的两点式和一般式

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线方程是( A. = )

B.(y

2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0 C. =

D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0 【解析】选 B.选项 A 是直线的两点式,但是该方程不能表示与坐标轴垂直的直 线,所以不能选 A.而 B 选项的式子是两点式的变形,它可以表示所有情况下的 直线,C,D 显然不合题意,所以选 B. 2.(2014·佛山高一检测)直线 + =1 过一、二、三象限,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 B.a>0,b<0 D.a<0,b<0 )

【解析】选 C.直线交 x 轴负半轴,交 y 轴正半轴,所以 a<0,b>0. 3.(2014·焦作高一检测)过 P(4,-3)且在坐标轴上截距相等的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 )

【解析】选 B.设直线方程为 y+3=k(x-4)(k≠0).

令 y=0 得 x= 由题意,

,令 x=0 得 y=-4k-3. =-4k-3,解得 k=- 或 k=-1.

因而所求直线有两条. 【一题多解】选 B.当直线过原点时显然符合条件,当直线不过原点时,设直线 在坐标轴上截距为(a,0),(0,a),a≠0,则直线方程为 + =1,把点 P(4,-3) 的坐标代入方程得 a=1.所以所求直线有两条. 4.已知直线 ax+by-1=0 在 y 轴上的截距为-1,且它的倾斜角为 45°,则 a-b 的 值为( A.0 ) B.1 C.-2 D.2

【解析】选 D.由题意直线过(0,-1),故 b=-1,倾斜角为 45°,斜率为 1,得 a=1,所以 a-b=2. 5.(2014·驻马店高一检测)直线 l1:(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0 的斜率与直线 l2: x-y+1=0 的斜率相同,则 m 等于( A.2 或 3 C.3 【解析】选 C.直线 l1 的斜率为 ) B.2 D.-3 ,直线 l2 的斜率为 1,则 =1,即

2m2-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0,解得 m=2 或 3,当 m=2 时,2m2-5m+2=0,-(m2-4)=0, 则 m=2 不合题意,仅有 m=3. 【误区警示】本题易忽视当 m=2 时,2m2-5m+2=0 且-(m2-4)=0 而错选 A. 6.直线 l:Ax+By+C=0 过原点和第二、四象限,则( A.C=0,B>0 C.C=0,AB>0 B.C=0,A>0,B>0 D.C=0,AB<0 )

【解析】选 C.由直线 l 过原点知 C=0.又直线过第二、四象限,所以- <0,所以

AB>0. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.直线 2x-4y-8=0 的斜率 k=________,在 y 轴上的截距 b=________. 【解析】直线方程化为斜截式,得 y= x-2, 所以 k= ,b=-2. 答案: -2

8.直线 l 过点 P(-2,3),且与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,若点 P 恰为 AB 的 中点,则直线 l 的方程为________. 【解析】设 A(x,0),B(0,y). 因为点 P 恰为 AB 的中点,所以 x=-4,y=6, 即 A,B 两点的坐标分别为(-4,0),(0,6). 由截距式得直线 l 的方程为 + =1. 即为 3x-2y+12=0. 答案:3x-2y+12=0 9.(2014·南阳高一检测)直线 l 在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,且过定 点 A(6,-2),则直线 l 方程为________. 【解析】设在 y 轴上的截距为 a(a≠0), 所以方程为 代入点 A,得 即 a2-3a+2=0, 所以 a=2 或 a=1, 所以方程为: +y=1 或 + =1, 即 x+2y-2=0 或 2x+3y-6=0. + =1, - =1,

答案:x+2y-2=0 或 2x+3y-6=0 【变式训练】过点 (0 , 3) ,且在两坐标轴上截距之和等于 5 的直线方程是 ________. 【解析】设直线方程为 + =1,则 解得 a=2,b=3, 则直线方程为 + =1,即 3x+2y-6=0. 答案:3x+2y-6=0 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.已知直线 l 的斜率为 6,且被两坐标轴所截得的线段长为 程. 【解析】设所求直线 l 的方程为 y=kx+b. 因为 k=6,所以方程为 y=6x+b. 令 x=0,所以 y=b,与 y 轴的交点为(0,b); 令 y=0,所以 x=- ,与 x 轴的交点为 根据勾股定理得 +b2=37, . ,求直线 l 的方

所以 b=〒6.因此直线 l 的方程为 6x-y〒6=0. 【变式训练】一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积 为 1,求直线的方程. 【解析】设所求直线的方程为 + =1, 因为 A(-2,2)在直线上,所以- + =1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, 所以 |a|〃|b|=1.② 由①②可得

(i) 由(i)解得

或(ii) 或

方程组(ii)无解. 故所求的直线方程为 + =1 或 + =1, 所求直线的方程为 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0. 11.(2014·日照高一检测)已知直线 ax-y+2a+1=0. (1)x∈(-1,1)时,y>0 恒成立,求 a 的取值范围. (2)a∈ 时,恒有 y>0,求 x 的取值范围.

【解题指南】第(1)问可根据数形结合求出结论,在第(2)问中注意到方程是关 于 x,y 的一次式,也是关于 a,y 的一次式,于是可借助一次函数解决. 【解析】(1)令 y=f(x)=ax+(2a+1), x∈(-1,1)时,y>0. 只需 解得 即 即 a≥- .

(2)令 y=g(a)=(x+2)a+1,看作 a 的一次函数, a∈ 时,y>0,只需 即

解得 所以-3≤x≤4.

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.直线 ax+by-1=0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( A. ab B. |ab| C. D. )

【解析】选 D.令 x=0,得 y= ; 令 y=0,得 x= ; S= = .

2.(2014·合肥高一检测)直线 3x+4y+5=0 的斜率和它在 y 轴上的截距分别为 ( A. , C.- ,B.- ,D. , )

【解析】选 C.把方程化为斜截式:y=- x- , 则斜率 k=- ,b=- . 3.(2014·济源高一检测)若 k∈R,直线 kx-y-2k-1=0 恒过一个定点,则这个定 点的坐标为( A.(1,-2) C.(-2,1) ) B.(-1,2) D.(2,-1)

【解析】选 D.y+1=k(x-2)是直线的点斜式方程,它所经过的定点为(2,-1). 4.(2014·渭南高一检测)过点 A(5,2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程为( A.x-y-3=0 B.2x-5y=0 C.2x-5y=0 或 x-y-3=0 )

D.2x+5y=0 或 x+y-3=0 【解析】选 C.设直线在 x 轴上的截距为 a,则在 y 轴上的截距为-a. 若 a=0,则直线过原点,其方程为 2x-5y=0. 若 a≠0,则设其方程为 + =1, 又点(5,2)在直线上,所以 + =1,所以 a=3. 所以直线方程为 x-y-3=0. 综上直线 l 的方程为 2x-5y=0 或 x-y-3=0. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·南昌高一检测)有下列说法: ①平面内的所有直线均可写成两点式;②直线方程的斜截式均可化为截距式; ③点斜式直线方程可表示任一直线;④平面上的直线最多可通过三个象限.其中 不正确的是________. 【解析】对于①,由两点式方程的定义知,当直线没有斜率 (x1=x2) 或斜率为 0(y1=y2)时,不能用两点式方程,故①错误.由于直线的截距式方程的条件是 a ≠0,b≠0,即两个非零的截距,所以说截距式方程不能表示过原点的直线,也 不能表示与坐标轴垂直的直线,而直线的斜截式方程则可以表示过原点的直线, 故②错误.由点斜式的定义可知,如果直线与 x 轴垂直,此时直线的倾斜角为 90°,斜率不存在,它的方程就不能用点斜式表示,因此③的说法也是错误的. ④显然是正确的. 答案:①②③ 6.(2014·榆林高一检测)已知两条直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 都过点 A(2, 1),则过两点 P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是____________________. 【解析】因为点 A(2,1)在直线 a1x+b1y+1=0 上,所以 2a1+b1+1=0.

由此可知点 P1 (a1,b1)的坐标满足 2x+y+1=0. 因为点 A(2,1)在直线 a2x+b2y+1=0 上, 所以 2a2+b2+1=0. 由此可知点 P2(a2,b2)的坐标也满足 2x+y+1=0. 所以过两点 P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是 2x+y+1=0. 答案:2x+y+1=0 【变式训练】已知 2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,则过点 A(x1,y1),B(x2,y2)的直线 l 的方程是( A.2x-3y=4 C.3x-2y=4 ) B.2x-3y=0 D.3x-2y=0

【解析】选 A.因为(x1,y1)满足方程 2x1-3y1=4,则(x1,y1)在直线 2x-3y=4 上. 同理(x2, y2)也在直线 2x-3y=4 上.由两点决定一条直线, 故过点 A(x1, y1), B(x2, y2)的直线 l 的方程是 2x-3y=4. 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·九江高一检测)一条光线从点 A(3,2)发出,经 x 轴反射后,通过点 B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程. 【解析】因为点 A(3,2)关于 x 轴的对称点为 A′(3,-2), 所以由两点式可得直线 A′B 的方程为 即 2x+y-4=0. 同理,点 B 关于 x 轴的对称点为 B′(-1,-6), 由两点式可得直线 AB′的方程为 即 2x-y-4=0. 所以入射光线所在直线方程为 2x-y-4=0, = , = ,

反射光线所在直线方程为 2x+y-4=0. 【变式训练】(2014·宜春高一检测)已知 A(-1,4),B(2,2),点 P 是 x 轴上的 点,求当|AP|+|PB|最小时点 P 的坐标. 【解析】如图,点 B 关于 x 轴的对称点 B′(2,-2),连接 PB′, 则|AP|+|PB| =|AP|+|PB′|≥|AB′|, |AB′|=3 ,当点 A,P,B′三点共线时, . = ,

|AP|+|PB|取最小值 3 直线 AB′的方程为 即 2x+y-2=0. 令 y=0,得 x=1.

所以点 P 的坐标为(1,0). 【拓展延伸】求直线方程时方程形式的选择技巧 (1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程时,通常选用点斜式方程,再由其他 条件确定直线的斜率. (2)已知直线的斜率,通常选用点斜式或斜截式方程,再由其他条件确定一个定 点的坐标或在 y 轴上的截距. (3)已知直线在两坐标轴上的截距时,通常选用截距式方程. (4)已知直线上两点时,通常选用两点式方程. (5)不论选用哪种形式的方程,都要注意各自的限制条件,以免漏掉一些特殊情 况下的直线. 8.某小区内有一块荒地 ABCDE,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方

位 ) 进行开发,问如何设计才能使开发的面积最大?最大面积是多少? ( 已知 BC=210m,CD=240m,DE=300m,EA=180m)

【解题指南】本题的实质是在直线 AB 上找出恰当的点,因此,可以先建系,由 截距式方程写出直线,再由矩形面积公式写出目标函数,求函数的最大值来确 定点的位置. 【解析】以 BC 边所在直线为 x 轴,AE 边所在直线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系. 由已知可得 A(0,60),B(90,0). 所以 AB 所在直线方程为 + =1.即 y=60- x,从而可 设线段 AB 上一点 P ,其中 0≤x≤90,

所以所开发部分的面积为 S=(300-x)(240-y). 故 S=(300-x) =- x2+20x+54000 =- (x-15)2+54150(0≤x≤90). 所以当 x=15,y=60- 〓15=50 时, Smax=54150(m2). 因此点 P 距直线 AE15m, 距直线 BC50m 时所开发的面积最大, 最大面积为 54150m2. 【拓展延伸】用代数法解决几何问题

(1)建立适当坐标系将几何问题代数化是常用的解题方法. (2)建立坐标系时要尽可能地应用题目中的垂直关系,且让尽可能多的元素落在 坐标轴上.

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