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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:1.11 函数模型及其应用


1.11 函数模型及其应用

一、选择题 1.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 ( ) 1 A.y=2x-2 B.y= (x2-1) C.y=log3x D.y=2x-2 2

答案:B 2.某种商品,现在定价每件 p 元,每月卖出 n 件.根据市场调查显示,定价每上涨 x 成,卖出的数量将会减少 y 成,如果涨价后的销售总金额是现在的 1.2 倍,则用 x 来表示 y 的函数关系式为( ) 10x-20 10x+10 10x-20 10x+20 A.y= B.y= C.y= D.y= x-10 x-10 x+10 x+10 10x-20 x yn 解析:1.2pn=(p+ p)(n- ),化简得 y= . 10 10 x+10 答案:C 3 . 根 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 : 分 钟 ) 为 f(x) = c ,x<A, x (A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用 c ,x≥A A

? ? ?

时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 c c c 解析:因为组装第 A 件产品用时 15 分钟,所以 =15(1),所以必有 4<A,且 = = A 4 2 30(2),联立(1)(2)解得 c=60,A=16,故选 D. 答案:D 4.将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,已知该商品每个涨 价 1 元,其销售量就减少 20 个,为了赚得最大利润,售价应定为( ) A.每个 110 元 B.每个 105 元 C.每个 100 元 D.每个 95 元 解析:设售价为 x 元,则利润 y=[400-20(x-90)](x-80) =20(110-x)(x-80)=-20(x2-190x+8800) =-20(x-95)2+20×952-20×8800. ∴当 x=95 时,y 最大为 4500 元. 答案:D

5.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运.据市场分析,每辆客车营运的 总利润 y(单位:10 万元)与营运年数 x(x∈N)为二次函数关系(如图所示),则每辆客车营运多 少年,其营运的平均利润最大( ) A.3 B.4 C.5 D .6 2 解析:由题图可得营运总利润 y=-(x-6) +11,

25? y 25 则营运的年平均利润 =-x- +12=-? ?x+ x ?+12≤12-2 25=2, x x 25 当且仅当 x= ,即 x=5 时取等号. x 答案:C

6.某医院研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测,服药后每毫 升血液中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步测定, 每毫升血液中含药量不少于 0.25 毫克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗该疾病有效的时 间为( ) 7 15 A.4 小时 B.4 小时 C.4 小时 D.5 小时 8 16 1 - 1 1 1 解析:当 0<t≤1 时,y=4t,当 t≥1 时,y=( )t 3;当 y≥ 时,4t≥ ,则 t≥ . 2 4 4 16 1 - 1 1 15 15 或( )t 3≥ =( )2,∴t-3≤2,t≤5,从而时间 t= +4=4 . 2 4 2 16 16 答案:C 二、填空题 7.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过 800 元,不享受任 何折扣,如果顾客购物总金额超过 800 元,则超过 800 元部分享受一定的折扣优惠,按下表 折扣分别累计计算. 可以享受折扣优惠金额 折扣率 5% 不超过 500 元的部分 10% 超过 500 元部分 某人在此商场购物总金额为 x 元,可以获得的折扣金额为 y 元,则 y 关于 x 的解析式为 0,0<x≤800, ? ? y=?5%?x-800?,800<x≤1300, ? ?10%?x-1300?+25,x>1300. 若 y=30 元,则他购物实际所付金额为______元.

解析:若 x=1300 元,则 y=5%(1300-800)=25(元)<30(元),因此 x>1300. ∴10%(x-1300)+25=30,得 x=1350(元). 答案:1350 8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x2 和 L2=2x,其中 x 为销售量(单位:辆),若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最 大利润为________万元. 解析:设在甲地销售 x 辆,则在乙地销售(15-x)辆,所获利润 y=5.06x-0.15x2+2(15 -x)=-0.15x2+3.06x+30,该二次函数的对称轴为 x=10.2,又 x∈N,所以当 x=10 时, 能获最大利润.Lmax=-15+30.6+30=45.6. 答案:45.6 9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a, 最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a).这里,x 被称 为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此 可得,最佳乐观系数 x 的值等于________. 解析:根据题目条件可知,c-a=x(b-a),b-c=b-a-(c-a)=(1-x)(b-a),最佳乐 观系数满足:c-a 是 b-c 和 b-a 的等比中项,所以有[x(b-a)]2=(1-x)(b-a)(b-a),又 -1± 5 因为(b-a)>0,所以 x2=1-x,即 x2+x-1=0,解得 x= ,又 0<x<1,所以 x= 2

-1+ 5 . 2 -1+ 5 答案: 2 三、解答题 10.经市场调查,某超市的一种小商品在过去近 20 天内的日销售量(件)与价格(元)均为 1 时间 t(天)的函数,且日销售量(件)近似函数 g(t)=80-2t,价格(元)近似满足 f(t)=20- |t- 2 10|. (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解析:(1)y=g(t)· f(t) 1 =(80-2t)· (20- |t-10|) 2 =(40-t)(40-|t-10|) ? ??30+t??40-t?,0≤t<10 =? . ??40-t??50-t?,10≤t≤20 ? (2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225],当 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200],当 t=20 时,y 取得最小值为 600. 综上,第 5 天,日销售额 y 取得最大值为 1225 元;第 20 天,日销售额 y 取得最小值为 600 元.

11.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 点在 AM 上,D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长度应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小值. 解析:设 AN 的长为 x(x>2)米, |DN| |DC| 3x 3x2 由 = ,得|AM|= ,∴S 矩形 AMPN=|AN|· |AM|= . |AN| |AM| x-2 x-2 3x2 (1)由 S 矩形 AMPN>32,得 >32,又 x>2,于是 3x2-32x+64>0, x-2 8 8 解得 2<x< ,或 x>8,即 AN 长的取值范围为(2, )∪(8,+∞). 3 3 2 3x2 3?x-2? +12?x-2?+12 12 12 (2)y= = =3(x-2)+ +12≥2 3?x-2?· +12=24, x-2 x-2 x-2 x-2 12 3x2 当且仅当 3(x-2)= ,即 x=4 时,y= 取得最小值 24, x-2 x-2 ∴当 AN 的长度是 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米. 12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速 度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 解析:(1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b,

?200a+b=0, ? 再由已知得? 解得 ?20a+b=60, ?

?a=-3, ? 200 ?b= 3 .

1

故函数 v(x)的表达式为

60,0≤x<20, ? ? v(x)=?1 ?3?200-x?,20≤x≤200. ? (2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x<20, ? ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x?,20≤x≤200. 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x+?200-x? 2 10000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ [ ]= , 3 3 2 3 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333, 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.


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