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2015年高考数学全国卷I理科试题及答案word


2015 年全国卷 I 理科逐题述评 1.设复数 z 满足 (A)1 解析:由

1? z ? i ,则 | z | = 1? z
(C) 3 (D)2

(B) 2

1? z ?1 ? i (?1 ? i)(1 ? i) ?(1 ? i)2 ? i 得 1 ? z ? i(1 ? z) ,即 z ? ,z ? ? ?i, 1? z 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2

| z | =1,选(A).
点评:本题跳出往年考查复数除法的传统直白模式,套用方程思想,由考生自行推导出

?1 ? i ,进而求出 | z | (从这方面来讲,简单题增加了考生的运算量).形式简洁(甚至 1? i 连“ i 是虚数单位” , “复数 z 的模”等说明性文字都未曾出现) ,增加了思维含量.当然,如 ?1 ? i 果考生在平时的备考中,能拓展了解部分复数的模运算的性质,化简到 z ? ,就可以 1? i z?
利用分子和分母的模相等迅速得到 | z | =1,不必将 z ? i 计算出来,正所谓“失之东隅,收 之桑榆” ,不难看出命题人在躲避各地题海战术方面的良苦用心. 2. sin 20 cos10 ? cos160 sin10 =
? ? ? ?

(A) ?

3 2
?

(B)
?

3 2

(C) ?
?

1 2
?

(D)
?

1 2
? ? ? ?

解析:sin 20 cos10 ? cos160 sin10 ? sin 20 cos10 ? cos 20 sin10 ? sin 30 , 选 (D). 点评:本题涉及三角函数的三个考点:诱导公式 cos(180 ? ? ) ? ? cos ? 、两角和与差
?

公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 的逆用、特殊角的三角函数值.其中由

cos160? ? ? cos 20? 得进一步做题思路十分关键.
2 n 3.设命题 p : ?n ? N , n ? 2 ,则 ? p 为

(A)?n ? N ,n ? 2
2

n

(B)?n ? N ,n ? 2
2

n

(C)?n ? N ,n ? 2
2

n

(D)

?n ? N , n 2 ? 2 n
解析:命题 p 含有存在性量词(特称命题) ,是真命题(如 n ? 3 时) ,则其否定( ? p ) 含有全称量词(全称命题) ,是假命题,故选(C). 点评:涉及含有量词的命题的否定(也可视为复合命题中 p 与 ? p 的关系)是近几年高 考命题的热点,且常考常新.解答这类题,既可以套用命题的否定的套路(特称命题与全称

命题的转换) ,也可以从命题真假性的角度加以判断. 4.投篮测试中, 每人投 3 次, 至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概 率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
2 解 析 : 该 同 学 通 过 测 试 的 概 率 为 C3 0.62 ? 0.4 ? 0.63 ? 0.62 (1.2 ? 0.6) ? 0.648 , 或 1 1 ? 0.43 ? C3 0.42 ? 0.6 ? 0.648 ,选(A).

点评:本题考查点集中在独立事件、互斥事件与对立事件,难度适中,突出了理科试题 的特点. 5. 已知 M ( x0 , y0 ) 是双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 C 的两个焦点,若 2

???? ? ???? ? MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是
3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 (D) , ) (B) (? , ) (C) (? , ) (? , ) 3 3 6 6 3 3 3 3 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? C 的交 解析:从 MF 1 F2 为直径的圆与 1 ? MF 2 ? 0 入手考虑, MF 1 ? MF 2 ? 0 可得到以 F
(A) (? 点 M1 , M 2 , M 3 , M 4 (不妨设 M1 , M 2 在左支上, M3 , M 4 在右支上) ,此时 M1F 1 ? M1F 2,

M1F1 ? M1F2 ? ?2 2 , F1F2 ? 2 3 , S?M1F1F2 ?
| y0 |?

1 1 M 1 F1 ? M 1 F2 ? | y0 | ?F1 F2 解得 2 2

3 ? M 或M ? M 上运动, y ? (? 3 , 3 ) ,故选(A). ,则 M 在双曲线的 M 0 1 2 3 4 3 3 3

点评:本题借助向量的数量积这一重要工具,融合了双曲线的定义、性质,考查了构造 思想和等体积转化.是对研究和利用过往高考试题正能量的引导和极好的传承.美中不足的是 本题运算量比较大,思维含量高,考查点比较综合,如果能放到第 10 题的位置会更合理. 这道高考题脱胎于 15 年前的 2000 年高考全国卷文理第 14 题: 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1PF2 为钝角时,点 P 的 9 4

横坐标的取值范围是 . 到下一年,直接演化为 2001 年高考全国卷文理第 14 题: 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线上, 若 PF1 ? PF2 , 则点 P 到 x 9 16

轴的的距离为 . 再过 4 年,在 2005 年高考全国卷(III)文理第 9 题: 已知双曲线 x ?
2

???? ? ???? ? y2 ? 1的焦点为 F1 , F2 , 点 M 在双曲线上, 且 MF 则点 M 1 ? MF 2 ? 0, 2

到 x 轴的的距离为 (A)

4 3

(B)

5 3

(C)

2 3 3

(D) 3

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依 垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米 (如图, 米堆为一个圆锥的四分之一) , 米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和 堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放的米约有 (A)14 斛 (B)22 斛 (C)36 斛 (D)66 斛

2? R 16 ? 8 ,圆锥底面半径 R ? ,米堆体积 4 ? 1 320 V V ? ? R2h ? ? 22 ,选(B). ,堆放的米约有 12 3? 1.62
解析: 点评:本题难度适中,取材于古代数学著述,一方面考查了简单几何体的体积,另一方 面体现了数学估算等应用,更是弘扬和发掘了数学史和古代数学文化. 7.设 D 为 ?ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则

??? ?

??? ?

? 4 ???? ???? 1 ??? ? 4 ???? 1 ??? AB ? AC (B) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? ???? 4 ??? ? 1 ???? (C) AD ? AB ? AC (D) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 ???? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ? 4 ???? 1 ??? 解析:AD ? AC ? CD ? AC ? BC ? AC ? ( AC ? AB ) ? ? AB ? AC , 选 (A) . 3 3 3 3 ???? ??? ? ??? ? 点评:本题知识方面考查平面向量的加减运算,能力方面通过用 AB, AC 表示 AD 考查
(A) AD ? ? 化归思想的应用.另外本题也可以根据选项的特点把已知 BC ? 3CD 转化为起点均为 A ,即

????

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? AB ? 3( AD ? AC) ,求出 AD 即可,考查学生灵活运用基础知识分析问题和解决问
题的能力以及化归思想的应用.从难易度来看,此题放在第 5 题的位置最理想. 8.函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ?

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 解析: 由五点作图知,? , 解得 ?=? ,? = , 所以 f ( x) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ? ( 2k ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 < x < 2 k ? , k ? Z ,故单调减区间为 4 4

3 1 , 2k ? ) , k ? Z ,故选(D). 4 4

点评:本题虽然考查余弦型函数的图象和性质,但可归结为正弦型函数的图象和性质, 且一反常态图象的周期是 2 k ,不是 2k? ,解答既可由图象先求解析式,再根据解析式求解 函数的单调递减区间,又可先求周期,借助图象的对称性得出 x ?

3 是其中一条对称轴,数 4

形结合直接写出图象的单调递减区间.既能考查学生对余弦函数图象和性质的真正理解,又 能考查学生的观察能力、推理能力、运算求解的能力以及数形结合的思想.推陈出新的结果 是得分不高. 9.执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8

解析: t ? 0.01 保持不变,初始值 s ? 1, n ? 0, m ?

1 ? 0.5 , 2

执行第 1 次, s ? 0.5, m ? 0.25, n ? 1 , s ? t ,执行循环体; 执行第 2 次, s ? 0.25, m ? 0.125, n ? 2 , s ? t ,执行循环体; 执行第 3 次, s ? 0.125, m ? 0.0625, n ? 3 , s ? t ,执行循环体; 执行第 4 次, s ? 0.0625, m ? 0.03125, n ? 4 , s ? t ,执行循环体; 执行第 5 次, s ? 0.03125, m ? 0.015625, n ? 4 , s ? t ,执行循环 体;执行第 6 次, s ? 0.015625, m ? 0.0078125, n ? 5 , s ? t ,执行循环体; 执行第 7 次, s ? 0.0078125, m ? 0.00390625, n ? 6 , s ? t ,跳出循环体,输出 n ? 7 , 故选(C). 点评:本题通过含循环结构的程序框图,考查学生的读图能力及运算求解能力.但题中 的执行次数有点多, 数据有些复杂, 其实大可执行 3 或 4 次, 数据再简单一些, 效果会更好! 10. ( x ? x ? y) 的展开式中, x y 的系数为
2 5 5 2

(A)10 (B)20 (C)30(D)60 解析:在 ( x ? x ? y) 的 5 个因式中,2 个取因式中 x 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ,其
2 5
2

2 1 2 余因式取 y ,故 x5 y 2 的系数为 C5 C3C2 ? 30 .
2 2 3 2 2 3 2 另解:( x ? x ? y ) ? ? ?( x ? x) ? y ? ? ,含 y 的项 T3 ? C5 ( x ? x) y ,其中 ( x ? x)
2 5 2 5

1 4 1 5 1 中含 x 的项为 C3 x x ? C3 x ,所以 x5 y 2 的系数为 C52C3 ? 30 ,故选(C).
5

点评:本题由以往常考的括号内的二项创新演变为三项,既能把三项转化为二项,利用 二项展开式的通项公式求解, 又能利用计数原理借助组合知识求解, 同时考查化归思想的应 用以及学生的运算求解以及变通能力. 题目排序建议: T7→T5, T9→T6, T6→T7, T5→T10, T10→T8, T8→T9. 11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几 何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示. 若该几何体 的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? (A)1(B)2(C)4(D)8 解析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球和半个圆柱的组 合体,圆柱的半径与球的半径都 r ,圆柱的高为 2 r ,其表面积为

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r ? 5? r 2 ? 4r 2 ? 16 ? 20? ,解得 2
r ? 2 ,故选(B).
点评:本题考查空间几何体的三视图、圆柱和球的表面积,通过 三视图到直观图的转化考查学生的空间想象能力与化归思想的应用, 通过圆柱和球的表面积计算考查学生的运算求解能力. 本题与 2013 年全国卷Ⅰ(理 8,文 11)非常相似.但由 2013 年的三个视图变成了 2015 年的两个视图,极好的考查了学生的 观察能力和空间想象能力. (2013 年全国卷Ⅰ(理 8,文 11) ) 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 (A) 16 ? 8? (C) 16 ? 16? (B) 8 ? 8? (D) 8 ? 16?

x 12.设函数 f ( x ) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 , 若存在唯一

的整数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是 (A) ? ?

? 3 ? ,1? ? 2e ? ? 3 3?

(B) ? ? , ? ? 2e 4 ? (D) ? ,1? ? 2e ?

?

3 3?

(C) ? , ? ? 2e 4 ?

?3

?

解析:设 g ( x) = e x (2 x ?1) , y ? ax ? a ,由题知存在唯一的整数 x0 ,使得 g ( x0 ) 在直 线 y ? ax ? a 的下方.因为 g ?( x) ? e x (2 x ? 1) , 所以当 x ? ?

1 1 时,g ?( x ) <0, 当 x ? ? 时, 2 2

g ?( x ) >0,所以当 x ? ?

1 ? 1 时,[ g ( x)]min = ?2e 2 ,当 x ? 0 时, g (0) ? ?1 , g (1) ? 3e ? 0 , 2

直线 y ? ax ? a 恒过(1,0)斜率且 a ,故 ?a ? g (0) ? ?1 ,且 g (?1) ? ?3e ?1 ? ? a ? a ,解 得

3 ≤ a <1,故选(D). 2e
作为选择题,该题也可先找到满足 f ( x0 ) ? 0 的整数 x0 ,由 x0 的唯一性列不等式组求

解.由 f (0) ? ?1 ? a ? 0 得 x0 ? 0 .又 x0 是唯一使 f ( x) ? 0 的整数,所以 ?

? f (?1) ? 0 ,解得 ? f (1) ? 0

a?

3 3 ,又 a ? 1 ,且 a ? 时符合题意.故选(D). 4 2e
点评:本题是函数与导数综合性较强的题目,是转化与化归思想、函数与方程思想、数

形结合思想的集中体现,考查学生解决综合性问题的能力.考查化归思想的应用及学生灵活 解决选择题的能力.试题难度应进一步降低. 13.若函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 a= 解析:由函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 g ( x) ? ln( x ? a ? x 2 ) 为奇函数
2 2 ( g (0) ? ln a ? 0 ) ; 由 ln( x ? a ? x ) ? ln(? x ? a ? (? x ) ) ? 0( g ( x) ? g (? x) ? 0 ) ,

得 ln a ? 0 , a ? 1 ,故填 1. 点评: 本题主要考查函数利用函数的奇偶性求参数及对数的运算, 明确奇函数和偶函数 的性质是求解本题的关键, 亦可采用特值法来快速求解答案, 为部分思维活跃的考生提供展 示舞台. 14.一个圆经过椭圆 方程为 .

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准 16 4

解析:由椭圆的性质可知,圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点 (0, 2),(0, ?2),(4,0) ; (方法一)设圆的半径为 r ,则有 (4 ? r )2 ? 22 ? r 2 ,可得 r ? 程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

5 ,故所求圆的标准方 2

3 2

25 . 4

(方法二)设圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? y 2 ? r 2 (a ? 0) ,代入点 (0, 2),(4,0) ,解方程 组可得 a ?

3 5 3 25 , r ? 半径为 r ,故所求圆的标准方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? . 2 2 2 4

(方法三) 设圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 代入点 (0, 2),(0, ?2),(4,0) , 解方程组可得 D ? ?3, E ? 0, F ? ?4 ,化为标准方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

25 . 4

点评:本题主要考查椭圆的几何性质及圆的标准方程的求解,思维量较少,方法较多. 对不同层次的考生有一定的选择权.(公平性的问题按规则做事)

?x ?1 ? 0 y ? 15.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
解析:根据约束条件画出可行域,如图所示;

.

y 的几何意 x

义可以看做可行域内一点与坐标原点连线的斜率,因此可知在 点 A(1,3) 处取到最大值,且求得最大值为 3. 点评:本题主要考查线性规划的相关知识.目标式属于斜率 类型,分清是哪两点连线的斜率,问题就可以迎刃而解了.此题 也给“投机者”留下赌局,会有部分考生求解出三角形区域的 顶点,然后代入

y ,比较数值大小就可以得到答案. x

? 16.在平面四边形 ABCD 中,?A ? ?B ? ?C ? 75 , BC ? 2 ,则

AB 的取值范围是

.

解析: 如图所示,延长 BA , CD 交于 E ,平移 AD ,当 A 与 D 重 合于 E 点时, AB 最长,在 ?BCE 中, ?B ? ?C ? 75 , ?E ? 30 ,
? ?

BC ? 2 ,由正弦定理可得

BC BE ? ,解得 BE = 6+ 2 ;平 o sin 30 sin 75o
? ?

?B ? ?BFC ? 75 , ?FCB ? 30 , 移 AD , 当 D 与 C 重合时,AB 最短, 此时在 ?BCF 中,
由正弦定理知

BF BC ? ,解得 BF ? 6 ? 2 ,所以 AB 的取值范围为 o sin 30 sin 75o

( 6 ? 2, 6+ 2) .

点评:本题考查正弦定理、余弦定理( ?BCF 中,可利用余弦定理求 BF )的应用及 解三角形的基础知识, 通过做辅助线的方法把求 AB 的取值范围转化为 BF ? AB ? BE , 考 查转化与化归思想、数形结合思想的应用以及运算求解的能力,难度较大. 17.(本小题满分 12 分)
2 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. an an?1

2 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 +3 ,因为 an ? 0 ,所以 a1 =3, 2 2 当 n ? 2 时, an ? an ? an ?1 ? an?1 = 4Sn ? 3 ? 4Sn ?1 ? 3 = 4 an ,即

(an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) ,因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2 ,
所以数列{ an }是首项为 3 ,公差为 2 的等差数列,且 an = 2n ? 1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn =

1 1 1 1 ? ( ? ) ,则数列{ bn }前 n 项和 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3
1 5 1 7 1 1 1 1 ? )] = ? . 2n ? 1 2n ? 3 6 4n ? 6

为 b1 ? b2 ? ? ? bn = [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

1 1 1 2 3 5

点评:本题考查由 an 和 Sn 的关系作差法求通项、等差数列的通项公式以及裂项相消法 求和,考查转化与化归思想及运算求解能力,应属于常规的数列求通项和求和问题,感觉形 式和条件应该有所创新.而且, 命题人再一次在数列这个点上命制解答题, 没有完全按照 “数 列与三角轮流坐庄”的“规则”出牌,出乎诸多行家预测之外. 18.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 120 ,
?

E , F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE ⊥平面
ABCD , DF ⊥平面 ABCD , BE ? 2 DF , AE ? EC .
(I)证明:平面 AEC ⊥平面 AFC ; (II)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

解: (Ⅰ)证明:连接 BD ,设 BD ? AC ? G ,连接 EG , FG , EF . 在菱形 ABCD 中,不妨设 GB ? 1 ,由

?ABC ? 120? ,可得 AG ? GC ? 3 ,由 BE ⊥
平面 ABCD , AB ? BC ,可知 AE ? EC .又

AE ? EC ,所以 EG ? 3 ,且 EG ? AC .
在 Rt?EBG 中,可得 BE ? 2 ,故

DF ?

2 6 .在 Rt?FDG 中,可得 FG ? . 2 2 3 2 2 ,可得 EF ? . 2 2

在直角梯形 BDFE 中,由 BD ? 2 , BE ? 2 , DF ?
2 2 2

因为 EG ? FG ? EF ,所以 EG ? FG ,又 AC ? FG ? G ,则 EG ? 平面 AFC . 因为 EG ? 平面 AEC ,所以平面 AFC ⊥平面 AEC . (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 ??6 分

??? ? ??? ? ??? ? GB, GC 的方向为 x 轴, y 轴正方向, | GB| 为单
位长度,建立空间直角坐标系 G ? xyz , 由(Ⅰ)可得 A(0, ? 3,0) , E (1,0, 2) ,

??? ? 2 ) , E(0, 3,0) , AE ? (1, 3, 2) , 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 AE ? CF 3 ? ??? ? ?? . CF ? (?1, ? 3, ) .故 cos ? AE, CF ?? ??? 2 3 | AE || CF |
F (?1,0,
所以直线 AE 与直线 CF 所成的角的余弦值为

3 . 3

??12 分

点评: 本题由前两年常规的三棱柱改为了不常规的几何体, 由判断线线的关系改为了证 明面面垂直,既能给学生以新的面孔,又能考查立体几何中的基础知识和基本技能,通过面 面垂直的证明考查空间想象能力和推理论证能力, 借助异面面直所成角的计算考查运算求解
? 能力与化归思想方法的应用,条件 ?ABC ? 120 , AE ? EC 的给出增加了题目的灵活性,

菱形 ABCD 和直角梯形 BDFE 给备考提供了方向, 在立体几何中研究空间位置关系时要注 意特殊三角形(正三角形、等腰三角形等) 、特殊四边形(矩形、棱形、等腰梯形、直角梯 形等)的性质.

19.(本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对 年销售量 y (单位: t )和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销 售量 yi ( i ? 1, 2,?,8 )数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

x
46.6

y

w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

8

? (wi ? w)2
i ?1

8

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

8

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

563

289.8

1.6

1469

108.8

表中 wi ?

xi , w ?

1 8 ? wi 8 i ?1

(Ⅰ)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x , y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: (i)年宣传费 x =49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附: 对于一组数据 (u1 , v1 ),(u2 , v2 ),?,(un , vn ) , 其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的

?? 最小二乘估计分别为 ?

? (u ? u)(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u)
i ?1 i

n

? ?v?? ?u . ,?

2

解: (Ⅰ)根据散点图判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型;

?? (Ⅱ)令 w ? x ,由 d

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

8

? (w ? w)
i ?1 i

8

?

2

108.8 ? 68 , 1.6

? ? y ? dw ? ? 563 ? 68? 6.8 ? 100.6 ,所以 ? c y ? 100.6 ? 68w ,即 y 关于 x 的回归方程为 ? y ? 100.6 ? 68 x ;
(III) (i)当 x =49 时,年销售量 y 的预报值 ? y ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 ,年利润 z 的

? ? 0.2 ? 576.6 ? 49 ? 66.32 ; 预报值 z

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ?13.6 x ? 20.12 ,所以当 (ii)年利润 z 的预报值 z
x? 13.6 ? 6.8 即年宣传费 x =46.24 时,年利润的预报值最大. 2

点评:本题是继 2014 年高考理科以正态分布为重点后,又一次出乎意料而又推陈出新 的考法.其实,广东卷 2007 年就已经在解答题里出现过回归方程,但一直没能引起足够的重 视.这道题命题人为了解决高考不允许携带计算器进考场而导致数据计算复杂的问题,直接 通过表格给出了许多 “半成品” , 即便如此仍然因为涉及高考知识点的 “冷点” (模型不熟悉) 、 阅读量大、题干过长、只有猜测不加证明等导致试题得分非常低,更由于文理共用,导致文 科得分更是惨不忍睹(过往几年概率统计的解答题是文科生的主要拿分点). 需要特别强调的一点是,课标教材的理念是要引导学生学会统计思想,理解统计原理, 会“用统计”而不是“算统计” ,这些都与课标对这统计部分的课时比例明显增加,教材篇 幅扩大等的趋势是相吻合的.教学中,应该摒弃原来的那种“文科是统计加概率,理科概率 加期望方差”的训练模式,全面掌握统计思想、统计案例直至几何概型等“新增知识点”. 特别是要加强阅读理解能力的培养,并将应用意识贯穿始终.在这一点上,送考教师一定不 要教的支离破碎,仅仅是用一些具体例子代替系统讲解,使得学生偏离了统计思想的轨道. 20.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y ? 点. (Ⅰ)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ)在 y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由. 解: (Ⅰ)当 k ? 0 时,点 M (2 a , a) 和 N (?2 a , a) , y ? ?

x2 与直线 l : y ? kx ? a ( a ? 0 )交于 M , N 两 4

x ,故 x ? 2 a 处的导数 2

值为 a ,切线方程为 y ? a ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 ;同理, x ? ?2 a 处的 导数值为 ? a ,切线方程为 y ? a ? ? a ( x ? 2 a ) ,即 ax ? y ? a ? 0 . (Ⅱ)在 y 轴上存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN .证明如下: 设 P(0, b) 为符合题意的点,M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,直线 PM , PN 的斜率分别为 k1 , k2 . 直线 l 与曲线 C 的方程联立可得 x ? 4kx ? 4a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4a .
2

k1 ? k2 ?

y1 ? b y2 ? b 2kx1 x2 ? (a ? b)( x1 ? x2 ) k (a ? b) ,当 b ? ? a 时, ? ? ? x1 x2 x1 x2 a

, ?) a 符合题意. k1 ? k2 ? 0 ,则直线 PM , PN 的倾斜角互补,故 ?OPM ? ?OPN ,即 P(0
点评:解析几何试题在传统的理解中,基本是“思路自然,运算繁难”的代表,这恰恰 是不少地方在备考中基本强调主要以椭圆为主线加以训练的原因.这道题命题人有意识的控 制了 “副压轴题” 的难度, 并在题设里多处 “暗示” 考生解题方向: 抛物线方程没用 x2 ? 4 y 的标准形式,因为不涉及焦点和准线,直接用函数 y ?

x2 给出来,以方便用导数的几何意 4

义找出切线的斜率; “定”点 P 与动直线 y ? kx ? a 在动态中如何满足 ?OPM ? ?OPN , 显然斜率、向量、相似三角形、内角平分线定理等等都可以成为解题的入手点.关键是如何 从题设透露出的信息中抓住贴合自己知识储备的“翻译” (化归与转化)能力.当然,如果在 备考阶段能够从圆的切线 x0 x ? y0 y ? r 2 、椭圆的切线

x0 x y0 y ? 2 ? 1 、双曲线的切线 a2 b

x0 x y0 y ? 2 ? 1 ( ( x0 , y0 ) 是切点)等出发,探索得到 x0 x ? p( y0 ? y) 或 y0 y ? p( x0 ? x) 是 a2 b
抛物线 x ? 2 py 或 y ? 2 px 的切线方程也有助于问题的解决.
2 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ?
3

1 , g ( x) ? ? ln x . 4

(Ⅰ)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min{m, n} 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ( x ? 0 ) , 讨论 h( x) 零点的个数.

解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? a ,若 x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线,则切点 ( x0 ,0) 满足

f ?( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? 0 ,也就是 3x02 ? a ? 0 且 x03 ? ax0 ?
因此,当 a ? ?

1 1 3 ? 0 ,解得 x0 ? , a ? ? , 4 2 4

3 时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; 4

(Ⅱ)当 x ? 1 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,函数 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ? g ( x) 没有零点; 当 x ? 1 时,若 a ? ?

5 5 ,则 f (1) ? a ? ? 0 , h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? g (1) ? 0 ,故 4 4

x ? 1 是 h( x) 的零点;
当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,以下讨论 y ? f ( x) 在区间 (0,1) 上的零点的个数. 对于 f ?( x) ? 3x2 ? a ,因为 0 ? 3x ? 3 ,所以令 f ?( x) ? 0 可得 a ? ?3x ,那么
2 2

(i)当 a ? ?3 或 a ? 0 时, f ?( x ) 没有零点( f ?( x) ? 0 或 f ?( x) ? 0 ) , y ? f ( x) 在区 间 (0,1) 上是单调函数, 且 f (0) ?

1 5 , f (1) ? a ? , 所以当 a ? ?3 时,y ? f ( x) 在区间 (0,1) 4 4

上有一个零点;当 a ? 0 时, y ? f ( x) 在区间 (0,1) 上没有零点; (ii)当 ?3 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ( 0 ? x ?

?

a a )且 f ?( x) ? 0 ( ? ? x ? 1 ) , 3 3

所以 x ?

?

a a 2a a 1 为最小值点,且 f ( ? ) ? ? ? . 3 3 3 3 4 a 3
3 ? a ? 0 时, y ? f ( x) 在区间 (0,1) 上没有零点; 4

显然,若 f ( ? ) ? 0 ,即 ?

若 f ( ? ) ? 0 ,即 a ? ?

a 3

3 时, y ? f ( x) 在区间 (0,1) 上有 1 个零点; 4 3 4 1 5 , f (1) ? a ? , 所 以 若 4 4

若 f ( ? ) ? 0 , 即 ?3 ?a ? ? 时 , 因 为 f (0) ?

a 3

?

5 3 5 ? a ? ? , y ? f ( x) 在区间 (0,1) 上有 2 个零点;若 ?3 ? a ? ? , y ? f ( x) 在区间 4 4 4

(0,1) 上有 1 个零点.
综上,当 a ? ?

3 5 3 5 或 a ? ? 时, h( x) 有 1 个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有 2 4 4 4 4

个零点;当 ?

5 3 ? a ? ? 时, h( x) 有 3 个零点. 4 4

点评:本题第一问比较简单,第二问虽有新定义,但因为比较常见,并未增加难度,只 是涉及多层次分类讨论,难度较大,确实有非常大的区分度,起到了压轴题的作用,体现了 甄选不同层次思维能力的价值.美中不足的是导数考查偏多,分类讨论过于复杂. 22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是 ? O 的直径,AC 是 ? O 的切线,BC 交 ? O 于 点 E. (I)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小. 解析: (I)连接 AE, OE ,由 AB 为直径可得 AE ? BE ; 在 Rt ?AEC 中 , D 为 AC 的 中 点 , 所 以 CD ? DE , 即 ?D E C ? ? C ; 在等腰三角形 OBE 中, ?OEB ? ?B . 由 AC 为切线可得 AC ? AB ,即 ?C ? ?B ? 90? ;所以有 ?OEB ? ?DEC ? 90? ,所以 ?OED ? 90? ,所以 DE 为 ? O 的 切线. (Ⅱ)不妨设 CE ? 1 , AE ? x ,由已知得 AB ? 2 3 , BE ? 12 ? x2 ,由

AE 2 ? CE ? BE 得 x2 ? 12 ? x2 ,解得 x ? 3 ,所以 ?ACB ? 60? .
点评:本题的主要考点有圆的切线判定与性质、圆周角定理、直角三角形射影定理等, 考点比较多,考生可能上手比较慢. 来源于 2009 年某市期末考试题: 如图所示,△ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,以 AB 为 直径的 ? O 交 AC 于 E 点,点 D 是 BC 边的中点,连结 DE. (I)请判断 DE 与⊙O 是怎样的位置关系?请说明理由. (Ⅱ)若⊙O 的半径为 4,DE=3,求 AE 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点
2 2

为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程; (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求

?C2 MN 的面积.
解析: (I)因为 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,所以 C1 的极坐标方程为 ? cos ? ? ?2 ,C2 的

极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 4? sin ? ? 4 ? 0 . (Ⅱ)将 ? =
2 ? 代入 ? 2 ? 2 ? cos? ? 4? sin? ? 4? 0 ,得 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 ,解得 4

?1 = 2 2 , ?2 = 2 , |MN|= ?1 - ?2 = 2 ,因为 C2 的半径为 1 ,则 ?C2 MN 的面积
1 1 o ? 2 ?1 ? sin 45 = . 2 2
点评:本题的主要考点直角坐标方程与极坐标方程之间的转化、直线与圆的位置关系、 三角形的面积公式等,难度相对较低,符合选做题特点. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 解析: ( I) (方法一)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 1 可化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ? 1,等价于

x ? ?1 x ?1 ? ? ?1 ? x ? 1 ? 2 或? 或? ,解得 ? x ? 2 . ? 3 ?? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1 ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 1
(方法二)当 a ? 1 时,不等式 f ( x) ? 1 可化为 x ? 1 ? 2 x ?1 ? 1,结合绝对值的几何 意义,不等式的含义为:数轴上一点 x 到点 ?1 的距离与它到 1 的距离的 2 倍之差大于 1. 设点 x 到 ?1 的距离为 d1 ,到 1 的距离为 d2 ,结合数轴可知:若 x 在 [?1,1] 内,则有

? d1 ? d 2 ? 2 1 2 解得 d 2 ? ;故 x ? ( ,1] . ? 3 3 ?d1 ? 2d 2 ? 1
若 x 在 (1, ??) 内,则有 ?

-1

x

1

? d1 ? d 2 ? 2 解得 d2 ? 1 ;故 x ? (1, 2) . ?d1 ? 2d 2 ? 1

2 综上可得 ? x ? 2 . 3

-1

1

x

? x ? 1 ? 2 a , x ? ?1 ? (Ⅱ)由题设可得, f ( x ) ? ?3 x ? 1 ? 2a, ?1 ? x ? a , 所以函数 f ( x ) 的图像与 x 轴围 ? ? x ? 1 ? 2a, x ? a ?
成的三角形的三个顶点分别为 A(

2a ? 1 , 0) , B(2a ? 1,0) ,C (a, a+1) ,所以△ABC 的面积 3



2 2 ( a ? 1) 2 .由题设得 ( a ? 1) 2 >6,解得 a ? 2 .所以 a 的取值范围为(2,+∞). 3 3

点评:本题的主要考点含绝对值不等式解法、分段函数、一元二次不等式解法及分类讨 论思想.选修 4-5 的内容以双绝对值的考查最为频繁,主要应对策略有两种:一是采用零点 分段讨论法,去掉绝对值求解;二是利用绝对值的几何意义,借助数轴求解.


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