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广西柳铁一中2014届高三上学期第一次月考数学理试题


柳铁一中 9 数学理科 9 月考数学试卷
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第Ⅰ卷
一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1? i 7 2 (1)设复数 z ? ? ?1 ? i ? ,则 ?1 ? z ? 展开式的第五项是 1? i (A) ?21 (B) 35

(C) ?21i (D) ?35i (2)已知 A ? ?x ? 2 ? x ? 7?, B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1, m ? R? ? ? ,若 A ? B ? A ,则 m 的取值范 围是 (A) ?? 3,4? (B) ?? 3,4? (C) ?2,4?
b c

(D) ?2,4?

?1? ?1? (3)设 a, b, c 均为正数,且 2a ? log 1 a, ? ? ? log 1 b, ? ? ? log 2 c, 则 2? ? ?2? 2 2
(A) a ? b ? c (B) c ? b ? a (C)

c?a?b

(D) b ? a ? c

(4) 等比数列 ?an ? 前 n 项的积为 Tn , aaa8 若 361

T T 是一个确定的常数, 那么数列 T10 , 13 , 17 ,
(D) T25

T25 中也是常数的项是
(A) T10 (B) T13 (C) T17

(5) k ? 1 ”是“函数 y ? sin kx ? cos kx ? 1 的最小正周期为 ? ”的 “
2 2

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不是充分条件也不是必要条件

1?, 3x (6)已知 a ? ?x, b ? ?2, ?,x ? 0 ,则

a ?b a ?b
? ? ?
2 2

的取值范围是
2? ? 2 ? ? ? 2 ? ,?? ? ? ? 4 ? ?

(A) 0,2 2

?

?

(B) ?0,
? ?

?

2? ? 4 ? ?

(C) ?0,

(D) ?

(7)已知抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 恰好是双曲线 两条曲线交点的连线过点 F,则该双曲线的离心率为 (A) 2 (B)2 (C) 2 ? 1

x2 y2 ? ? 1?a ? 0,b ? 0? 的右焦点,且 a 2 b2

(D) 2 ? 1

(8)若函数 f ?x ? ? e x ? sin x ,则此函数图象在点 ?5, f ?5?? 处的切线的倾斜角为 (A)直角 (B)0 (C)钝角 (D)锐角

(9)四棱锥 P ? ABCD的底面是矩形, AB ? 3, AD ? PA ? 2, PD ? 2 2 ,?PAB ? 60? ,则异面 直线 PC 与 AD 所成角的余弦值为 (A)
1 2

(B)

2 11 11

(C)

3 2

(D)

3 3

(10) 将函数 y ? cos? x ?
?

?

4? ? 则 ? 的图象向左平移 ? ?? ? 0? 个单位,所得图象关于 y 轴对称, ? 3 ?

的最小值为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

4? 3

(11) O、、 、 为平面内四个点, ? OM ? ON ? 0, OP ? OM ? OM ? ON ? OP ? ON ? ?1 , 设 P M N OP 且 则 OP ? ON ? OM 的值为 (A)3 (B) 3 (C) 3 2 (D) 3 3

(12)高考规定每一个考场 30 名学生,按五列六行就坐.若来自同一学校的甲、乙两名学 生将同时排在“五考点四考场” ,要求两名学生前后左右均不能相邻,则甲、乙两名学生不 同坐法的种数为 (A)372 (B)422 (C)476 (D)772

第Ⅱ卷

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 注意:在试题卷上作答无效) ( ............
1 ? 3 ? (13)若 f ? cos x ? ? sin 2 x, x ? ? ? , ? ? ,则 f (? ) 的值为 2 ? 2 ?



? 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? (14)已知 O 是坐标原点, P, Q 的坐标满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 cos ?POQ 的 ?x ?1 ? 0 ?
最小值为 .

(15) 已知球面的三个大圆所在的平面两两互相垂直, 则以这三个大圆的交点为顶点的正八 面体的体积与球体积之比为 .

(16)已知点 A 在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上, B,C 是圆 M: 2 x 2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 上两点, 在△ ABC 中, ?BAC ? 45? ,AB 过圆心 M,则点 A 横坐标范围为____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............ 在△ ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , x ? ?a ,b ?, y ? ?c ,0? ,若 x ? 2 y ,
求 ?cot A ? cot B ? ? tanC 的值.

(18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

世界杯足球赛小组赛阶段中,每小组四个队之间进行单循环(队队见面)比赛,根据规则, 胜一场积 3 分,平一场积 1 分,负一场积 0 分.已知某小组由甲、乙、丙、丁四支球队组成, 假设四支球队水平相当. (Ⅰ)求甲队赛完小组赛(3 场)后积 3 分的概率; (Ⅱ)求甲队赛完小组赛(3 场)后积分 ? 的数学期望.

(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

如 图 , 直 角 △ BCD 所 在 的 平 面 垂 直 于 正 △ ABC 所 在 的 平 面 , PA⊥ 平 面 ABC , DC ? BC ? 2PA , E 为 DB 的中点, (Ⅰ)证明:AE⊥BC; (Ⅱ)线段 BC 上是否存在一点 F 使得 PF 与面 DBC 所成的角为 60? ,若存在,试确定点 F 的位置,若不存在,说明理由.
D

P C

E

F A B

(20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? (Ⅰ)求数列 {S n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

4 n , 4 ? 1 an ? 3 ? 4n?1 S n . 3

?

?

n , 若 Tn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 lim Tn 的值. n ?? 3an

(21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

............

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点为 A,右焦点为 F,右准线与 x 轴交于点 B, a 2 b2 且与一条渐近线交于点 C,点 O 为坐标原点,又 OA ? 2 OB , OA ?OC ? 2 ,过点 F 的直线
已知双曲线 与双曲线右支交于点 M , N . (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)求 ?BMN 面积的最小值.

(22) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) 已知函数 f ?x ? ? ? cos x , g ?x ? ? ax ? ? . (Ⅰ)讨论函数 h? x ? ? g ? x ? ? f ? x ?? x ? ?? ?

............
? ? ? ? ? ?? , ? ? 的单调区间; ? ? ? ? ??

(Ⅱ)证明:任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? x ;
'

(Ⅲ)若 a ? 2 , x1 ? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ? 3? ? ? , ? ? , g ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ,求证: ? ? ? ? ??

x1 ?

?
?

? x2 ?

?
?

? ? ? xn ?

?
?

?

?
?

?n ? N ? .
*

柳铁一中数学理科 9 月考数学试卷答案
4 1.B【解析】 z ? i ? T5 ? T4?1 ? C7 i 4 ? 35

?2m ? 1 ? m ? 1 ? 2.C【解析】 ?m ? 1 ? ?2 ?2?m?4 ?2m ? 1 ? 7 ?
?1? 3.A【解析】 c ? 1,0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 ,在同一个坐标系作出 y ? ? ? , y ? log2 x , y ? log 1 x 的图象可以比较 a,b ?2? 2
x

的大小

17 17 4.C【解析】 a3a6a18 ? a1q8 ,T17 ? a1 q1? 2 ???16 ? a1 q17?8 ? a1q8

? ?
?

3

? ?

17

5.A【解析】 y ? sin2 kx ? cos 2 kx ? 1 ? ? cos 2kx ? 1 ? T ? 6.B【解析】
a ?b a ?b
2 2

2? ? ? ? k ? ?1 ?k

x 1 1 2 ? ? ? ks5u 4 2x2 ? 1 2x ? 1 2 2 x

? b2 ? ?p b2 ? ? ? 2c ? c 2 ? a 2 ? 2ac ? e 2 ? 2e ? 1 ? 0 ? e ? 1 ? 2 7.C【解析】 ? a a ?p ?c ?2 ?

?? ? ? 8.C【解析】 f ' ?x ? ? e x ?sin x ? cos x ? ? f ' ?5? ? e5 ?sin5 ? cos 5? ? 2e5 sin? 5 ? ? , 5 ? ? 5.7 在第四象限 ?? 4 ? 9.B【解析】作出图形后可知 ?PCB 为所求
4? ? ? ? ? 10.B【解析】平移后 y ? cos? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? k? ? ? ? ? ? k? ,令k ? ?1 3 ? ? ? ?
11.C【解析】 OP ? OM ? ON ? 0 ? O是?PMN的 心 ,OP ? OM ? OM ? ON ? OP ? ON ? O是?PMN的 心 , 重 垂

故 ?PMN是 三 形 正 角
2 2 2 12.D【解析】 N ? A30 ? 4 ? 6 ? A2 ? 5 ? 5 ? A2 ? 772

13.

3 2
2 2

【解析】 令cos x ? ?

1 3 3? ? 1? ? 1? ? ?? 3 , ? sin x ? ? ? f ?? ? ? 2??? ???? ? 2 ? 2 2 2 ? 2? ? 2? ? ?

14. 15.

16. ?3,6?

1 ?

1 4 4 【解析】 V正八面体 ? 2 ? ? 2R ? 2R ? 2R ? R3,V球 ? ?R3 3 3 3

17.解: x ? 2 y ? a 2 ? b 2 ? 4c 2

?cot A ? cot B ? ? tanC ? ? cos A ? cos B ? ? sinC ? ?

? sin A sin B ? cos C sin B cos A ? cos B sin A sinC .ks5u ? ? sin A sin B cos C sin? A ? B ? sinC sin2 C c2 2 ? ? ? ? 2 sin A sin B cos C sin A sin B cos C a ? b2 ? c2 3 ab ? 2ab

4 ?1? 1 1 ?2? 18.解: (1)有两种情况:一胜两负或平三场,所求概率为: P ? C3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? 27

2

3

(2) ? 可取 0,1,2,3,4,5,6,7,9
3

1 3 3 ?1? ?1? 1 ?1? , P?? ? 1? ? C3 ? ? ? ? , P?? ? 2? ? C32 ? ? ? P?? ? ?? ? ? ? ? 3? 27 3? 27 3? 27 ? ? ?

3

3

P?? ? 3? ?

6 4 1 1? 1 ? , P?? ? 4? ? C3 ? C2 ? ? ? , 27 27 ?3?
3 3

3

3 1 ?1? P?? ? 5? ? C3 ? ? ? ? 27 ?3?
3

3

3 3 1 ?1? 2 ?1? 2 ?1? , P?? ? 7 ? ? C3 ? ? ? ? , P?? ? 9? ? ? ? ? P?? ? 6? ? C3 ? ? ? ? 27 27 27 ? 3? ? 3? ? 3?

∴ E? ? 0 ?

1 3 3 4 6 3 3 3 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? 6? ? 7? ? 9? ?4 27 27 27 27 27 27 27 27 27

19.证明: (I)取 BC 的中点 O,连接 EO,AO, EO//DC 所以 EO⊥BC

因为 ?ABC 为等边三角形,所以 BC⊥AO ,所以 BC⊥面 AEO,故 BC⊥AE (II)方法一:连接 PE,因为面 BCD⊥面 ABC,DC⊥BC

1 DC, 所以 EO PA,故四边形 APEO 为矩形 2 易证 PE⊥面 BCD,连接 EF,则 ? PFE 为 PF 与面 DBC 所成的角,即 ? PFE= 60? 3 1 在 Rt△ PEF 中,因为 PE =AO= BC,故 EF= BC, 2 2 1 因为 BC=DC,所以 EF= DC,又 E 为 BD 的中点,所以 F 为 BC 的中点 2
所以 DC⊥面 ABC,而 EO 方法二:以 BC 的中点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴,

OE 所在的直线为 z 轴建立空间坐标系,不妨设 BC=2,则 P (

3, 0,1) , ??? ? ? 设 F (0, y,0) ,则 PF ? (? 3, y, ?1) , 又平面 BCD 的一个法向量 n ? (1, 0, 0) , ??? ? ? PF ? n 3 则由 ??? ? ? , 解得 y=0,故 F 为 BC 的中点 ? 2 PF n
20.解(1)当n ? 2时,an ? S n ? S n ?1. ?当n ? 2时,?4n-1 S n ? (4n ? 1)( S n ? S n ?1 ) ? (4 n ?1 ? 1) S n ? (4 n ? 1) S n ?1 3 Sn S ? S ? = n ?n ?1 ? 数列 ? n n ? 是公比为1的等比数列。 1 4 ?1 4 ?1 ? 4 ? 1? S S 4 4 ? n n = 1 = ? S n= (4n ? 1) (n ? N ?) . 4 ?1 3 9 9 ?
n

4 4n n n (2)将S n= (4n ? 1)代入3?4n-1 S n ? (4 n ? 1) an , 得an ? ? bn ? ? 9 3 3an 4n Tn ? 1 2 3 n 1 1 2 3 n ? ? ? ? ? n , Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . 4 4 2 43 4 4 4 4 4 4 1 1 1 ? n? 3 1 1 1 1 n n 1 1 n ? Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 4 4 4 ? n ?1 ? ? ? n ?1 . n 1 4 4 4 4 4 4 4 3 3?4 4 1? 4 4 3n ? 4 4 ? Tn ? ? ? lim Tn ? . n ?? 9 9?4n 9

21.解:(1)由题意得A(a, 0), B (

??? ? ??? ? a2 a2 a , 0).又OA ? 2OB ? ? ,? ① c c 2

? a2 x? 2 2 ? ??? ? ? c ? C ( a , ab ).? OA????? ? 2 ? a ? 2.? ② 由? OC c c c ?y ? b x ? a ? 联立①②得a ? 2, c ? 4. 双曲线的方程为 x2 y 2 ? ? 1. 4 12

(2) ?直线l与双曲线右支相交于M , N 两, ? x1 x2 ? (ty2 ? 4)(ty2 ? 4) ? t 2 y1 y2 ? 4t ( y1 ? y2 ) ? 16 ? t2 ? 36 ?24t 3t 2 ? 1 1 ? 4t ? 2 ? 16 ? 0 ? 2 ? 0 ? t2 ? . 2 3t ? 1 3t ? 1 3t ? 1 3
1 3 (24) 2 ? 4 ? 36 ? (3t 2 ? 1) | BF | ? | y1 ? y 2 |? 2 2 | 3t 2 ? 1|

? S? BMN ? ?

18 t 2 ? 1 18 t 2 ? 1 6 3 3t 2 ? 3 ? ? . | 3t 2 ? 1| 1 ? 3t 2 1 ? 3t 2

令u ? 1- 3t 2 , u ? ? 0,1?.

? S? BMN ? 6 3 ?

4?u 4 1 1 1 1 ? 6 3 ? 2 ? ? 6 3 4( ? ) 2 ? . u u u u 8 16

1 由u ? ? 0,1? ? ? ?1, ?? ? . ks5u u 1 ?当 ? 1,即t ? 0时,? BMN 面积的最小值为18. u

22.


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