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高考数学大一轮复习配套课时训练:第三篇 三角函数、解三角形 第6节 正弦定理和余弦定理及其应用


第6节 课时训练 【选题明细表】

正弦定理和余弦定理及其应用 练题感 提知能

知识点、方法 用正、余弦定理解三角形 与三角形面积有关的问题 判断三角形的形状 实际应用问题 综合应用 A组 一、选择题

题号 1、5、8、9、11 2、4 3、10 7、15 6、12、13、14、16

1.(2013 广东湛江十校联考)在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别 是 a、b、c,已知 b=2,B=30°,C=15°,则 a 等于( (A)2 (B)2 (C) (D)4 A )

解析:A=180°-30°-15°=135°, 由正弦定理 = ,得 = ,

即 a=2 .故选 A. 2.(2013 潮州二模)在△ABC 中,A= ,AB=2,且△ABC 的面积为 ,则边 AC 的长为( (A)1 (B) A ) (C)2 (D)

解析:S△ABC= AB·AC·sin A

= ×2·AC·sin = , ∴AC=1.故选 A. 3.(2013 湛江高考测试(二))若三条线段的长分别为 3,5,7,则用这三 条线段( C )

(A)能组成直角三角形 (B)能组成锐角三角形 (C)能组成钝角三角形 (D)不能组成三角形 解析:依题意得,注意到任意两边之和均大于第三边,因此,它们能够 构成三角形,边长为 7 的边所对的内角的余弦等于 内角是钝角.该三角形是钝角三角形,故选 C. 4.(2013 汕头市高三质量测评(二))在△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边 分别是 a,b,c,已知 c=2,C= ,△ABC 的面积 S△ABC= ,则△ABC 的周长为 ( A ) <0,因此,该

(A)6 (B)5 (C)4 (D)4+2 解析:依题意得 absin C= ab= ,ab=4,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=4 ? (a+b)2-3ab=4? (a+b)2=16? a+b=4? a+b+c=6,即△ABC 的周长是 6, 故选 A. 5.(2013 汕头市高三质量测评(一))在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分 别是 a,b,c,若 (A) (B) =2,b2-a2= ac,则 cos B 等于( (D) C )

(C)

解析:∵ =

=2,即 c=2a,又 b2-a2= ac,由余弦定理得

b2=c2+a2-2accos B, ∴ a×2a=4a2-4a2cos B,即 cos B= . 6.(2013 珠海一模)直线 l1 与 l2 相交于点 A,点 B、C 分别在直线 l1 与 l2 上,若 与 的夹角为 60°,且| |=2,| |=4,则| |等于( (A)2 (B)2 (C)2 (D)2 解析:由题意,△ABC 中,∠A=60°,AB=2,AC=4. 由余弦定理知 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=12, ∴BC=2 . 故选 B. 二、填空题 7.某居民小区为了美化环境,给居民提供更好的生活环境,在小区内 的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮,已知这种草皮的价格 是 120 元/m2,则购买这种草皮需要 元. B )

解析:三角形空地面积 S= ×12 ×25×sin 120°=225(m2), 故共需 225×120=27000(元). 答案:27000

8.(2012 年高考北京卷)在△ABC 中,若 a=2,b+c=7,cos B=- ,则 b= .

解析:由已知根据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 得 b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×(- ), 即 15b-60=0,得 b=4. 答案:4 9.(2013 潮州高三期末质检)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若(2b-c)cos A=acos C,则 cos A= 解析:由(2b-c)cos A=acos C, 得 2bcos A=ccos A+acos C, 2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C, 故 2sin Bcos A=sin(A+C), 又在△ABC 中,sin(A+C)=sin B>0,故 cos A= . 答案: 10.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c 若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,则△ABC 的形状为 解析:由 sin C+sin (B-A)=sin 2A 得 sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A, 2sinBcos A=2sin Acos A. ∴cos A=0 或 sin A=sin B. . .

∵0<A、B<π , ∴A= 或 A=B, ∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 答案:等腰或直角三角形 三、解答题 11.(2013 广东六校第二次质检)如图,四边形 ABCD 中,AB=5,AD=3,cos A= ,△BCD 是等边三角形. (1)求四边形 ABCD 的面积; (2)求 sin ∠ABD.

解:(1)由题意及余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2×AB×AD×cos A=10, ∵cos A= , ∴sin A= . 四边形 ABCD 的面积 S=S△ABD+S△BCD = ×AB×AD×sin ∠BAD+ ×BD2×sin ∠DBC = .

(2)由正弦定理得

=

, .

∴sin ∠ABD= ×sin A=

12.(2013 深圳市二调)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 知 a=3,b=5,c=7. (1)求角 C 的大小; (2)求 sin(B+ )的值. 解:(1)由余弦定理可得 cos C= ∵0<C<π , ∴C= . (2)由正弦定理可得 ∴sin B= ∵C= , ∴B 为锐角, ∴cos B= = = , = = , = =- ,

= ,

∴sin(B+ )=sin Bcos +cos Bsin

= ×+ × = . B组 13.(2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对 边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则 b 等于( D (A)10 (B)9 (C)8 (D)5 解析:由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0, 即 cos2A= , 又因为△ABC 为锐角三角形, 所以 cos A= . 在△ABC 中,由余弦定理知 72=b2+62-2b×6× , 即 b2- b-13=0, 即 b=5 或 b=- (舍去),故选 D. 14.在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a=(cos C,2a-c),b=(b,-cos B)且 a⊥b,则 B= 解析:由 a⊥b,得 a·b=bcos C-(2a-c)cos B=0, 利用正弦定理,可得 sin Bcos C-(2sin A-sin C)cos B= sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Acos B=0, . )

即 sin(B+C)=sin A=2sin Acos B, 因为 sin A≠0,故 cos B= ,因此 B= . 答案: 15.如图所示,A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰 角分别为 75°,30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.

(1)试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求 B、D 的距离. 解:(1)如图所示,在△ADC 中,

∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30°, ∴CD=AC=0.1 km, 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, ∴∠CED=90°,

∴CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, ∴BD=BA. (2)在△ABC 中,∠ABC=75°-60°=15°, 由正弦定理得 ∴AB= ∴BD= = (km). km. = (km), ,

故 B、D 间的距离是

16.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S. (1)证明:∵在△ABC 中, sin B(tan A+tan C)=tan Atan C, ∴sin B = · ,

∴sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C, ∴sin Bsin(A+C)=sin Asin C, ∵A+C=π -B, ∴sin(A+C)=sin B, ∴sin2 B=sin Asin C, 由正弦定理得,b2=ac,

∴a,b,c 成等比数列. (2)解:∵a=1,c=2, ∴b2=ac=2,∴b= , ∴cos B= ∵0<B<π , ∴sin B= = = . = =,

∴△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2× = .


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