当前位置:首页 >> 数学 >>

2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:第1部分 专题2 第10讲 高考中的三角函数


热 点 题 型 · 探 究

第 10 讲
高 考 命 题 · 视 角

高考中的三角函数

专 题 限 时 集 训

题型一| 三角恒等变换

(2016· 南京盐城二模)已知 α 为锐角,
? π? cos?α+4?= ? ?

5 5.

(1)求 (2)求

? π? tan?α+4?的值; ? ? ? π? sin?2α+3?的值. ? ?

[解] (1)因为 所以

? π? α∈?0,2?,所以 ? ?

π ?π 3π? α+4∈?4, 4 ?, ? ? 3分

? π? sin?α+4?= ? ?

1-cos

2

? π? 2 5 ?α+ ?= , 4 5 ? ?

所以

? π? ?α+ ? sin ? ? 4? π ? tan?α+4?= ? =2. ? π ? ? cos?α+4? ? ?

6分

(2)因为

? ? ? π? π ?? sin?2α+2?=sin?2?α+4??= ? ? ?? ? ?

? π? ? π? 4 2sin?α+4?cos?α+4?=5, ? ? ? ? ? ? ? ? π? π ?? π? 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 α + α + α + cos 2?=cos?2? 4??=2cos ? 4?-1=-5, ?

9分 12 分

所以

?? ? π? π? π? sin?2α+3?=sin??2α+2?-6?= ? ? ? ?? ?

? ? π? π π? π 4 sin?2α+2?cos6-cos?2α+2?sin6= ? ? ? ?

3+3 10 .

14 分

π π 【名师点评】 1.本题(2)在求解中, 从角“2α+3”与角“α+4”的关系入手, 先求
? π? cos?2α+2?,再求 ? ? ? π? sin?2α+3?的值,避免了复杂的运算. ? ?

2.三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式, 三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目 所给条件与恒等变换公式的联系.

π 2 α 1 已知 0<α<2<β<π,tan2=2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值.

1 2×2 4 α 1 [解] (1)∵tan2=2,∴tan α= = =3. ? ? α 1 1-tan22 1-? ?2 ?2? sin α 4 ? ?tan α= =3, cos α 由? 2 2 ? sin α + cos α=1, ?
? 4 4? 解得 sin α=5?sin α=-5舍去?. ? ?

α 2tan2

3分

5分

6分

(2)由(1)可知 cos α= 1-sin α= π 又 0<α<2<β<π, ∴β-α∈(0,π), 2 而 cos(β-α)= 10 , ∴sin(β-α)= 1-cos ?β-α?=
2

2

? 4? 3 2 ? ? 1- 5 =5, ? ?

8分

10 分
? 2? ? ?2 7 2 1-? ? = 10 . ? 10 ?

11 分

∴sin β=sin[α+(β-α)] =sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α) 4 2 3 7 2 =5× 10 +5× 10 2 =2. 又
?π ? β∈?2,π?,故 ? ?

13 分 3π β= 4 . 14 分

题型二| 正、余弦定理

→ → → → 在△ABC 中,已知AB· AC=3BA· BC. (1)求证:tan B=3tan A; 5 (2)若 cos C= 5 ,求 A 的值.

→ → → → 数量积的定义 [解题指导] (1)AB· AC=3BA· BC ―――――→ AB· AC· cos A=3BA· BC· cos B―――→证明 tan B=3tan A 同角关系 诱导公式 正切公式 A的范围 (2)cos C ――→ tan C ――→ tan(A+B) ――→ tan A ――→ 求 A.
正弦定理

→ → → → [解] (1)证明:因为AB· AC=3BA· BC,所以 AB· AC· cos A=3BA· BC· cos B, 2分 AC BC 即 AC· cos A=3BC· cos B.由正弦定理知sin B=sin A, 从而 sin Bcos A=3sin Acos B. 又因为 0<A+B<π,所以 cos A>0,cos B>0, 所以 tan B=3tan A. 6分 4分

5 2 5 2 (2)因为 cos C= 5 ,0<C<π,所以 sin C= 1-cos C= 5 , 从而 tan C=2,于是 tan[π-(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2,

8分 10 分

tan A+tan B 4tan A 1 亦即 =-2.由(1)得 =-2,解得 tan A=1 或 tan A=-3. 1-tan Atan B 1-3tan2A 12 分 π 因为 cos A>0,所以 tan A=1,所以 A=4. 14 分

【名师点评】 求解此类问题的关键是将几何问题代数化,基本工具是正(余) 弦定理. 若要把“边”化为“角”,常利用 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,若 a2+b2-c2 a b c 要把“角”化为“边”, 常利用 sin A=2R, sin B=2R, sin C=2R, cos C= 2ab 等.

在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(b2+c2-a2)tan A= 3 bc. (1)求角 A; (2)若 a=2,求△ABC 的面积 S 的最大值. 【导学号:19592032】

b2+c2-a2 sin A 3 3 [解] (1)由已知得 2bc · cos A= 2 ,所以 sin A= 2 , 又因为△ABC 为锐角三角形,所以 A=60° . 1 3 (2)因为 a=2,A=60° ,所以 b +c =bc+4,S=2bcsin A= 4 bc,
2 2

4分 6分 8分 10 分 13 分 14 分

而 b2+c2≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4, 1 3 3 又 S=2bcsin A= 4 bc≤ 4 ×4= 3. 所以△ABC 的面积 S 的最大值等于 3.

题型三| 正、余弦定理的实际应用

(2016· 无锡期中)如图 10-1,某自行车手从 O 点出发,沿折线 O-A -B-O 匀速骑行,其中点 A 位于点 O 南偏东 45° 且与点 O 相距 20 2千米.该车 手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C, 其中点 C 位于点 O 南偏东(45° -α)(其 1 中 sin α= ,0° <α<90° )且与点 O 相距 5 13千米(假设所有路面及观测点都在 26 同一水平面上).

(1)求该自行车手的骑行速度;

图 10-1

(2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E,假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围内有长时间的持续强降雨.试问:该自行车手会不会进入降雨区,并说 明理由.

1 [解] (1)由题意知,OA=20 2,OC=5 13,∠AOC=α,sin α= . 26 由于 0° <α<90° ,所以 cos α=
? 1-? ? ?

1 ? ?2 5 26 = 26 . 26? ?

3分 5分 6分

由余弦定理,得 AC= OA2+OC2-2OA· OC· cos α=5 5. 5 5 所以该自行车手的行驶速度为 1 =15 5(千米/小时). 3

(2)如图,设直线 OE 与 AB 相交于点 M.在△AOC 中,由余弦定理,得:

OA2+AC2-OC2 202×2+52×5-52×13 3 10 cos∠OAC= = = 10 , 2OA· AC 2×20 2×5 5 从而 sin∠OAC= 1-cos ∠OAC=
2

9 10 1-10= 10 .

9分

在△AOM 中,由正弦定理,得: 10 20 2× 10 OAsin∠OAM OM= = ? =20. ? sin?45° -∠OAM? 2?3 10 10? - 10 ? 2? 10 ? ?

12 分

由于 OE=27.5>20=OM, 所以点 M 位于点 O 和点 E 之间, 且 ME=OE-OM =7.5. 过点 E 作 EH⊥AB 于点 H,则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离. 14 分

在 Rt△EHM 中, 5 3 5 EH=EM· sin∠EMH=EM· sin∠EMH=EM· sin(45° -∠OAC)=7.5× 5 = 2 < 3.5. 所以该自行车手会进入降雨区. 16 分

【名师点评】

借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的

一个命题热点,解题的关键是将问题转化到平面图形(如三角形、四边形等)中,然 后借助正、余弦定理解题.

(2016· 扬州期中)有一块三角形边角地,如图 10-2,△ABC 中,其中 AB=8(百 米),AC=6(百米),∠A=60° .某市为迎接 2500 年城庆,欲利用这块地修一个三角 形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲, 其中点 E 在边 AB 上, 点 F 在边 AC 上. 规 划部门要求△AEF 的面积占△ABC 面积的一半,记△AEF 的周长为 l(百米).

图 10-2

(1)如果要对草坪进行灌溉,需沿△AEF 的三边安装水管,求水管总长度 l 的 最小值; (2)如果沿△AEF 的三边修建休闲长廊,求长廊总长度 l 的最大值,并确定此 时 E,F 的位置.

[解] (1)设 AE=x(百米), 1 ∵S△AEF=2S△ABC, 1 1 1 ∴2AE· AF· sin A=2×2AB· AC· sin A. 24 ∵AB=8,AC=6,∴AF= x . ? ?0<x≤8, ∵? 24 0< x ≤6, ? ? ∴4≤x≤8. 3分 2分

在△AEF

?24? 24 2 2 2 ? ? 中,EF =x + x -2x· x cos ? ?

2 24 60° =x2+ x2 -24,

24 ∴l = x + x + 24 l=x+ x + “=”, ∴lmin=6 6.

2 24 x2+ x2 -24,x∈[4,8],

5分

2 24 x2+ x2 -24≥2 24+ 2×24-24=6 6, 当且仅当 x=2 6时取

6分

24 (2)由(1)知:l=x+ x +

2 24 x2+ x2 -24,x∈[4,8].

2 24 24 x -24 ?x-2 6??x+2 6? 令 t=x+ x ,x∈[4,8],∴t′=1- x2 = x2 = . 9分 x2

列表得: x t′ t (4,2 6) - ? 2 6 0 极小值 4 6 (2 6,8) + ?

且 x=4 时,t=10;x=8 时,t=11,则 t∈[4 6,11].

l=t+ t2-72在[4 6,11]上单调递增,∴当 t=11 时,lmax=18,此时 AE=8, AF=3, 13 分

答:水管总长度 l 的最小值为 6 6百米;当点 E 在 A 处,点 F 在线段 AC 的中 点时,长廊总长度 l 的最大值为 18 百米. 14 分

命题展望 从近五年的高考试题看,三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高考 的一个测重点,该类题目侧重于学生的双基,属送分题目.2017 年该点依然是命题 点应加强训练.

(2016· 江苏高考)在△ABC 中,AC=6,cos (1)求 AB 的长;(2)求
? π? cos?A-6?的值. ? ?

4 π B=5,C=4.

4 [解] (1)因为 cos B=5,0<B<π, 所以 sin B= 1-cos B= AC AB 由正弦定理知sin B=sin C, 2 6× 2 AC· sin C 所以 AB= sin B = 3 =5 2. 5
2

?4? 3 2 ? ? 1- 5 =5. ? ?

2分

4分

(2)在△ABC 中,A+B+C=π,所以 A=π-(B+C), 于是 cos
? π? A=-cos(B+C)=-cos?B+4? ? ?

π π =-cos Bcos 4+sin Bsin 4. 4 3 又 cos B=5,sin B=5, 4 2 3 2 2 故 cos A=-5× 2 +5× 2 =- 10 . 7 2 因为 0<A<π,所以 sin A= 1-cos A= 10 .
2

8分 10 分

? π? 因此,cos?A-6?=cos ? ?

π π Acos 6+sin Asin 6 14 分

2 3 7 2 1 7 2- 6 =- 10 × 2 + 10 ×2= 20 .

[阅卷心语] 易错提示 (1)忽视“角 A,B,C 间的关系”,导致无法求解 cos A;

(2)误用“cos A=cos(B+C)”,导致计算失分. 防范措施 化. (2)熟记诱导公式,在换算角的关系时,尽量少跨步骤,如此题中,可这样: cos A=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C). (1)在△ABC 中,其内角和 A+B+C=π,常用该条件实现角的转

1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=3,b=2 6,B =2A. (1)求 cos A 的值; (2)求 c 的值. 【导学号:19592033】

[解] (1)在△ABC 中,因为 a=3,b=2 6,B=2A, 3 2 6 2sin Acos A 2 6 故由正弦定理得sin A=sin 2A,于是 sin A = 3 . 6 所以 cos A= 3 .

2分 5分 6分

6 3 2 (2)由(1)知 cos A= 3 ,所以 sin A= 1-cos A= 3 . 1 又因为 B=2A,所以 cos B=cos 2A=2cos A-1=3,
2

7分

2 2 从而 sin B= 1-cos B= 3 .
2

10 分

在△ABC 中,因为 A+B+C=π, 5 3 所以 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 9 . asin C 因此由正弦定理得 c= sin A =5. 13 分 14 分

2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别是 a,b,c. (1)若
? π? sin?A+4?= ? ?

2sin A,求 A 的值;

1 (2)若 cos A=2,sin B+sin C=2sin A,试判断△ABC 的形状,并说明理由.

[解] (1)由题意,若

? π? sin?A+4?= ? ?

2sin A, 2分 4分

2 2 则 2 sin A+ 2 cos A= 2sin A, 2 2 即 2 cos A= 2 sin A, 可得 tan A=1,由 A∈(0,π), π 故 A=4.

6分

(2)在△ABC 中,sin B+sin C=2sin A,由正弦定理可得:b+c=2a, b2+c2-a2 1 1 由 cos A=2,得 cos A= 2bc =2, 故 b2+c2-a2=bc,又 b+c=2a, 则(b+c) -a =3bc=3a ,故 a 可得(b-c)2=0,故 b=c, 则 b=c=a,故△ABC 为正三角形.
2 2 2 2

8分

10 分

?b+c? ?2 =bc=? ? 2 ? , ? ?

13 分 14 分

3.如图 10-3 是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图,其中支架 OA,OB,OC 两两成 120° ,OC=1,AB=OB+OC,且 OA>OB.现设计师在支架 OB 上装点普 通珠宝,普通珠宝的价值为 M,且 M 与 OB 长成正比,比例系数为 k(k 为正常数), 在△AOC 区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝,名贵珠宝的价值为 N,且 N 与△AOC 的面积成正比,比例系数为 4 3k,设 OA=x,OB=y.

图 10-3

(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2)求 N-M 的最大值及相应的 x 的值.
[解] (1)因为 OA=x,OB=x,AB=y+1,
2 x -1 2 2 2 由余弦定理,x +y -2xycos 120° =(y+1) ,解得 y= , 2-x

1分 3分

x 2 -1 1+ 3 由 x>0,y>0 得 1<x<2,又 x>y,得 x> ,解得 1<x< 2 ,5 分 2-x 所以 OA
? 1+ ? 的取值范围是?1, 2 ?

3? ?

?. ?

6分

(2)M=kOB=ky,N=4 3k· S△AOC=3kx, 则 设 则
2 ? x -1? ? ? N-M=k(3x-y)=k?3x- ?, 2 - x ? ?

8分

?3- 2-x=t∈? ? 2 ?

3

? ? ,1 ? ?



2 ? ? 2 - t ? -1? ? ? N-M=k?3?2-t?- ? t ? ?

? ? 3?? ? =k?10-?4t+ t ??≤k? ?10-2 ? ?? ? ?

3? ? 4t· t? ? 12 分

=(10-4 3)k.

? 3 3 ? 3 ?3- 3 ? 当且仅当 4t= t ,即 t= 2 ∈? ,1?取等号,此时 x=2- 2 取等号, 2 ? ?

3 所以当 x=2- 2 时,N-M 的最大值是(10-4 3)k.

14 分


相关文章:
2017高考数学专题复习:概率(理科)_图文
2017 高考数学专题复习:古典与几何概型 古典概型: 1.从副扑克牌(54 张)中抽张牌,抽到牌 的概率是___ “K” 2017.1.1 2.将一枚硬币抛两次,恰好出...
2017年高考数学备考策略(修订版)
2017年高考数学备考策略(修订版)_高考_高中教育_...画出数轴 2015 列举法数轴求集合的交集 1 2 3...落实第一复习(知识点、考点); 第二轮:2016 年 ...
...高考数学大二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)配...
2016版高考数学二轮总复习与增分策略(江苏专用,理科)配套课件+配套文档:专题六 解析几何第1讲_数学_高中教育_教育专区。第1讲 直线与圆 1.(2015· 安徽改编...
高考理科数学专题复习---概率与统计
2014届高考数学(理科)二... 86页 2下载券 2013年高考二轮复习数... 暂无...之专题三——概率与统计 (真真) 概率与统计一、 考点剖析 ( A) 考点 1. ...
(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回...
(江苏专版)2014届高考数学二轮专题复习 审题 解题 回扣第二篇 第2讲 填空题的解法 文 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第2讲【题型特点概述】 1. 填空...
2017年高考数学(理科)全国Ⅰ卷试卷评析及2018年备考建议
2017 年高考数学(理科)全国Ⅰ卷试卷评析 及 2018 年备考建议 2017 年的新课标 1数学试题秉承了以往试题的特点,难度进一步趋于稳 定。注重能力立意,体现新课标...
2017高考语文(江苏专版)二轮复习与策略讲义:高考第1大...
2017高考语文(江苏专版)二轮复习与策略讲义:高考第1大题 语言文字运用专题卷4 Word版含解析_语文_高中教育_教育专区。百度文库 语言文字运用专题卷(四) (建议用...
2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习(检测):专题六第...
2017高考(新课标)数学()二轮专题复习(检测):专题六第2讲概率、随机变量及其分布列 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。专题六 概率与统计 概率 第2讲一、...
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课...
《创新设计》2017高考数学()二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题五 解析几何 第1讲_高考_高中教育_教育专区。《创新设计》2017高考数学()二轮复习(...
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)课...
《创新设计》2017高考数学()二轮复习(江苏专用)课件+Word版训练专题五 解析几何第3讲_高考_高中教育_教育专区。《创新设计》2017高考数学()二轮复习(江苏...
更多相关标签: