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1.2正余弦定理应用举例


1.2 正、余弦定理应用举例导学案 高志国 【学习目标】 (朝着目标大步迈进! ) 能利用正、余弦定理解决各种实际应用问题; 【知识清单】 (鸟欲高飞先振翅,人求上进先读书! ) 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫 叫 ;(如下图)
视线
铅 垂 线

【典例精析】 (品出知识,品出题型,品出方法) (一) 测

量距离问题 例 1、在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势,在相距为 ,在水平线下方的角


3a 的军事基地 C 2



D

测 得 蓝 方 两 只 部 队 分 别 在

A

处 和

B

处 , 且

A ?ADB ? 30 ? , ?BDC ? 30 ? , ?DCA ? 60 ? , ?ACB ? 45 ? , 如右图 . 求蓝方这两支军队的距

离.
东 D B

B

水平线

西

?
O

30 ? ? 30

60

?

45 ?
C

视线



2、方位角 北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 ? (如上图) (1) 正南方向:指从原点 O 出发的经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在 正南的方向线上.依次可类推正北、正东和正西方向 (2)东南方向:指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如下图)
北 北 西 O 东 东南方向 南 西 O 南 南
?

例 2、船 A 和船 B 在中午 12 时离开海港 C,两艘船的航行方向之间的夹角为 120 ? , 船 A 的速度是 25km/h,B 的速度是 15km/h,下午 2 时两船之间相距多少千米?

北 东 西 O 东

方法总结:

?

(3)北 ? 东,即北偏东 ? ,方位角为 (4)南 ? 西,即南偏西 ? ,方位角为

.(如上中图) .(如上右图)

(二) 测量高度问题 例 3、某人在塔的正东沿着南偏西 60 ? 的方向前进 40m 后,望见塔在东北方向,若沿 途测得塔的最大仰角为 30 ? ,求塔高.

3、坡度问题 (1)坡角:坡面与水平面的夹角,如右图. (2)坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比, ? h 即 i ? ? tan? (i为坡比,?为坡角) l

i?

h l
l

h

例 4、飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔 20250m,速 度为 1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30 ? ,经过 100s 后又看到山顶的俯角为 75 ? ,求山顶的海拔高度.

(选作)如图,两根不可伸长的轻绳吊住一个质量为 G 的重物,开始时,轻绳 OA 水 平,不断改换轻绳 OA,使 OA 的悬点不断上移,同时,保持轻绳 OB 的位置不变, 则轻绳 OB 的拉力 T A 和TB 将如何变化?
B A’

O

A

【知能达标】 (一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼 看,等啥?快练!) 1.在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, cos 2 B ? 3 cos(A ? C ) ? 2 ? 0,b ? 3 ,则 b : sin B为 ( ) A.3:1 B. 3 :1 C. 2 :1 D.2:1
B a?c ? , 则 ?ABC 的形 2 2c

方法总结:

(三) 角度问题 例 5、海军某雷达发现在海岸 A 处,北偏东 45 ? 方向,距离 A 处 ( 3 ? 1) km 的 B 处有 一艘走私船, 在 A 处北偏西 75 ? 方向, 距离 A 处 2km 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 km 的速度追截走私船.此时,走私船正以 10km 的速度从 B 处向北偏东 30 ? 方向逃窜, 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需时间.

2. 在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, cos2

方法总结: (四) 其他实际应用问题 例 6、在 ?ABC 中,求证: c(a cos B ? b cos A) ? a 2 ? b 2

状为( ) A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或 直角三角形 3.一船向正北匀速行驶, 看见正西方两座相距 10 海里的灯塔恰好与该船在同一直线 上,继续航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西 60 ? 方向上,另一灯塔在南偏西 方 向 上 , 则 该 船 的 速 度 应 该 是 75 ? ( ) A. 10 海里/小时 B. 10 3 海里/小时 C. 5 海里/小时 D. 5 3 海 里/小时 4.在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3bc ,则角 B 为( ) A.

? 6

B.

? 3

C.

?
6



5? 6

D.

?
3



2? 3

1 5、在 ?ABC 中,若 tan A ? , C ? 150 ? , BC ? 1, 则S ?ABC ? 3

6、一架飞机在海拔 8000m 的高空飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别 是 30 ? 和45 ? ,计算这个海岛的宽度.

【高考链接】 1、设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对边长为 a、b、c,且 a cos B ? 3, b sin A ? 4. (1)求边长 a ; (2)若 ?ABC 的面积 S=10,求 ?ABC 的周长 l

7、一架飞机从 A 地飞往 B 地,两地相距 700km.飞行员为避开一雷雨云层,起飞后 就沿与原来的飞行方向成 30 角的方向飞行,飞到中途,再沿与原来的飞行方向成 45 角的方向继续飞直到终点,这样飞机的飞行路程比原来的路程 700km 远了多少?

2、甲船以 30 2 海里/小时的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行 . 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 ? 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海 里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 ? 方向的 B2 处,此 时两船相距 10 2 海里,问乙船速度多少海里/小时?

8、求半径是 R 的圆内接正 n 边形的面积.


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