高中数学

． 已知递推公式，求特殊数列的通项公式． 例2 写出下面各数列一个通项公式． （1） a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? （2） a1 ? 1 ， a n ?

an (n ? 1); 2

练习1： a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ； 练习2： a1 ? 1 ， a n ?1 ?

2a n ?1 (n ? 2) ； 2 ? a n ?1

3a n (n ? 1) ； 3 ? an
3：

（3） a1 ? 1 ， an ? an?1 ? 2n(n ? 2) （4） a1 ? 1 ， a n?1 ?

练习

a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N * ).

n a n (n ? 1) ； n ?1

练习4： a1 ? 1 ， an ?1 ? 2n ? an (n ? 1)

课题：数列求和
1．倒序相加法：等差数列前 n 项和公式的推导方法： （1） ? ?

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2Sn ? n(a1 ? an ) ?Sn ? an ? an ?1 ? ? ? a1
12 22 32 10 2 ? 2 ? 2 2 ??? 2 2 12 ? 10 2 2 ? 92 3 ? 8 10 ? 1

例 1．求和：

分析：数列的第 k 项与倒数第 k 项和为 1，故宜采用倒序相加法． 小结: 对某些前后具有对称性的数列,可运用倒序相加法求其前 n 项和. 2．错位相减法：等比数列前 n 项和公式的推导方法： （2） ? ?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (1 ? q) Sn ? a1 ? an ?1 qSn ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 ?
2 3 n

例 2．求和： x ? 3x ? 5 x ? ? ? (2n ? 1) x ( x ? 0) 3．分组法求和 例 3 求数列 1 ,2 ,3 ,4

1 2

1 4

1 8

1 ? 的前 n 项和； 16

例 4 ． 设 正 项 等 比 数 列

?a n ?

的 首 项 a1 ?

1 ， 前 n 项 和 为 Sn ， 且 2

210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 （Ⅰ）求 ?a n ?的通项； （Ⅱ）求 ?nSn ?的前 n 项和 Tn 。
例 5．求数列 1, 1 ? a, 1 ? a ? a ,?,1 ? a ? a ? ? ? a
2 2

,? 的前 n 项和 Sn. n(n ? 1) 解 : 若a ? 1, 则a n ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n, 于是S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ; 2 1? an 1 若a ? 1, 则a n ? 1 ? a ? ? a n ?1 ? ? (1 ? a n ) 1? a 1? a 2 n 1? a 1? a 1? a 1 1 a(1 ? a n ) 于是S n ? ? ??? ? [n ? (a ? a 2 ? ? ? a n )] ? [n ? ] 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a 1? a

n ?1

4．裂项法求和 例 6．求和： 1 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n
用心 爱心 专心

2 1 1 ? 2( ? ), n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 2n ? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )] ? 2(1 ? )? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
解：设数列的通项为 an，则 an ? 例 7．求数列

1 1? 2

,

1 2? 3 1

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

解：设 a n ?

n ? n ?1 1 ?

? n ?1 ? n 1

（裂项）

则 Sn ?

1 2? 3

1? 2

? ??? ?

n ? n ?1

（裂项求和）

＝ ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ＝ n ?1 ?1

1 1 1 ? 4 ? 6 ? ?前n项的和. 4 8 16 2 1 2 n （2） ．在数列{an}中， an ? ，又 bn ? ，求数列{bn}的前 n ? ? ??? ? a n ? a n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
（ 1). 求数列： 2 项的和. （3） 在各项均为正数的等比数列中， a5 a6 ? 9, 求 log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10 的值. ． 若 解：设 S n ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ? ? ? ? log 3 a10 由等比数列的性质 m ? n ? p ? q ? am an ? a p aq （找特殊性质项）

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