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浙江省金兰教育合作组织2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题


浙江省宁波市金兰合作组织 2013-2014 学年高二上学期期中考试数学 试题
(本次考试不得使用计算器) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 直线 x ? y ? tan 30 ? 1 ? 0 的倾斜角是( ▲ ). A. 30 B. 60 C. 120 D. 150

>
2. 若方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? y ? k ? 0 表示圆,则实数 k 的取值范围是( ▲ ). A. k ? 5 B. k ?
5 4

C. k ?

3 2

D. k ?

3 2

? x ? y ? 0, ?2 x ? y ? 2, ? 3. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则实数 m 的取值范围是( ▲ ). ? x ? y ? m, ? ? y ? 0,
A. m ?
4 3

B. 0 ? m ? 1

C. 1 ? m ?

4 3

D. 0 ? m ? 1或m ?

4 3

4. 已知直线 l1 : (a ?1) x ? y ? a ? 0 和 l2 : ax ? (a ?1) y ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则实数 a 的值为( ▲ ). A. 1 B. ?1 C. ?1,1 D.
3? 5 3? 5 , 2 2

5. 从椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为 120 A.
1 2

, 那么此椭圆的离心率为 ( ▲ ) .
6 3

B.

2 2

C.

3 3

D.

6. 方程 1 ? x lg( x2 ? y 2 ?1) ? 0 表示的曲线图形是( ▲ ).
y y

O

1

x

O B

1

x C

A
2

7.若不等式 4x ? x ? ax 的解集为 ?x ︱ 0 ? x ? 4? ,则实数 a 的取值范围为( ▲ ). A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 D. a ? 0 8. 已知直线 l 与椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 2 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 P ,设直线 l 的斜率为

D

k1 (k1 ? 0) ,直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1k 2 的值等于( ▲ ).

1 1 D. ? 2 2 9.某同学拿 50 元买纪念邮票,票面 1 元 2 角的邮票 5 张为一套,票面 2 元的邮票 4 张为一 套,邮票必须成套购买.如果该同学每种邮票至少买两套,则共有( ▲ )种不同的买法. A.6 B. 9 C. 11 D. 15

A. 2

B. ?2

C.

10.设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ' ,若 l ' 与椭圆 x 2 ?

y2 ? 1的交点为 A、B,点 4

P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为 2 ? 1 的点 P 的个数为( ▲ ). A.1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 当 ? 变化时, 直线 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 恒过定点_▲_. 12. 已知 P(3,5)为圆 x2 ? y 2 ? 10 y 内一点,则过点 P 的弦长的范围是_▲_. 13. 已知 P,Q 分别是直线 l : 2 x ? y ? 5 ? 0 和圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 3 上的两个动点,且直线 PQ 与圆 C 相切,则︱PQ︱的最小值是_▲_.
? x ? y ? 2 ? 0, 7 ? 14. 设实数 x, y 满足条件 ? x ? ay ? 4 ? 0, 且目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值是 ,则实数 a ? 2 _ ?2 y ? 3 ? 0, ?

▲_. 15.点 P 是椭圆
x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 , F2 是椭圆的 4 5

焦点, 且

_▲_. 16.如右图所示,A、B 是椭圆的两个顶点,C 是线 中点,F 为椭圆的右焦点,射线 OC 交椭圆于点 M, ∣=2,若 MF⊥OA,则此椭圆的标准方程为_▲_. 17. 已知关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 2b ? 0 (a , b ? R) 的 数根分别在区间(0,1)和(1,2)内,则 4a ? 3b ?12 的取值范围是_▲_.

?F1PF2 ? 30 ,则 S?F1PF2 ?

段 AB 的 且 ∣ OF 两个实

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.( 本小题 14 分) 已知过点 P(1,2)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点. 求: (1) y 轴上的截距是 x 轴上的截距的两倍时直线的方程; (2)∣PA∣·︱PB∣取最小值时直线的方程.
? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? 19. (本小题 14 分)已知实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0, ?

(1)求动点 P ( x, y ) 所在区域的面积; (2)当 ?1 ? a ? 2 时,求 z ? y ? ax 的最值. 20. (本小题 14 分) 已知圆 M 的圆心在直线 y ? x 上, 且与直线 2 x ? y ? 2 ? 0 相切于点 P (1,0) , (1)求圆 M 的标准方程; (2)若圆 M 与圆 N: ( x ? 2m)2 ? ( y ? n)2 ? n2 ? 1 交于 A,B 两点,且这两点平分圆 M 的圆周,求 圆 N 的半径的最小值及此时圆 N 的方程. 21. (本小题 15 分)已知定点 A (0, 3) ,点 B 在圆 F:x2 ? ( y ? 3)2 ? 16 上运动, F 为圆心, 线段 AB 的垂直平分线交 BF 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; 1 (2)若曲线 Q: x 2 ? 2ax ? y 2 ? a 2 ? 被轨 4 迹 E 包围着,求实数 a 的最小值; (3)已知 Q(2,0) ,求︱PQ︱的最大值. 22. (本小题 15 分)已知椭圆 C:
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于 A,B 两点. a 2 b2

(1)当椭圆的焦距为 2,且 a 2 , b2 , c2 成等差数列时,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度; (3)若椭圆 C 的离心率 e 满足: 轴的取值范围.
5 3 ,且以 AB 为直径的圆过坐标原点,求椭圆 C 的长 ?e? 5 3

金兰合作组织 2013 学年第一学期高二期中数学答题卷
(本次考试不得使用计算器) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. ; ; ; 12. 14. 16. ; ; ;

考号



13. 15.

线

17.

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.( 本小题 14 分)

19. (本小题 14 分)

20. (本小题 14 分)

21. (本小题 15 分)

22. (本小题 15 分)

金兰合作组织 2013 学年(上)高二期中数学试题答案
1-10 CBDCD 11.(-2,2) 16.
x2 y 2 ? ?1 8 4

DADBC 12.[8,10] 17.(16,21) 13. 2 14.2 15. 4(2 ? 3)

18. (1)

x y 设所求直线的方程为 ? ? 1,即2 x ? y ? 2a ? 0 a 2a 因为直线l过点P(1, 2) 所以2 ?1+2-2a ? 0 即a ? 2 所以所求直线的方程为2x+y-4=0
(2)

3?

6? 7?

设所求直线的方程为y ? 2 ? k ( x ? 1) 由题意可知k ? 0 令x ? 0, 则y ? 2 ? k ; 令y ? 0, 则x ? 1 ? 2 k 8?

2 所以A(1 ? , 0), B(0, 2 ? k ) 10? k 2 4 2 2 PA ? PB ? [(? ) 2 ? 4] ? [1 ? (? k ) 2 ] ? 8 ? 4k 2 ? 2 k k ? 8 ? 2 4k 2 ?

12?

4 ? 16 k2 4 当且仅当4k 2 ? 2 , 即k ? ?1时取等号 k 所以 PA ? PB 的最小值是4时,直线的方程为x ? y ? 3 ? 0
19.(1)画出可行域,设可行域的三个顶点分别为 A、B、C,直线

14?

x ? 2 y ? 1 ? 0与y轴 的交点为 D,如图,







A(-1,0),B(0,2),C(1,1),D(0,

1 ),……………… 4? 2

则点 P 所在区域的面积为
1 BD ? ( x A ? xc ) 2 1 1 3 ? (2 ? )(1 ? 1) ? 2 2 2 S
ABC

?

7?

(2)
z ? y ? ax,即y ? ax ? z (?1 ? a ? 2), 直线与y轴交点的纵坐标为z 点B(0, 2)处,zmax ? 2 10? 1 当 ? 1 ? a ? 时,点A(?1, 0)处,zmin ? a; 2 1 当 ? a ? 2时,点C (1,1)出,zmin ? 1 ? a. 2 12? 14? 8?

20.(1)
a 设圆心M (a, a), 有题意得: ? ( ?2) ? ?1, 解得a ? ?1 a ?1 所以圆M 圆心(-1,-1),半径r1 = 22 ? 1 ? 5 圆M 的标准方程为( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 7? 4?

(2)

圆N的圆心N (2m, n), 半径r2 ? n 2 ? 1 由平面几何知识,得: AN ? AM ? MN 所以n 2 ? 1 ? 5 ? (2m ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 1 5 5 即n ? ?2m ? 2m ? 3 ? ?2(m ? ) 2 ? ? ? 2 2 2 5 29 1 当n ? ? 时,r2的最小值为 ,m ? ? 2 2 2 5 29 此时圆N的方程为( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 4
21.(1) 由题意,得 PF ? PA ? PF ? PB ? FB ? 4
2 2 2

9? 11?

14
2? 4?

所以动点P的轨迹是以点A, F为焦点的椭圆 其中c= 3, 2a ? 4即a ? 2, 所以b ? 1 故轨迹E的方程为x 2 ?
(2)

y ?1 4

2

5?

1 曲线Q是以(a,0)为圆心,半径是 的圆, 6? 2 1 ? 1 ? ? y? ? ? 2 设M(x,y)是此曲线上任意一点,则有 ? 2 7? ?a ? 1 ? x ? a ? 1 ? ? 2 2 1 1 1 1 因为曲线Q被轨迹E包围着,所以 ? 1 ? a ? ? a ? ? 1, ? ? a ? 2 2 2 2 1 所以a的最小值是 ? 10? 2
(3) 设P( x, y ), 则有y 2 ? 4(1 ? x 2 ), x ? [ ?1,1]
PQ =( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? 4(1 ? x 2 ) ? ?3 x 2 ? 4 x ? 8 2 28 ? ?3( x ? ) 2 ? , x ? [?1,1] 3 3 2 28 2 21 2 当x ? ? 时, PQ max = , PQ max = 3 3 3 22.(1) 13? 15?
2

由题意可知,2c=2,c=1且有2b2 ? a 2 ? c 2 ,因为a 2 ? b2 ? c 2 , 所以b 2 =2,a 2 ? 3 故椭圆C的方程是 x2 y 2 ? ?1 3 2 3?

(2)

? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立 ? 3 消去y, 得: 5x2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? x ? y ? 1 ? 0, ? 6 3 则有x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 5? 5 5 所以 AB ? 2 x1 ? x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8 3 5 7?

? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立 ? a 2 b2 消去y, 得: (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 (3) ? x ? y ? 1 ? 0, ?

由? ? 4a 2b 2 (a 2 ? b 2 ? 1) ? 0, 得a 2 ? b 2 ? 1 且有x1 ? x2 ?
2 2 2 2

8?

2a a (1 ? b ) , x1 x2 ? 2 2 9? 2 a ?b a ?b 因为以AB为直径的圆经过坐标原点所以OA ? OB ? 0, 即x1 x2 +y1 y2 =0 因为y1 y2 ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ), 所以2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 a2 即a ? b ? 2a b ? 0, 故b = 2 11? 2a ? 1 1 把上式代入a 2 ? b 2 ? 1,得a 2 ? 12? 2 c2 a 2 ? b2 1 由e 2 ? 2 ? , 得b 2 ? a 2 ? a 2 e 2,所以2a 2 =1+ 2 a a 1 ? e2 5 3 9 5 由 ?e? ,得 ? a 2 ? , 14? 5 3 8 4 3 2 故有 ? 2a ? 5 15? 2
2 2 2 2 2

10?

13?


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