当前位置:首页 >> 数学 >>

球的体积新


汪博 数学与信息科学学院

汪博 数学与信息科学学院

与半球相似的几何体体积对比
h ? R h h R

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 2 ?R ? h 3

?R ? h

>2

高等于底面半径的几何体体积对比
R ? R R R R

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3

?R

3

高等于底面半径的几何体体积对比
R ?

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3



3 3 ?R 3

高等于底面半径的几何体体积对比
R ?

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3

2 3 ?R 3

3 3 ?R 3

圆面积公式的推导方法

我们把一个半径为R的圆分成若干等分,然后 如上图重 新拼接起来,这个圆就近似的看成若干 个等腰三角形的面积之和.当所分份数不断增加时, 这个图形也便越接近于等腰三角形,它的底近似 2?R 等于 ,高近似等于圆的半径R。最后运用极 n 2 ? 限思想便可得到圆的准确面积 . R

求圆的面积公式时用到的方法
分割 求近似和 化为准确和

下面我们就运用上述思想方法导出半球的 体积公式.
先把半球分割成n部分,再求出每一部 分的近似体积,并将这些近似值相加,得 到半球的近似体积,最后考虑n变为无穷 大的情形,由半球的近似体积得到半球的 准确体积.

A

用一组平行于底面 的平面把半球均匀 的切割成n层.

O

切成四片

切成八片

切片的对比

每一个切片都可以近似的看成是一个圆柱体.
切的片数越多,薄圆片便越接近于圆柱体, 所以它的体积也近似于相应的圆柱体的体积.

A C3 C2 O

B3 B2 B1

A O1 O
R (i ? 1) n

ri

B

R

O
第 i 层“小圆片”下地面的半径:
ri ? R? ? R ? ?? i ? 1? ? , i ? 1, 2,? , n n? ?
2 2

2 ? R ?R ? i ?1? ? 2 V ? ? ri ? ? ?1 ? ? ? ? , i ? 1, 2,? , n n n ? ? n ? ? ? ? 3

V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn
12 ? 22 ? ? ? ( n ? 1)2 ? [n ? ] 2 n n 【注】自然数平方和公式:
12+22+32+·· 2= ·+n

? R3

n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

R ? R3 i ?1 2 2 Vi ? ? ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1, 2? , n n n n

V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn
12 ? 22 ? ? ? ( n ? 1)2 ? [n ? ] 2 n n

? R3

? R3 1 n ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ? [n ? 2 ? ] n n 6
( n ? 1)(2n ? 1) ? ? R [1 ? ] 2 6n
3

V半球

1 2 ( ? 1)( ? 1) n ? ? R 3 [1 ? n ] 6

1 当n ? ?时, ? 0 n
2 3 ?V半球 ? ? R 3 4 ?V ? ? R 3 3

4 3 定理:半径为R的球的体积为V ? ? R 3

例1.有一种空心钢球,质量为142g,测 得外直径等于5.0cm,求它的内径(钢的密 度为7.9g/cm3,精确到0.1cm)。
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 4 5 3 4 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ?x 3 ] ? 142 3 2 3
x
3

5 3 142 ? 3 ?( ) ? ? 11.3 2 7.9 ? 4?

x ? 2.24
2 x ? 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.

一、球的体积公式的推导方法:
切割→求近似和→化为准确和
4 二、球的体积公式 V ? ?R 3 3

书后习题: P78 : T5、6、7、8


相关文章:
球的体积公式
球的体积公式_初一数学_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档球的体积公式_初一数学_数学_初中教育_教育专区。...
球的体积
(2)会用球的体积公式 V = 4 π R3 解决有关问题 3 新疆 王新敞奎屯 能力目标: 能力目标: 通过对球的体积的探求,提高学生分析,综合,抽象概括等逻辑推理...
球的体积
球的体积尊敬的各位评委、老师大家好!今天我说课的内容是人教 B 版数学第二册·下第九章 第 10 节《球》.新课标指出,学生是教学的主体,教师的教应本着从学生...
球的体积
球的体积新 19页 2财富值 球的体积2 24页 1财富值 球的体积公式 1页 2财富值 球的体积和表面积 27页 免费 6 球的体积 11页 1财富值 球的体积课件 23...
...变为一个新球,那么新球的体积扩大到原来的λ倍,则( ...
单选题 数学 球的体积和表面积 如果把一个球的表面积扩大到原来的2倍,变为一个新球,那么新球的体积扩大到原来的λ倍,则( ) Aλ∈(0,1) Bλ∈(1,...
球体的表面积体积
2.会用球的表面积和体积公式进行计算 球的表面积与体积的计算. 课型 ( 新) 课教目教重教难 题学标学点学点 球体的表面积与体积 1.掌握球的表面积和体积...
1.3.2球的体积和表必修2
世纪金榜 圆您梦想 更多精品资源请登录 www.jb1000.com 2015-2016 学年高中数学 1.3.2 球的体积和表面积双基限时练 新人教 A 版 必修 2 1.若球的大圆...
球的体积
球的体积新 19页 2财富值 球的体积2 24页 1财富值 球的体积公式 1页 2财富值 球的体积和表面积 27页 免费 6 球的体积 11页 1财富值 球的体积课件 23...
球的体积和表面积教学设计
4 3 ? R 和球的表面积公式 S ? 4? R2 解决有关问题 3 王新敞奎屯 新疆 能力目标: 通过对球的体积和表面积公式的探求,提高学生分析、综合、抽象概括等...
数学:1.3.2《球的体积和表面积》教案(新人教A版必修2)
数学:1.3.2《球的体积和表面积》教案(新人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。第三课时 1.3.2 球的体积和表面积 教学要求:了解球的表面积和体积计算公式...
更多相关标签:
球的体积公式 | 球的体积 | 外接球的体积的公式 | 球的表面积和体积公式 | 地球的体积 | 球的体积公式推导 | 8个体积相同的小球 | 圆球的体积计算公式 |