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球的体积新


汪博 数学与信息科学学院

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与半球相似的几何体体积对比
h ? R h h R

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 2 ?R ? h 3

?R ? h

>2

高等于底面半径的几何体体积对比
R ? R R R R

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3

?R

3

高等于底面半径的几何体体积对比
R ?

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3



3 3 ?R 3

高等于底面半径的几何体体积对比
R ?

几何体 体 积

圆 锥

半 球

圆 柱

1 3 ?R 3

2 3 ?R 3

3 3 ?R 3

圆面积公式的推导方法

我们把一个半径为R的圆分成若干等分,然后 如上图重 新拼接起来,这个圆就近似的看成若干 个等腰三角形的面积之和.当所分份数不断增加时, 这个图形也便越接近于等腰三角形,它的底近似 2?R 等于 ,高近似等于圆的半径R。最后运用极 n 2 ? 限思想便可得到圆的准确面积 . R

求圆的面积公式时用到的方法
分割 求近似和 化为准确和

下面我们就运用上述思想方法导出半球的 体积公式.
先把半球分割成n部分,再求出每一部 分的近似体积,并将这些近似值相加,得 到半球的近似体积,最后考虑n变为无穷 大的情形,由半球的近似体积得到半球的 准确体积.

A

用一组平行于底面 的平面把半球均匀 的切割成n层.

O

切成四片

切成八片

切片的对比

每一个切片都可以近似的看成是一个圆柱体.
切的片数越多,薄圆片便越接近于圆柱体, 所以它的体积也近似于相应的圆柱体的体积.

A C3 C2 O

B3 B2 B1

A O1 O
R (i ? 1) n

ri

B

R

O
第 i 层“小圆片”下地面的半径:
ri ? R? ? R ? ?? i ? 1? ? , i ? 1, 2,? , n n? ?
2 2

2 ? R ?R ? i ?1? ? 2 V ? ? ri ? ? ?1 ? ? ? ? , i ? 1, 2,? , n n n ? ? n ? ? ? ? 3

V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn
12 ? 22 ? ? ? ( n ? 1)2 ? [n ? ] 2 n n 【注】自然数平方和公式:
12+22+32+·· 2= ·+n

? R3

n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6

R ? R3 i ?1 2 2 Vi ? ? ri ? ? [1 ? ( ) ], i ? 1, 2? , n n n n

V半球 ? V1 ? V2 ? ? ? Vn
12 ? 22 ? ? ? ( n ? 1)2 ? [n ? ] 2 n n

? R3

? R3 1 n ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ? [n ? 2 ? ] n n 6
( n ? 1)(2n ? 1) ? ? R [1 ? ] 2 6n
3

V半球

1 2 ( ? 1)( ? 1) n ? ? R 3 [1 ? n ] 6

1 当n ? ?时, ? 0 n
2 3 ?V半球 ? ? R 3 4 ?V ? ? R 3 3

4 3 定理:半径为R的球的体积为V ? ? R 3

例1.有一种空心钢球,质量为142g,测 得外直径等于5.0cm,求它的内径(钢的密 度为7.9g/cm3,精确到0.1cm)。
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是 4 5 3 4 7.9 ? [ ? ? ( ) ? ?x 3 ] ? 142 3 2 3
x
3

5 3 142 ? 3 ?( ) ? ? 11.3 2 7.9 ? 4?

x ? 2.24
2 x ? 4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.

一、球的体积公式的推导方法:
切割→求近似和→化为准确和
4 二、球的体积公式 V ? ?R 3 3

书后习题: P78 : T5、6、7、8


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