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【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破第1部分 专题二 第4讲 高考中的三角函数解答题型理


《创新方案》2014 届高考数学(理科)二轮专题突破预测演练提能训 练(浙江专版) :第 1 部分 专题二 第 4 讲 高考中的三角函数解答题 型(以 2013 年真题和模拟题为例,含答案解析)
1? ? 1.已知向量 a=?cos x,- ?,b=( 3sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a·b. 2? ? (1)求 f(x)的最小正周期;

>
? π? (2)求 f(x)在?0, ?上的最大值和最小值. 2? ?
1? ? 解:f(x)=?cos x,- ?·( 3sin x,cos 2x) 2? ? 1 = 3cos xsin x- cos 2x 2 = 3 1 sin 2x- cos 2x 2 2

π π =cos sin 2x-sin cos 2x 6 6 π? ? =sin?2x- ?. 6? ? (1)f( x)的最小正周期为 T= 2π 2π = =π , ω 2

即函数 f(x)的最小正周期为 π . π π π 5π (2) ∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 π π π 由正弦函数的性质,知当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1; 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π 5π π ?π ? 1 当 2x- = ,即 x= 时,f? ?= , 6 6 2 ?2? 2 1 ∴ f(x)的最小值为- . 2 1 ? π? 因此,f(x )在?0, ?上的最大值是 1,最小值是- . 2? 2 ? 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A=3csin B ,a=3 , 2 cos B= . 3

1

(1)求 b 的值; π? ? (2)求 sin?2B- ?的值. 3? ? 解:(1)在 △ABC 中,由 = ,可得 bsin A=asin B,又由 bsin A=3csin B, sin A sin B 可得 a=3c,又 a=3,故 c= 1. 2 2 2 2 由 b =a +c -2accos B,cos B= ,可得 b= 6. 3 2 5 1 2 (2)由 cos B= ,得 sin B= ,从而得 cos 2B=2cos B-1=- ,sin 2B=2sin Bcos 3 3 9

a

b

B=

4 5 . 9 π? π π 4 5+ 3 ? 所以 sin?2B- ?=sin 2Bcos -cos 2Bsin = . 3? 3 3 18 ? 3.(2013·济南模拟)已知 m=(2cos x+2 3sin x,1),n=(cos x,-y),且 m⊥n. (1)将 y 表示为 x 的函数 f(x),并求 f(x)的单调递增区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f? ?=3, 且 a=2, ?2?

?A?

b+c=4,求△ABC 的面积.
解:(1)由 m⊥n 得 m·n=0,即 2cos x+2 3sin xcos x-y=0, π? ? 2 所以 y=2cos x+2 3sin xcos x=cos 2x+ 3sin 2x+1=2sin?2x+ ?+1. 6? ? π π π 令- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π 则- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 3 6 π ? π ? 故 f(x)的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 6 ? 3 ? π π ?A? ? π? ? π? (2)因为 f? ?=3,所以 2sin?A+ ?+1=3,sin?A+ ?=1,所以 A+ =2kπ + ,k 6? 6? 6 2 ?2? ? ? ∈Z. π 因为 0<A<π ,所以 A= . 3 由余弦定理得 :a =b +c -2bccos A,即 4=b +c -bc, 所以 4=(b+c) -3bc, 因为 b+c=4,所以 bc=4.
2 2 2 2 2 2 2

2

1 所以 S△ABC= bcsin A= 3. 2 π? ω x+φ ω x+φ 2ω x+φ ? 4.已知函数 f(x)= 3sin cos +sin ?ω >0,0<φ < 2 ?,其图像 2 2 2 ? ? π ?π ? 的两个相邻对称中心的距离为 ,且过点? ,1?. 2 ?3 ? (1)求函数 f(x)的表达式; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= 5,S△ABC=2 5,角 C 为锐角,

?C π ? 7 且满足 f? - ?= ,求 c 的值. ?2 12? 6
解:(1)f(x)= π? 1 3 1 ? sin(ω x+φ )+ [1-cos(ω x+φ )]=sin?ω x+φ - ?+ , 6? 2 2 2 ?

π ∵两个相邻对称中心的距离为 ,∴最小正周期 T=π , 2 ∴ 2π =π ,∵ω >0,∴ω =2. |ω |

?π ? 又 f(x)过点? ,1?, ?3 ?
∴sin?

?2π -π +φ ?+1=1,即 sin?π +φ ?=1, ? 2 ?2 ? 2 6 ? 3 ? ? ?

1 ∴cos φ = . 2 π π ∵0<φ < ,∴φ = , 2 3 π? 1 ? ∴f(x)=s in?2x+ ?+ . 6? 2 ? 1 7 ?C π ? ? π π? 1 (2)f? - ?=sin?C- + ?+ =sin C+ = , 6 6? 2 2 6 ?2 12? ? 2 故 sin C= . 3 π 5 ∵0<C< ,∴cos C= . 2 3 1 1 2 又 a= 5,S△ABC= absin C= × 5×b× =2 5, 2 2 3 ∴b=6. 由余弦定理得 c =a +b -2abcos C=21, ∴c= 21.
2 2 2

3

4


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