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2014年高三一轮复习专题 九 三角函数概念、图像性质(1)


2014 年高三一轮复习专题 九

三角函数概念、图像性质(1)

【考纲要求】
1.考查三角函数的定义及应用.1.任意角 (1)角的概念的推广(2)终边相同的角 (3)弧 度制,扇形面积公式:____________任意角的三角函数定义三角函数线 2.考查三角函数值符号的确定.三角函数值在各象限的符号规律概括为:_____________ 两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点, |OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角,第一类 是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必 须一致,不可混用. (3)注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. 考向一 角的集合表示及象限角的判定

【例 1】? (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α 、 所在的象限. 2 【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( ).

A.α =-β B.α =180°+β C.α =k?360°+β (k∈Z)D.α =k?360°±180°+β (k ∈Z) 考向二 三角函数的定义 2 m,试判断角 θ 所在 4

【例 2】? 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ = 的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

【训练 2】 (2011?课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( 4 A.- 5 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5 考向三 弧度制的应用 ).

【例 3】? 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小;

(2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 考向四 三角函数线及其应用

【例 4】? 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: (1)sin α ≥ 3 1 ; (2)cos α ≤- . 2 2

【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin x).
2

规范解答 7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义:设 α 是任意角,其终边上任一点 P(不与原点重合)的坐标 y x y 2 2 为(x,y),它到原点的距离是 r(r= x +y >0),则 sin α = 、cos α = 、tan α = 分 r r x 别是 α 的正弦、余弦、正切,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,这样的函 数称为三角函数,这里 x,y 的符号由 α 终边所在象限确定,r 的符号始终为正,应用定义 法解题时,要注意符号,防止出现错误.三角函数的定义在解决问题中应用广泛,并且有时 可以简化解题过程. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011?龙岩月考)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0), 且 cos α = 3 x,求 sin α 、tan α 的值. 6

4 【试一试】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α +cos α + tan α . 5 3.考查同角三角函数的基本关系式. 4.考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. 一个口诀______________________________________________________ 三种方法在求值与化简时,常用方法有: (1)弦切互化法:____________________________________________ (2)和积转换法:____________________________________________ (3)巧用“1”的变换:_____________________________________________ 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,其步骤:去__-脱____-化_____. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断____________. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 考向一 利用诱导公式化简、求值

sin?π-α?cos?2π-α? ?31π? 【例 1】?已知 f(α)= ,求 f? ?. π ? ? 3 ? sin?2+α tan?π+α?

?

?

【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. ?11π-α?sin?9π+α? cos? ? ?2 ? ? 2 ? ? ? 考向二 同角三角函数关系的应用 【例 2】?(2011· 长沙调研)已知 tan α=2. 2sin α-3cos α 求:(1) ; 4sin α-9cos α (2)4sin α-3sin αcos α-5cos α. sin α+3cos α 2 【训练 2】 已知 =5.则 sin α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α 考向三 三角形中的诱导公式 【例 3】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内 角. 【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A)=- 2sin(π- B)”其余条件不变,求△ABC 的三个内角.
2 2

π cos?2+α?sin?-π-α?

?

?

5.考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用. 6.考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值 域、求单调区间等问题中的应用. 1.“五点法”描图 2.三角函数的图象和性质 两条性质(1)周期性(2)奇偶性 三种方法求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围, 根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最 值)问题. 双基自测

π? ? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos?x+3?,x∈R( ? ?

).

A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶 函数 ?π ? 2.函数 y=tan?4-x?的定义域为( ? ? ? ? π A.?x?x≠kπ-4 ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+4 ? ? ? ,k∈Z? ? ? ,k∈Z? ? ). ? ? π B.?x?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? π D.?x?x≠2kπ+4 ? ? ? ? ?

? ,k∈Z? ?

π? ? 3.(2011· 全国新课标)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2? ? ? 的最小正周期为 π,且 f(-x)=f(x),则( ).

π? ?π 3π? ? A.f(x)在?0,2?单调递减 B.f(x)在? , ?单调递减 ? ? ?4 4 ? π? ?π 3π? ? C.f(x)在?0,2?单调递增 D.f(x)在? , ?单调递增 ? ? ?4 4 ? π? ? 4.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ? ? A.(-π,0) ? 3π ? ?3π ? B.?- ,0?C.? ,0? ? 4 ? ?2 ? ).

?π ? D.?2,0? ? ?

π? ? 5.(2011· 合肥三模)函数 f(x)=cos?2x+6?的最小正周期为________. ? ? 考向一 三角函数的定义域与值域 【例 1】?(1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域. π? ? (2)求函数 y=cos2x+sin x?|x|≤4?的最大值与最小值. ? ? 【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域. π? π? π? ? ? ? (2)已知函数 f(x)=cos ?2x-3? +2sin ?x-4? · ?x+4? ,求函数 f(x)在区间 sin ? ? ? ? ? ? ? π π? ?-12,2?上的最大值与最小值. ? ? 考向二 三角函数的奇偶性与周期性

π? 2? 【例 2】?(2011· 大同模拟)函数 y=2cos ?x-4?-1 是( ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2

).

B.最小正周期为 π 的偶函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2

【训练 2】 已知函数 f(x)=(sin x-cos x)sin x,x∈R,则 f(x)的最小正周 期是________ 考向三 三角函数的单调性 ?π ? 【例 3】?已知 f(x)=sin x+sin?2-x?,x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. ? ? π? ? 【训练 3】 函数 f(x)=sin?-2x+3?的单调减区间为______. ? ? 考向四 三角函数的对称性 π? ? 【例 4】?(1)函数 y=cos?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ? ? A.x=- π π B.x=- 6 12 π π C.x= D.x= 6 12 ).

π π ? ? (2)若 0<α< ,g(x)=sin?2x+4+α?是偶函数,则 α 的值为________. 2 ? ? π? π ? 【训练 4】 (1)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x= ,则 φ= 12 ? ? ________. (2)函数 y=cos(3x+φ)的图象关于原点成中心对称图形.则 φ=________. 难点突破 9——利用三角函数的性质求解参数问题 含有参数的三角函数问题,一般属于逆向型思维问题,难度相对较大一些.正确 利用三角函数的性质解答此类问题, 是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的, 解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合. 下面就利用三角函数性质求解参 数问题进行策略性的分类解析. 一、根据三角函数的单调性求解参数 π? ? 【示例】? (2011· 镇江三校模拟)已知函数 f(x)=sin?ωx+3?(ω>0)的单调递增 ? ? 5π 7π? π? π ? ? 区间为?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z),单调递减区间为?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z),则 12 12? 12 12? ? ?

ω 的值为________. 二、根据三角函数的奇偶性求解参数 【示例】? (2011· 泉州模拟)已知 f(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ)为偶函 数,则 φ 可以取的一个值为( π π π π A. B. C.- D.- 6 3 6 3 ▲根据三角函数的周期性求解参数(教师备选) π? ? 【示例】? (2011· 合肥模拟)若函数 y=sin ωx· ?ωx+2?(ω>0)的最小正周期 sin ? ? π 为 ,则 ω=________. 7 ▲根据三角函数的最值求参数(教师备选) π 【示例】? (2011· 洛阳模拟)若函数 f(x)=asin x-bcos x 在 x= 处有最小值- 3 2,则常数 a、b 的值是( A.a=-1,b= 3 C.a= 3,b=-1 ). B.a=1,b=- 3 D.a=- 3,b=1 ).

7.考查正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象变换. 8.结合三角恒等变换考查 y ? A sin(?x ? ? ) 的性质及简单应用. 9.考查 y ? sin x 到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的两种变换途径.

双基自测
π? ? 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin?2x- ? 的振幅、频率和初相分别为( 4? ? 1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8 B.2, D.2, 1 π ,- 2π 4 1 π ,- 2π 8 ).

π? ? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ω x+φ )?|φ |< ?的部分图象如图所示,则该简谐运动的最 2? ? 小正周期 T 和初相 φ 分别为( ).

π A.T=6π ,φ = 6 π C.T=6,φ = 6

π B.T=6π ,φ = 3 π D.T=6,φ = 3

π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的 2 解析式应为( ).

A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x π? 4π ? 4.设 ω >0,函数 y=sin?ω x+ ?+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 3? 3 ? 的最小值是( 2 4 A. B. 3 3 3 C. 2 ). D.3

5.(2011?重庆六校联考)已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0)的图象如图所示,则 ω = ________.

考向一

作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

π ? ? ?π ? 【例 1】 设函数 f(x)=cos(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0?的最小正周期为 π , f? ?= ? 且 2 ? ? ?4? 3 . 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象.

?1 π ? 【训练 1】 已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象?

考向二

求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】? (2011?江苏)函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0)的部 分图象如图所示,则 f(0)的值是________.

π 【训练 2】已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0, |< , >0)的图象的一部分如图所示. |φ ω 2

(1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

考向三

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用

【例 3】? (2012?西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ),x∈R(其中 A>0,ω >0,0< π π φ < )的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上的一个最低点为 2 2 M?

?2π ,-2?. ? ? 3 ? ?π ,π ?时,求 f(x)的值域. ? ?12 2 ?

(1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈?

【训练 3】 (2011?南京模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象过点 P?

?π ,0?,图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q?π ,5?. ? ?3 ? ?12 ? ? ?

(1)求函数的解析式; (2)求函数 f(x)的递增区间.

规范解答 8——怎样求解三角函数的最值问题
【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求解中,一定要注意其定义域, 否则容易产生错误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值);②根据三角函数的值域(或最值)求相关 的参数;③三角函数的值域(或最值)作为工具解决其他与范围相关的问题. 5 3 ? π? 【试一试】 是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acos x+8a-2在闭区间 0, 2 上的最

?

?

? π? 【示例】? (本题满分 12 分)(2011?北京)已知函数 f(x)=4cos xsin ?x+ ?-1. 6 ? ? ? π π? (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 6 4?


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