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2015高考数学(理)一轮题组训练:13-2古典概型


第2讲

古典概型

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是 红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为________. 解析
2 2 基本事件总数为 C2 12,事件包含的基本事件数为 C6-C3,故所求的概

2 C2 2 6-C3 率为 P= C2 =11. 12

答案

2 11

2.一名同学先后投掷一枚骰子两次,第一次向上的点数记为 x,第二次向上的 点数记为 y,在直角坐标系 xOy 中,以(x,y)为坐标的点落在直线 2x+y=8 上的概率为________. 解析 依题意,以(x,y)为坐标的点共 6×6=36 个,其中落在直线 2x+y=8

3 1 上的点有(1,6),(2,4),(3,2),共 3 个,故所求事件的概率 P=36=12. 答案 1 12

3.(2014· 杭州模拟)从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个,其 个位数为 0 的概率是________. 解析 (1)当个位为奇数时,有 5×4=20(个)符合条件的两位数.

(2)当个位为偶数时,有 5×5=25(个)符合条件的两位数. 因此共有 20+25=45(个)符合条件的两位数,其中个位数为 0 的两位数有 5 5 1 个,所以所求概率为 P=45=9. 答案 1 9

4.甲、乙两人一起到阿里山参观旅游,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点 中任选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后 1 小时他们同在一个景
1

点的概率是________. 解析
4 4 甲、乙两人任选 4 个景点游览,共有 A6 · A6种游览方案,又甲、乙最 3 3 C1 A5 · A5种可能.∴所求事件的概率 6· 3 3 C1 A5 · A5 1 6· P= A4· 4 = . A 6 6 6

后 1 小时在同一景点有 答案 1 6

5.(2014· 济南质检)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择 其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________. 解析
2 2 三位同学每人选择三项中的两项有 C2 3C3C3=3×3×3=27 种选法,其

2 1 中有且仅有两人所选项目完全相同的有 C2 ∴所 3C3C2=3×3×2=18(种)选法.

18 2 求概率为 P=27=3. 答案 2 3

6.盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球,其中红色球 3 个,黄色球 2 个.若 从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于________. 解析 从 5 个球中任取 2 个球有 C2 5=10(种)取法,2 个球颜色不同的取法有

6 3 1 C1 3C2=6(种).故所求事件的概率 P= = . 10 5 答案 3 5

nπ 7.在集合{x|x= 6 ,n=1,2,3,?,10}中任取一个元素,所取元素恰好满足方程 1 cos x=2的概率是________. 解析 1 基本事件总数为 10,满足方程 cos x=2的基本事件数为 2,故所求概

2 1 率为 P=10=5. 答案 1 5

x2 y2 8.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为 a,b,则双曲线a2-b2=1 的离心 率 e> 5的概率是________.

2

解析

由 e=

b2 1+a2> 5,得 b>2a,当 a=1 时,b=3,4,5,6 四种情况;当

a=2 时,b=5,6 两种情况,总共有 6 种情况.又同时掷两颗骰子,得到的点 6 1 数(a,b)共有 36 种结果.∴所求事件的概率 P=36=6. 答案 1 6

二、解答题 9.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,求选出的 2 名教师性别相同的 概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名, 求选出的 2 名老师来自同一学校的概率. 解
1 1 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选 1 名,共有 n=C3 ×C3 =9 种选法.

记“2 名教师性别相同”为事件 A,则事件 A 包含基本事件总数 m=C1 1+ 2· m 4 C1 1=4,∴P(A)= n =9. 2·
2 (2)从报名的 6 人中任选 2 名,有 n=C6 =15 种选法.

记“选出的 2 名老师来自同一学校”为事件 B,则事件 B 包含基本事件总数 m=2C2 3=6. 6 2 ∴选出 2 名教师来自同一学校的概率 P(B)=15=5. 10.(2014· 郑州质检)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽 样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, 求抽到小学、 中学各一所的概率. 解 (1)由分层抽样定义知, 21 =3; 21+14+7 14 =2; 21+14+7 7 =1. 21+14+7
3

从小学中抽取的学校数目为 6× 从中学中抽取的学校数目为 6× 从大学中抽取的学校数目为 6×

故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)记“抽到小学、中学各一所”为事件 A, 则事件 A 共有基本事件 m=C1 C1 3· 2=6(种)抽法, 又从 6 所学校任抽取 2 所有 n=C2 6=15 种抽法. m 6 2 因此,所求事件的概率 P= n =15=5. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、填空题 1.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与向量 b= π? ? (1,-1)的夹角为 θ.则 θ∈?0,2?的概率是________. ? ? 解析 ∵cos θ= m-n π? ? ,θ∈?0,2?, 2 2 ? ? m +n · 2

6 1 ∴m≥n 满足条件,m=n 的概率为36=6. 1 5 5 m>n 的概率为2×6=12. π? 1 5 7 ? ∴θ∈?0,2?的概率为6+12=12. ? ? 答案 7 12

2.(2014· 合肥模拟)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上,则同一科目的书都不相 邻的概率是________. 解析
2 第一步先排语文书有 A2 =2(种)排法.第二步排物理书,分成两类.一

类是物理书放在语文书之间,有 1 种排法,这时数学书可从 4 个空中选两个
2 进行排列,有 A4 =12(种)排法;一类是物理书不放在语文书之间有 2 种排法,

再选一本数学书放在语文书之间有 2 种排法,另一本有 3 种排法.因此同一 科目的书都不相邻共有 2×(12+2×2×3)=48(种)排法, 而 5 本书全排列共有
5 A5 =120(种),

4

48 2 所以同一科目的书都不相邻的概率是120=5. 答案 2 5

3.某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门 艺术课各 1 节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概 率为________(用数字作答). 解析 法一
6 6 节课的全排列为 A6 种,相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺

2 2 2 术课的排法是:先排三节文化课,再利用插空法排艺术课,即为(A3 3C3A2A2+ 3 3 2A3 A3)种,由古典概型概率公式得 2 2 2 3 3 A3 3C3A2A2+2A3A3 1 P(A)= =5. 6 A6

法二

6 6 节课的全排列为 A6 种,先排三节艺术课有 A3 3种不同方法,同时产生

3 四个空,再利用插空法排文化课共有 A4 种不同方法,故由古典概型概率公式 3 A3 3A4 1 得 P(A)= A6 =5. 6

答案

1 5

二、解答题 4.现有 8 名 2012 年伦敦奥运会志愿者,其中志愿者 A1,A2,A3 通晓日语,B1, B2,B3 通晓俄语,C1,C2 通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿 者各 1 名,组成一个小组. (1)求 A1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率. 解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名,其一切可能的结果组

1 1 成的基本事件共有 C1 3C3C2=18 个,

由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能 的.
1 1 记“A1 恰被选中”为事件 M,则 M 发生共有 C3 C2=6 个基本事件.

6 1 因而 P(M)=18=3. (2)用 N 表示“B1,C1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 N 表示“B1, C1 全被选中”这一事件,由于 N 包含(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,
5

3 1 C1)3 个结果,事件 N 有 3 个基本事件组成,所以 P( N )=18=6,由对立事 1 5 件的概率公式得 P(N)=1-P( N )=1-6=6.

6


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