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湖北省黄冈中学2014届高三上学期期末考试 数学文试题


湖北省黄冈中学 2013 年秋季高三数学(文)期末考试
命题:钱程 审稿:曹燕 校对:肖海东 考试时间:2014 年 1 月 20 日下午 14:30—16:30 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟.

★★★ 祝考试顺利 ★★★

第Ⅰ卷(选择题,共50分)

>一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
2 1. 已知集合 A ? x|x ? 5 x ? 6 ? 0 , B ? x | x ? 2 ,则 A ? ?CR B? =(

?

?

?

?



A. ? ?1, 2?

B. ? ?1, 2?

C. ? 2, 6 ?

D. ? 2,6 ? )

2. 已知回归直线的斜率的估计值是 1.2 ,样本点的中心为 ? 4,5? ,则回归直线方程是( A. y ? 1.2 x ? 4
?

B. y ? 1.2 x ? 5

?

C. y ? 1.2 x ? 0.2

?

D. y ? 0.95 x ? 1.2 )

?

3.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, ?2 ? ,且 a ? a ? b ,则实数 x 等于( A. ? 4 B. 4 C. 0 D. 9

?

?

?

?

? ?

?

2 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? n ? ?1 ? t ? ,则“ t ? 1 ”是“数列 ?an ?

为等差数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某空间组合体的三视图如图所示,则该组合体的体积为( ) A.48 B.56 C.64 D.72 6.在如图所示的程序框图中,若输出 S ? 取值范围是( A. ?17,18? ) B. ?17,18? C. ?16,17? D. ?16,17?

第 5 题图

4 ,则判断框 9

内实数 p 的

7.已知函数 f ( x) ? sin( x ? 范围为( A. ? ? 3, 2 ? )

?
3

)?

m 在 ? 0, ? ? 上有两个零点,则实数 m 的取值 2

?

?

B. ? 3, 2

?

?

C.

?

3, 2? ?

D. ? 3, 2 ?

?

?
第 6 题图

8.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直 a 2 b2

线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C ,若 A, B, C 三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为 ( ) B. 5 C. 10 D. 13

A. 3

9.已知 A(2,1) , B(1, ?2) , C ? , ? ? ,动点 P (a, b) 满足 0 ? OP ? OA ? 2 且 0 ? OP ? OB ? 2 ,则点 P 到点 C 的距离大于 A. 1 ?

?3 ?5

1? 5?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

5 ? 64

1 的概率为( 4 5 ? B. 64

) C. 1 ?

?
16

D.

? 16
) D. f ( x2 ) ?

10.设函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则( A. f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4

B. f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4

C. f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4

1 ? 2 ln 2 4

第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请将答案填在 答题卡对应题号的位置上. 11.在复平面内,复数

10i 对应的点的坐标为___________. 3?i

12.统计某学校高三年级某班 40 名学生的数学期末考试成绩,分数均 在 40 至 100 之间,得到的频率分布直方图如图所示.则图中 a 的值为 ___________. 13.若存在 x ? R ,使 x ? a ? x ?1 ? 3 成立,则实数 a 的取值范围是
第 12 题图

___________. 14 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 以 2 为 周 期 的 偶 函 数 , 且 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? lo g ? x , ) 则 1 (1
2

f (?

2011 ) =___________. 4
2 2

15.已知圆的方程为 x ? y ? 6x ? 8 y ? 0 ,设该圆过点 ? 3,5? 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四 边形 ABCD 的面积为___________. 16.钝角三角形的三边长分别为 a, a ? 1, a ? 2 ,其最大角不超过 120 ,则 a 的取值范围是___________.
?

17.如图,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点(算第 层 ) ,第 2 层每边 ..1 . . 有两个点,第 3 层每边有三个点,依次类推.
? (1) 试问第 n 层 n ? N 且n ? 2 的点数为___________个;

?

?

(2) 如果一个六边形点阵共有 169 个点,那么它一共有___________层. 三、解答解:本大题共 5 个小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

第 17 题图

18.设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? ? 2cos x,1? , n ? cos x, 3 sin 2 x , x ? R . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间;

?? ?

??

?

?

?

(2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 f ( A) ? 2, b ? 1 , ?ABC 的面积为 值.

3 ,求 c 的 2

19.设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 4 , S2 ? 3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ?

2 ,令数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .证明: Tn ? 1. log 2 a2 n ? log 2 a2 n?2

20.已知在梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? 6, CD ? 3 , E 为 AB 的中点, F 为 CD 上靠近点 D 的三 等分点,且 EF ? AB , EF ? 2 ,现将梯形沿着 EF 翻折,使得平面 BCFE ? 平面 AEFD ,连接 BD 、 BA 和 CD ,如图所示 (1) 求三棱锥 E ? ABD 的体积; (2) 在 BD 上是否存在一点 P ,使得 CP // 平面 AEFD ?如果存在,求 DP 的长; 如果不存在,请说明理由.

第 20 题图

a , a 为常数. x ?1 9 (1)若 f ( x) ? ln x ? ?( x) ,且 a ? ,求函数 f ( x ) 的单调区间; 2
21.已知函数 ? ( x ) ? (2)若 g ( x) ? ln x ? ?( x) ,且对任意 x1 , x2 ? ? 0, 2? , x1 ? x2 ,都有 求 a 的取值范围.

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 , x2 ? x1

22. 如图, 椭圆 C1 :

3 x2 y 2 ,x 轴 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

被曲线 C2 : y ? x 2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长. (1)求 C1 , C2 的方程; (2) 设 C2 与 y 轴的交点为 M, 过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相 交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E. (i)证明: MA ? MB ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S2 .问:是否存在直线 l ,使得

S1 17 = ?请说明理由. S 2 32

湖北省黄冈中学 2013 年秋季高三数学(文)期末考试参考答案(附评分细则)
一、选择题 序号 答案 二、填空题 11. ? ?1,3? 15. 20 6 12. 0.03
?3 ? 16. ? ,3 ? ?2 ?

1 D

2 C

3 D

4 C 13. ? ?2,4?

5 C

6 C

7 B

8 C

9 A

10 D

14. 2 (2) 8

17.(1) 6 ? n ? 1?

1. A ? ? ?1,6? , B ? ? ?2,2? , CR B ? ? ??, ?2? ??2, ??? ,则 A ? ?CR B ? ? ?2,6? 2.样本点的中心一定在回归直线上 3. a ? b ? ?1 ? x, 4 ? ,由 a ? a ? b 得 1 ? x ? 8 ? 0 ,解得: x ? 9 4.两个条件互为充要条件 5. V ? 1? 4 ? 6 ? 2 ? 4 ? 5 ? 64 6. Sn ?

? ?

?

?

? ?

?

4 1 1 1 1 1 1 ,令 S n ? 得 n ? 16 ? ? ??? ? ? ? ? 9 2 ? 3 3? 4 n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 n ? 2

所以实数 p 的取值范围是 ?16,17? 7.令 f ( x ) ? 0 得 m ? 2sin( x ?

?

) ,即 y ? 2sin( x ? ) 与直线 y ? m 的图像在 ? 0, ? ? 上有两个交点,数 3 3

?

形结合可知 m 的取值范围是 ? 3, 2

?

?

? y ? ?x ? a ? y ? ?x ? a a2 a2 ? ? 8.直线方程为 y ? ? x ? a ,由 ? 解得 xC ? ,由 ? b b 解得 xB ? a?b a ?b y? x y?? x ? ? a a ? ?
? a2 ? a2 c a 2 ? b2 2 a ( a ? b ) ? a ? b b ? 3 a ? a ? 由题意可知: ? 即 得 ,所以 e? ? ? 10 ? ? ? a?b a a ? a ?b ?
9. 动点 P (a, b) 满足的不等式组为 ?
2

?0 ? 2a ? b ? 2 ?3 1? , 画出可行域可知 P 的运动区域为以 C ? , ? ? 为中心 ?5 5? ?0 ? a ? 2b ? 2

且边长为

1 1 2 5 ?3 1? 的正方形, 而点 P 到点 C 的距离小于或等于 的区域是以 C ? , ? ? 为圆心且半径为 的 4 4 5 ?5 5?
2

2 ?2 5? ?1? ? ? ?? ? ? 5 ? ?4? 5 ? ? 1? ? 圆以及圆的内部,所以 P ? 2 64 ?2 5? ? ? ? 5 ?

10. f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,求导得 f ' ( x) ?

2 x2 ? 2 x ? a ,因为 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 , x

1 所以 x1 , x2 是方程 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 的两根,又 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,所以 ? x2 ? 1 2
2 2 又 a ? 2 x2 ? 2 x2 ,所以 f ? x2 ? ? ? x2 ?1? ? ? 2x2 ? 2x2 ? ln x2 ,

2

2 ?1 ? 令 g (t ) ? ?t ?1? ? ? 2t ? 2t 2 ? ln t ? ? t ? 1? , g ' ?t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln t ? 0 ?2 ? 1 ? 2ln2 ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2ln 2 所以 g (t ) 在 ? ,1? 上为增函数,所以 g ?t ? ? g ? ? ? ,所以 f ( x2 ) ? 4 4 ? 2? ?2 ?

11.

10i 10i ? 3 ? i ? ?10 ? 30i ? ? ? ?1 ? 3i ,所以该复数对应点的坐标为 ? ?1,3? 3?i 10 10

12.由 ? 0.005 ? 0.01? 2 ? 0.02 ? 0.025 ? a ? ?10 ? 1解得 a ? 0.03 13.只需 x ? a ? x ? 1

?

?

min

? 3 成立即可,而 x ? a ? x ?1 ? a ?1

所以 a ? 1 ? 3 即 ?3 ? a ? 1 ? 3 解得 ?2 ? a ? 4 14. f ? ?

1 ? 2011 ? ? 2011 ? ? 2011 ? ? 3? ? 502 ? ? f ? ? ? log 1 ? 2 ?? f ? ?? f ? 4 ? ? ? 4 ? ? 4 ? ?4? 2 4
2 2

15.圆的标准方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 25 ,过点 ? 3,5? 的最长弦为过圆心的直径 AC ? 10 ,最短弦为

与圆心 ? 3, 4 ? 和点 ? 3,5? 连线垂直的弦, BD ? 2 r ? d ? 2 25 ? 1 ? 4 6 ,而显然 AC ? BD ,所以
2 2

1 AC ? BD ? 20 6 2 ?a ? a ? 1 ? a ? 2 3 ? 2 2 16.由题意可得 ? 1 a 2 ? ? a ? 1? ? ? a ? 2 ? 解得 ? a ? 3 2 ?0 ?? 2 ? 2a ? a ? 1? ? S=
17.观察图形,可以看出,第一层是 1 个点,其余各层的点数都是 6 的倍数且倍数比层数少 1,所以: (1) 第 n 层的点数为 6 ? n ?1? (n ? 2) ; (2) n 层六边形点阵的总点数为 1 ? 6 ? ?1 ? 2 ????? n ?1? = 1 ? 3n ? n ?1? 令 1 ? 3n ? n ?1? ? 169 解得 n ? ?7 (舍去)或 n ? 8 三、解答题 18.解: (1) f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x = cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ? 令所以 n ? 8

? ?

??

? +1 ?????????2分 6?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? , k ? Z ?????????????????? 4分 ? k? , k ? Z

解得 -

?
3

? k? ? 2 x ?

?
6

?

?
6

故 f ( x ) 的单调递增区间为 ?注:若没写 k ? Z ,扣一分

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ?????????????????? 6分 6 ? 3 ?

(2)由 f ( A) ? 2sin ? 2 A ? 而 A ? ? 0, ? ? ,所以 2 A ?

? ?

??

?? 1 ? ? ?1 ? 2 得 sin ? 2 A ? ? ? ?????????7分 6? 6? 2 ?

?

? 5 ? ? ? 13? ? ?? , ? ,所以 2 A ? 6 ? 6 ? 得 A ? 3 ?????????10分 6 ?6 6 ?
3 3 1? 2 ? 2 ??????????????????12分

又 S ?ABC ?

1 2S bc sin A ,所以 c ? ?ABC ? 2 b sin A

19.解:

? a1q 2 ? 4 ? a1 ? 1 ?????????????????? 4分 (1)由题意可得 ? 解得 ? ?q ? 2 ? a1 ? a1q ? 3

所以 an ? 2n?1 ?????????????????? 6分 (2) bn ?

2 2 2 ? ? ??????8分 2 n ?1 2 n ?1 log 2 a2n ? log 2 a2 n?2 log 2 2 ? log 2 2 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 1 ? ?????????10分 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?????????11分 所以 Tn ? 1 ? ? ? ? ??? ? =1 ? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 ? 0 ,所以 Tn ? 1 ??????????????????12分 因为 2n ? 1
=

20.

21.解: (1) f '( x) ? ∵a ?

1 a x 2 ? (2 ? a) x ? 1 , -------------------------------------2 分 ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

9 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,或 x ? ,------------------------------------3 分 2 2 1 ∴函数 f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) , (2, ??) . -----------------------------4 分 2
单调减区间为 ?

?1 ? , 2 ? -----------------------------5 分 ?2 ?

注:两个单调增区间,错一个扣 1 分,错两个扣 2 分 (2)∵

g ( x2 ) ? g ( x1 ) g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? ?1 ,∴ ?1 ? 0 , x2 ? x1 x2 ? x1



g ( x2 ) ? x2 ? [ g ( x1 ) ? x1 ] ? 0 ,--------------------------------------------------7 分 x2 ? x1

设 h( x) ? g ( x) ? x ,依题意, h( x) 在 ? 0, 2? 上是减函数.--------------------------8 分 当 1 ? x ? 2 时, h( x) ? ln x ?

a 1 a ? x , h '( x) ? ? ?1, x ?1 x ( x ? 1)2

令 h '( x) ? 0 ,得: a ? 设 m( x ) ? x ? 3 x ?
2

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? 3x ? ? 3 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

1 1 ? 3 ,则 m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 , x x 1 ∵1 ? x ? 2 ,∴ m '( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? 0 , x
∴ m( x) 在 [1, 2] 上是增函数,则当 x ? 2 时, m( x) 有最大值为 ∴a ?

27 , 2

27 .------------------------------------------------------------------------------------11 分 2 a 1 a ? x , h '( x) ? ? ? ?1 , x ?1 x ( x ? 1)2

当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? ? ln x ?

( x ? 1)2 1 ? ( x ? 1)2 ? x 2 ? x ? ? 1 , 令 h '( x) ? 0 ,得: a ? ? x x
设 t ( x) ? x ? x ?
2

1 1 ? 1 ,则 t '( x) ? 2 x ? 1 ? 2 ? 0 , x x

∴ t ( x) 在 (0,1) 上是增函数,∴ t ( x) ? t (1) ? 0 , ∴ a ? 0 ------------------------------------------------------------------------------------13 分

综上所述, a ?

27 ------------------------------------------------------------14 分 2

22.解: (1)由题意知 e ?

c 3 ? ,从而 a ? 2b ,又 2 b ? a ,解得 a ? 2, b ? 1 。 a 2

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1 -------------------------4 分 故 C1 , C2 的方程分别为 4
(2) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx .

由?

? y ? kx
2 ? y ? x ?1

得 x ? kx ? 1 ? 0 ,
2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 是上述方程的两个实根, 于是 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1 -------------------------5 分 又点 M 的坐标为 (0, ?1) ,所以

kMA ? kMB ?

y1 ? 1 y2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? ? x1 x2 x1 x2

k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ?k 2 ? k 2 ? 1 ? ? ? ?1 -------------------------8 分 x1 x2 ?1
故 MA ? MB ,得证 (ii)设直线的斜率为 k1 ,则直线的方程为 y ? k1 x ? 1,由 ? A 的坐标为 (k1 , k12 ? 1) 又直线 MB 的斜率为 ?

? y ? k 1x ? 1 ? y ? x ?1
2

解得 ?

? x ? k1 ?x ? 0 或? ,则点 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1

1 1 1 ,同理可得点 B 的坐标为 (? , 2 ? 1) . k1 k1 k1

于是 S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 2 ? | ? |? . ----------------------9 分 2 2 k1 k1 2 | k1 |
得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0 ,
2 2

由?

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

8k1 ? x? 2 ? ?x ? 0 8k1 4k12 ? 1 ? 1 ? 4k1 D 解得 ? 或? ,则点 的坐标为 ( , ); 2 1 ? 4k12 1 ? 4k12 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ?
又直线的斜率为 ?

1 ?8k1 4 ? k12 ,同理可得点 E 的坐标 ( , ) k1 4 ? k12 4 ? k12

于是 S2 ?

32(1 ? k12 )? | k1 | 1 ----------------------11 分 | MD | ? | ME |? 2 (1 ? 4k12 )(4 ? k12 )

因此

S1 1 1 ? (4k12 ? 2 ? 17) ---------------------12 分 S2 64 k1
1 1 1 17 (4k12 ? 2 ? 17) ? 解得 k12 ? 4 或 k12 ? 。----------------------13 分 4 64 k1 32

由题意知,

1 k12 1 3 ? k1 ? ,所以 k ? ? . 又由点 A, B 的坐标可知, k ? 1 2 k1 k1 ? k1 k12 ?
故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y ?

3 3 x 和 y ? ? x 。-------------14 分 2 2


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