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二面角专项练习


高二数学必修 2 二面角专项训练
班级_____________姓名_____________ 一、定义法:直接在二面角的棱上取一点,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角. 例 1 在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a, 求二面 角 B-PC-D 的大小。

二、垂线法:已知二面角其中一个面内一点到

一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二 面角的平面角; 例 2 在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是平行四边形,PA⊥平面 ABCD, PA=AB=a,∠ABC=30° ,求二面角 P-BC-A 的正切。

B

L

p

A

三、垂面法:作棱的垂直平面,则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面 角的平面角 例 3 在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a, 求 B-PC-D 的大小。

B
P

H

A

B

l C

四、投影面积法:一个平面 ? 上的图形面积为 S,它在另一个平面 ? 上的投影面积为 S',这

S 两个平面的夹角为 ?,则 S'=Scos? 或 cos?= S .
/

例 4 在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。
P

D

C

1
A B

五、补形法:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后 再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 例 5、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a,求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。
P C1

A1

B1

D

C

方法归纳:二面角的类型和求法可用框图展现如下:

A

B

如 图 , 已 知 在 侧 棱 垂 直 于 底 面 三 棱 柱 ABC — A1B1C1 中 AC=3 , AB=5 ,

3 cos ?CAB ? , AA1 ? 4, 点D是AB的中点. 。 5
(Ⅰ)求证: AC ? BC1 ; (Ⅱ)求证:AC1//平面 CDB1; (Ⅲ)求三棱锥 A1—B1CD 的体积.

18. (本题满分 14 分) 如图所示, 四棱锥 P ? ABCD 底面是直角

2

梯形, BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD, E 为 PC 的中点, PA=AD=AB =1. (1)证明: EB // 平面PAD ; (2)证明: BE ? 平面PDC ; (3)求三棱锥 B ? PDC 的体积 V.

如图, 四棱锥 P—ABCD 中,ABCD 为矩形,△PAD 为等腰直角三角形, ∠APD=90° , 面 PAD⊥ 面 ABCD,且 AB=1,AD=2,E、F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥面 PAD; (2)证明:面 PDC⊥面 PAD; (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

18. (本小题满分 14 分)
3

P E F C G B

A

如图 4 所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方 形, PD ? 平面 ABCD , PD ? AB ? 2 , E , F , G 分 别为 PC 、 PD 、 BC 的中点. (1)求证: PA ? 平面 EFG ; (2)求三棱锥 P ? EFG 的体积.

18. (本小题满分 14 分) 如图,已知棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面是菱形,且 AA1⊥面 ABCD,∠DAB=60°, AD=AA1,F 为棱 AA1 的中点,M 为线段 BD1 的中点。 (1)求证:MF∥面 ABCD; (2)求证:MF⊥面 BDD1B1。

4

18. (本小题满分 14 分) 如图, 三角形 ABC 中, AC=BC=

2 AB , ABED 2

E F G B C

D

是边长为 a 的正方形,平面 ABED⊥底面 ABC,且,若 G、F 分别是 EC、BD 的中点, (Ⅰ)求证:GF//底面 ABC; (Ⅱ)求证:平面 EBC⊥平面 ACD; (Ⅲ)求几何体 ADEBC 的体积 V。

A

17. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45°, 点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积.
B E A C D P

F

5

如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2.
(I)求证: AO ? 平面 BCD; (II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (III)求点 E 到平面 ACD 的距离。
B

A

D O E C

2、 如图, 在四棱锥 O-ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠ABC= OA=2,M 为 OA 的中点. (Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

? ,OA⊥底面 ABCD, 4

6

3、如图,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°, AP=BP=AB,PC⊥AB. (Ⅰ)求证:PC⊥AC; (Ⅱ)求二面角 B-AP-C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离.

4、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD= 2 ,底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点. (Ⅰ)求证:PO⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 PCD 的距离.

6、 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面积 ABCD 是边长为 1 的菱形, ∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面积 ABCD,PA= 3 . (Ⅰ)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (Ⅱ)求二面角 A-BE-P 的大小.

7

7、四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 为矩形,侧面 ABC⊥底面 BCDE, BC=2,CD= 2 ,AB=AC. (1) 证明:AD⊥CE; (2) 设侧面 ABC 为等边三角形,求二面角 C-AD-E 的大小.

10、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形. 已知 AB ? 3 ,AD ? 2 ,PA ? 2 , ? P PD ? 2 2 ,∠PAB ? 60 . (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小. A B C D

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60° ,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 B1 D A B E A1 C1

C

8


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