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人教版高中数学必修五 11 正弦定理和余弦定理 课件4


1.1 正弦定理

1.1.1 正弦定理
A
1、回忆一下直角三角形的边角关系? c
a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B

b C

a

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

A 若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D, AD sinC= 此时有 sinB= c c AD b B 图1 b C

则 AD= csinB=bsinC
同理可得

b c 即 ? , sin B sin C

aD A

a c ? , sin A sin C

a b c 即: ? ? sin A sin B sin C
若三角形是钝角三角形, 如图2, B 图2

c b

a

C

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等, 即 a b c   ? ? 要牢记 sin A sin B sin C

哟!

注:

边和它所对角的正弦比相等

每个等式可视为一个方程:知三求一

一般地,把三角形的三个角A,B,C和 他们的边a,b,c叫做三角形的元素, 已知三角形的几个元素,求其他元 素的过程叫做解三角形.
? 利用正弦定理可以解决一些怎样的解 三角形问题呢?

例1 在 ?ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45?, C ? 30? , 求b(保留两个有效数字).

B

c
A
解:∵

a
b
C

b c ? 且 B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? sin B sin C

c ? sin B 10 ? sin 105? ?  b ? ? ? 19 已知两角和任意边, sin C sin 30? 求其他两边和一角

例2、在△ABC中,已知 a ? 20 b=28 A=40? 求B (精确到1?)和c(保留两个有效数字)
b sin A 28 sin 40 0 解: sin B ? ? ? ? 0.8999 b a 20
A B2 当B1 ? 64 0时, C1 ? 180 0 ? ( B1 ? A) ? 180 0 ? (64 0 ? 40 0 ) ? 76 0.
a sin C1 20 sin 76 0 ? c1 ? ? ? 30 . 0 sin A sin 40
当B2 ? 116 0时, C2 ? 180 0 ? ( B2 ? A) ? 180 0 ? (116 0 ? 40 0 ) ? 24 0. a s in C2 20 s in 24 0 ? c2 ? ? ? 13 . 0 s in A s in 40 已知两边和其中一边的对角, 可以求出三角形的其他的边和角 ? B1 ? 64 0 , B2 ? 116 0.

C a

D B1

例3、为了测定河岸A点到对岸C点 的距离,在岸边选定1公里长 的基线AB,并测得∠ABC=120° ∠BCA=45°,求A,C两点的距离
解:由正弦定理得 AB = AC sinC sinC 则AC= ABsinB sinB 6 求出AC= 2
C 45°

120° A

1

B

随堂练习
1、在 ?ABC 中,一定成立的等式是(
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A

C



B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

2、在△ABC中 已知a=18,B=60°,C=75°, 求b= 9 6

3、已知c= 3 ,A=45°,B=75°,则 a=____, 2

4、△ABC中,B=30°,c=150,b=50 △ABC的形状是( D ) A 等边三角形 C 直角三角形 B D

3 ,则

等腰三角形 等腰或直角三角形

5、△ABC中,已知a=2 2 ,b=2 3 ,A=45°, 则B= 60°或120°

30° 6、已知c=2,A=120°,a=2 3 ,则B=____

7、 △ABC中,a=50,b=25 6 ,A=45°,求B

五、小结
1、这节课我们主要学习了正弦定理,以及两类应用正 弦定理解决的解三角形问题. 2.通过本节课学习,在研究数学问题时要掌握从特 殊到一般、数形结合以及分类讨论的数学思想.

作业 教材19页1、6题

衷心感谢各位老师的光临指导


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