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高一数学等差数列练习题


【等差数列】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分) 1. 数列 1,0,1,0,1,? 的一个通项公式是 (
n ?1


n ? ? 1? ? 1 ?

A.

1 ? ?? 1? an ? 2
n

n ?

1

B.

1 ? ?? 1? an ? 2

C.

an

2

D.

? 1 ? ?? 1? an ? 2

2. 已知 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 A. 递增数列 B. 递减数列



) D. 摆动数列

C. 常数列

3. 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n , 则数列 ?an ? 各项中最小项是 ( )A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项

4. 设 {an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15, a1a2 a3 =80, 则 a11 ? a12 ? a13 = (A)120 (D)75 5. 等差数列 {an } 中,前 n 项 S n ? A. (B)105 ( C ) 90

1 2 a3 n ? n ,则 a3 的值为 2 2
C.

3

B.

4

5

D. 6

6. 已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30, 则其公差为( A.3 ) B.4 C.5 D.2 ( )

7. 等差数列 {an } 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 , 则2a9 ? a10 ?

A.24

B.22

C.20

D.-8

8. 已知等差数列 ?an ? 中, a 2 ? 7 , a4 ? 15 ,则前 10 项和 S10 = (A)100 (B)210 (C)380 (D)400

9. 设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7=35,则 a4= (A)8 (D)5 10. 已知 ?an ? 为等差数列,a1 ? a3 ? a5 ? 105 ,a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,Sn 是 等差数列 ?an ? 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 B.20 C.19 D.18 ) (B)7 (C)6

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 11. 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n2 ? 3n ,则 an ? 12. 已知{an}为等差数列, 且 a7-2a4=-1, a3=0, 则公差 d= 13. 已知椭圆 。 .

x2 y2 + =1 上有 n 个不同的 P1,P2,P3,……Pn,设椭圆的右焦 4 3

点为 F ,数列 {|FPn|} 的公差不小于 为 .

1 的等差数列,则 n 的最大值 1004

14. 某单位用 3.2 万元购买了一台实验仪器, 假设这台仪器从启用的第一 天起连续使用,第 n 天的维修保养费为 的日平均费用最少,则一共使用了

n ? 49 (n ? N ? ) 元,若使用这台仪器 10
天.

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15.(本小题满分 10 分) 已知数列 {a n } 中, a1 ? ,
an ? 2 ? 1 (n ? 2, n ? N ? ) ,数列 {b n } 满足 an?1
3 5

bn ?

1 (n ? N ? ) ; an ? 1

(1) (2)

求证:数列 {b n } 是等差数列; 求数列 {a n } 中的最大值和最小值,并说明理由

16. (本小题满分 10 分) 在数列 ? an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n (1)设 bn ?

an , 证明 ?bn ?是等差数列; 2 n ?1

(2)求数列 ? an ?的前 n 项和 Sn 。

17. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前三项为 a ? 1, 4, 2a, 记前

n 项和为 Sn .
(Ⅰ)设 Sk ? 2550 ,求 a 和 k 的值; (Ⅱ)设 bn ?

Sn ,求 b3 ? b7 ? b11 ???? ? b4n?1 的值. n

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为

Sn , a1 ? 10, an?1 ? 9Sn ? 10 。
(I)求证: {lg an } 是等差数列; (Ⅱ)设 Tn 是数列 ?

?

? 3 ? 的前 n 项和,求 Tn ; (lg a )(lg a ) n n ?1 ? ?
2

? (Ⅲ)求使 Tn ? ( m ? 5m) 对所有的 n ? N 恒成立的整数 m 的取值集

1 4

合。

答案 一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. B 9. D 10. 解析:由题设求得:

a3 ? 35, a4 ? 33 ? d ? ?2, a1 ? 39 ? an ? 41 ? 2n , a20 ? 1, a21 ? ?1, 所以当 n ? 20 时 Sn 最大。故选 B

二、填空题 11. an ? 4n ? 5

12. -

1 ; 2

13. 2009 14. 800 三、解答题 15. 解析: (1) bn ?
1 1 1 a , ? ? n ?1 ,而 bn ?1 ? an ?1 ? 1 an ? 1 (2 ? 1 ) ? 1 an ?1 ? 1 an ?1
5 1 5 ? ? ;故数列 {b n } 是首项为 ? ,公差 2 a1 ? 1 2

∴ bn ? bn?1 ? 1(n ? 2, n ? N ? ) , b1 ? 为 1 的等差数列; (2)由(1)得 bn ? n ? 函数 f ( x) ? 1 ?

7 2 1 2 ,则 an ? 1 ? ? 1 ? ;设函数 f ( x) ? 1 ? , 2 2x ? 7 bn 2n ? 7

2 7 7 在 (??, ) 和 ( ,?? ) 上均为减函数,当 x ? 3 时, 2 2 2x ? 7 3 ,当 n 趋向于 ?? 时, 5

f ( x) ? f (3) ? ?1 ;当 x ? 4 时, f ( x ) ? f ( 4) ? 3 ;且 f (1) ?
f ( x ) 接近

1,

∴ (an )min ? a3 ? ?1 , (an )max ? a4 ? 3 .

16. 解析: (1)由已知 an?1 ? 2an ? 2n 得

bn ?1 ?

an ?1 2an ? 2 n a ? ? nn ? 1 ? bn ? 1, n n 2 2 2 ?1

又 b1 ? a1 ? 1

? ?bn ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列;
(2)由(1)知

an ? n,? a n ? n ? 2 n ?1 2 n ?1

Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 2S n ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n
两式相减得 ? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n?1 ? n ? 2n

? Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 1

17.

解 析 : ( Ⅰ ) 由 已 知 得 a1 ? a ?1, a2 ? 4, a3 ? 2a , 又

a1 ? a3? 2 a, 2
? (a ? 1) ? 2a ? 8, 即 a ? 3 . …………………………
(2 分)

? a1 ? 2 ,公差 d ? a2 ? a1 ? 2 .
由 S k ? ka1 ? (4 分)

k (k ? 1) d ,得 2

…………………………

2k ?

k (k ? 1) ? 2 ? 2550 2

2 即 k ? k ? 2550 ? 0 .解得 k ? 50 或 k ? ?51 (舍去).

? a ? 3, k ? 50 .
……(6 分) (Ⅱ)由 S n ? na1 ?

……………………

n(n ? 1) d, 得 2 n(n ? 1) S n ? 2n ? ? 2 ? n 2 ? n. 2

…………………………

(8 分)

? bn ?
(9 分)

Sn ? n ?1 n

…………………………

??bn ? 是等差数列.


b3 ? b7 ? b11 ?

? b4n?1 ? (3 ? 1) ? (7 ? 1) ? (11 ? 1) ?
? (4 ? 4n)n 2

? (4n ?1 ? 1)

………………………

(11 分)

?b3 ? b7 ? b11 ?
(12 分)

? b4n?1 ? 2n2 ? 2n

………… …………

18. 解析: (I)依题意, a2 ? 9c1 ? 10 ? 100 故

a2 ? 10 a1

当 n ? 2 时, an?1 ? 9Sn ? 10

an ? 9Sn?1 ? 10
①-②得:

an ?1 ? 10 an

故 {an } 为等比数列,且 an ? a1qn?1 ? 10n (n ? N ? ) ,

? lg an ? n

?lg aa?1 ? lg an ? (n ? 1) ? n ? 1
即 {lg an} 是等差数列 (Ⅱ)由(I)知, Tn ? 3(

1 1 1 ? ??? ) 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 3 ? 3(1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 3? 2 2 3 n n ?1 n ?1

(Ⅲ) Tn ? 3 ?

3 n ?1 3 2

? 当 n ? 1 时, Tn 取最小值
依题意有

3 1 2 ? ( m ? 5m ) 2 4

解得 ?1 ? m ? 6 故所求整数 m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}


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