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正弦函数余弦函数的性质(周期性)1


§1.4 正弦余弦函数的性质
(1)周期性

举例:
1. 举例说说你所熟悉的周期现象。

日出日落 、四季更替、潮涨潮落

2.在数学中,是否存在周期现象?

y

正弦曲线
-2? -?

1

y ?

sinx , x ? R
x

o
-1

?

2?

3?

4?

余弦曲线
-2? -?

y 1

y ? cosx , x ? R
? 2? 3?

o -1

x

正弦函数的周期性
y

y=sinx(x∈R)
0

? -2
y

? 2

x 4?

自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
4π 8π

x o

y o

Sin(x+2kπ)=sinx (k z)
x 6π 12π

?

问题: 三角函数可以从几个角度说明了其具有“周而复始” 的变化规律?

sin( x ? 2k? ) ? sin x(k ? Z ), cos( x ? 2k? ) ? cos x(k ? Z ),

诱导公式sin(x+2kπ) =sinx的几何意义.
y o X X X+2π X+2π x

正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性?

如何用数学语言刻画周期性

1、周期的定义

对于函数 f ( x) ,如果存在一个非零常
数 T,使得当 个值时,都有

x 取定义域内的每一
f ( x ? T ) ? f ( x),

那么函数 f ( x) 就叫做周期函数,
非零常数 T 叫做这个函数的周期。

思考:一个周期函数的周期有多少个?
1﹑sinx,cosx 的周期是2π ﹑4π ﹑6π ﹑ -2π﹑-4π﹑-6π……2kπ. 正弦函数和余弦函数的周期都是 2kπ

2﹑如果T是函数f (x) 的周期,那么……,-4T、 -2T、2T ﹑ 3T ,……,kT也是函数f(x)的周 期.

练习:判断下列说法是否正确
x? (1) 3

则 一定不是 y ? sin x 的周期(√)
2? 时,sin( x ? 3 ) ? sin x

?

2? sin( x ? ) ? sin x 时, 3

2? 3

7? x? (2) 6



2? 3

是 y ? sin x 的周期
(3)若定义在R上的函数

( ) ×

f ( x)满足f ( x ? T ) ? ? f ( x),T 为非零常数, 则2T是函数f ( x)的一个周期

√ ()

注意: 定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x ? T ) ? f ( x ) 不能说T 是y ? f ( x )的周期. 例如 : sin(
就是说 sin( x ?

? ?
2

不能对x在定义域内的每一个值使 ) ? sin x ,因此

?
2

2

不是y ? sin x的周期.

?
4

?

?
2

) ? sin

?
4

,

但是 sin(

?
3

?

?
2

) ? sin

?
3

.

2、最小正周期的定义 对于一个周期函数 f ( x) 如果在它所 有的周期中存在一个最小的正数,

那么这个最小的正数就叫做 f ( x)的 最小正周期。
思考:是否所有的周期函数都有最小正周期?
说明: 我们以后谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都 是指的最小正周期;

例 求下列函数的周期: 这里的周期指的 (1)y=3cosx,x∈R;
是最小正周期!

(2)y=sin2x,x∈R;

1 ? (3) y ? 2sin( x ? ), x ? R 2 6

另解

归纳总结
1.等式f ( x ? T ) ? f ( x ),强调:自变 量x本身加的常数才是周期, 例如:f (2 x ? T ) ? f (2 x ), T 不是周期, 而应写成 T ? T ? f (2 x ? T ) ? f ? 2( x ? ) ? ? f (2 x ), 此时 才是 2 ? 2 ? 函数y ? f ( x )的周期.

归纳总结
2?

y ? A cos(? x ? ? ) 2.一般地,函数 y ? A sin(? x ? ? )及 (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0, ? ? 0)的周期是

T?

?
2?

若? ? 0 则 T ?

?

练习:
(1) 求下列函数的最小正周期

5 1 ? ?x (2) f ( x) ? cos( ? ) 2 3 2

(1) f ( x ) ? sin(2? x ?

?

)

2? 2? T? ? ?1 ? 2?
2? 2? T? ? ?4 |? | ? 2

P36

练习 1, 2

小结:
1.周期函数、最小正周期的定义;
2.求周期的方法:图象法;定义法;公式法。
y ? A sin(? x ? ? ) 和 y ? A cos(? x ? ? ) 2? 型函数的周期为 ?

课后思考

函数 y = tan x是周期函数吗? 如果是,那么它的最小正周期是 多少?

?? ?1 解:设f ( x ) ? 2sin ? x ? ?的周期为T . 6? ?2 ? f ( x ? T ) ? f ( x) ?? ?? ?1 ?1 ? 2sin ? ( x ? T ) ? ? ? 2sin ? x ? ? 6? 6? ?2 ?2 ?? 1 ?? 1 ? ?? ?1 ? 2sin ? ? x ? ? ? T ?? 2sin ? x ? ? 6? 2 ? 6? ?2 ?? 2 1 ? 1 ? ? 令u ? x ? , 则 sin ? u ? T ? ? sin u 2 6 2 ? ? T ? y ? sin u 的周期为2? ? ? 2? , 即T ? 4? . 2


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