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2015年高二数学学业水平模拟试卷(9)及答案解析


9

高中学业水平考试《数学》模拟试卷(九)

一、选择题(本大题共 25 小题,第 1~15 题每小题 2 分,第 16~25 题每小题 3 分,共 60 分.每小题中只有一个选项是符合题 意的,不选、多选、错选均不得分) 1. 已知集合 A={0,2,4, 6},集合 B={2,4,5, 6},则 A∩B 等于( ) A.

{0,2,4, 6}

B.

{2,4, 6}
)

C.

{ 0, 5 }

D.

{0,2,4, 5}

π π 2. 2sin ·cos 的值为( 12 12 A.

1 2 3 B. C. D. 1 2 2 2 3. 与函数 y=x 有相同图象的一个函数是(
2

)

x x x x C. y=aloga (a>0,a≠1) D. y=logaa (a>0,a≠1) 4. 函数 y= 1-ln x的定义域为( )
A. y= x
2

B. y=

A. (0, e] B. (-∞, e]

C. (0, 10]

D. (-∞, 10]

(第 5 题) 5. A. B. C. D. 6. A. C. 已知某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) 3 108 cm 3 100 cm 3 92 cm 3 84 cm 直线 3x-y+1=0 的倾斜角为( ) 150° B. 120° 60° D. 30° 1 7. 当 x>1 时,不等式 x+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) x-1 A. (-∞,2] B. [2,+∞) C. [3,+∞) D. (-∞,3] 8. 下列命题错误的是( ) A. 如果 α ⊥β ,那么 α 内一定存在直线平行于平面 β B. 如果 α ⊥β ,那么 α 内所有直线都垂直于平面 β C. 如果平面 α 不垂直平面β ,那么α 内一定不存在直线垂直于平面β D. 如果 α ⊥γ ,β ⊥γ ,α ∩β =l,那么 l⊥γ 0.7 3 9. 三个数 a=3 ,b=0.7 ,c=log30.7 的大小顺序为( ) A. b<c<a B. b<a<c C. c<a<b D. c<b<a 1 2 10. 有下列函数:①f(x)=x , ②f(x)=x ,③f(x)=cos x,④f(x)=x,其中偶函数的个数是( 2 3 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

)

11. 如果一个球的表面积是 16π ,那么这个球的体积为( 16 32 A. π B. π C. 16π D. 24π 3 3 12. 函数 y=4sin 2x(x∈R)是( ) A. 周期为 2π 的奇函数 B. 周期为 2π 的偶函数 C. 周期为π 的奇函数 D. 周期为π 的偶函数 ?x-y+5≥0, 13. 已知 x,y 满足条件?x+y≥0,

)

?

? ?x≤3,
D. -1

则 2x+4y 的最小值为(

)

A. 6 B. 12

C. -6

4 5 14. 已知 α ,β 都是锐角,sin α = ,cos(α +β )= ,则 sin β 的值为( 5 13 16 56 8 47 A. B. C. D. 65 65 65 65 15. 已知点(

)

3 3 , )在幂函数 y=f(x)的图象上,则 f(x)的解析式是( ) 3 9 3 A. f(x)=3x B. f(x)=x 1 x -2 C. f(x)=x D. f(x)=( ) 2 16. 已知向量 a=(4,x),b=(x,4),若 a,b 平行且反向,则 x 的值为( ) A. 0 B. -4 C. 4 D. x∈R 17. 在等差数列{an}中,已知 a5=3,a9=6,则 a13=( ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 18. 给出下列命题,其中正确命题的序号是( ) ①零向量的长度为零,方向是任意的; ②若 a,b 都是单位向量,则 a=b; → → ③向量AB与向量BA相等; → → ④若非零向量AB与CD是共线向量,则 A,B,C,D 四点共线. A. ① B. ② C. ①③ D. ①④ a3+a9 19. 已知等比数列{an}的各项均为正数,公比 q≠1,设 P= ,Q= a5·a7,则 P 与 Q 的大小关系是( 2 A. P>Q B. P<Q C. P=Q D. 无法确定 20. 在下列区间中,函数的零点所在的区间为( ) 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? A. ? , ? B. ?- ,0? C. ?0, ? D. ? , ? ?4 2? ? 4 ? ? 4? ?2 4? 1 1 2 21. 若一元二次不等式 ax +bx+2>0 的解集为(- , ),则 a+b 的值是( ) 2 3 A. 10 B. -10 C. 14 D. -14 22. 若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线与直线 3x-y+1=0 平行,则此双曲线的离心率是( A. 3 B. 2 2 C. 3 D. 10 2 23. “关于的不等式 x -2ax+a>0 的解集为 R”是“0≤a≤1”( A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

)

x2 y2 a b

)

(第 24 题)

→ → → 24. 如图,Rt△ABC 的斜边 AB=2 2,O 为斜边 AB 的中点.若 P 为线段 OC 上的动点,则(PA+PB)·CP的最大值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2 25. 若 M 是 y =x 上的动点, N 是圆(x+1)2+(y-4)2=1 关于直线 x-y+1=0 的对称曲线 C 上的一点, 则|MN|的最小值是( 11 10 A. -1 B. -1 C. 2 D. 3-1 2 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 2 26. 命题 “对任意 x∈R,都有 x +1≥2x”的否命题是__________________. 27. 若集合 A={-1,1},B={x|ax=1},且 B? A,则实数 a 的取值集合为________. 2 28. 设函数 y=x -4x+3,x∈[-1,4],则 f(x)的最大值为________.

)

x2 y2 2 29. 已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y =4 5x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________. 4 b 30. 已知点 P, 直线 a,b, c 以及平面 α ,β ,给出下列命题:①若 a,b 与 α 成等角,则 a∥b;②若 α ∥β ,c⊥α ,则 c⊥β ; ③若 a⊥b,a⊥α ,则 b∥α ;④若 α ⊥β ,a∥α ,a⊥β ;⑤若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b 或 a,b 异面直线.其中错误命题的序号是
________. 三、解答题(本大题共 4 小题,第 31,32 题每题 7 分,第 33,34 题每题 8 分,共 30 分) → → 2 2 2 31. (本题 7 分)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a,b,c,sin B+sin C=sin A+sinBsinC,且AC·AB=4,求△ABC 的面积 S.

32. (本题 7 分,有 A、B 两题,任选其中一题完成,两题都做,以 A 题计分) (A)如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC 1∥平面 CDB1.

,[第 32 题(A)]) ,[第 32 题(B)]) (B)长方形 ABCD 中,AB=2 3,BC=2,沿对角线 AC 将△DAC 折起,使 D 点到 P 点的位置,且二面角 P-AC-B 为直二面角. (1)求 PB 长; (2)求三棱锥 P-ABC 外接球的表面积; (3)求二面角 A-PB-C 的余弦值.

33. (本题 8 分)设函数 f(x)=|x -4x-5|,x∈[-2,6].

2

(第 33 题) (1)画出函数 f(x)的图象; (2)求函数的单调区间; (3)求不等式 f(x)≤5 的解集.

1 2 2 2 2 34. (本题 8 分)已知圆 C1 的方程为(x+1) +y = ,圆 C2 的方程为(x-1) +y =错误!,动圆 M 与 C1 外切且与 C2 内切. 8 (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; → → → (2)过点 P(m,0)作直线 l 交轨迹 M 于 A,B 两点,若OS=OA+OB,且四边形 OASB 的对角线长相等,求 m 的范围.

9 2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷(九) 1. B 2. A 3. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. C 11. B 12. C 13. C 14. A 15. B 16. B 17. A 18. A 19. A 20. A 21. D 22. D 23. C → → → → → → → → 24. A [解析:∵PA+PB=2PO, ∴(PA+PB)·CP=2PO·CP=2 → PO 1 → → ∴|PO| CP ≤ ,故选 A.] 2 → → | ||→ CP|.又∵|PO|+|CP|= 2≥2 → |→ PO|·|CP|,

| |

25. A [解析:已知圆(x+1) +(y-4) =1 关于直线 x-y+1=0 的对称曲线 C:(x-3) +y =1,其中圆心坐标为 C(3,0),r =1.设 N(x0,y0)(其中 y0 =x0),故|MN|
2

2

2

2

2

11 2 2 2 2 =d 心距-r= (x0-3) +y0 -1= (x0-3) +x0-1= x0 -5x0+9-1= -1(x= 2 min

5 ).] 2 26. ? x∈R,x +1<2x 27. {0,1,-1} 28. 8 29. 1 [提示:由已知得焦点 F( 5,0),所以双曲线的 c= 5,则 b=1,故渐近线的方程为 x-2y=0,∴d=?
2

? 5? ?=1.] ? 5?

30. ①③④ [解析:①a 与 b 可以平行、相交、异面;③b∥a 或? α ;④a 与 β 可以垂直、可以平行、也可以相交.] 1 3 → → 2 2 2 2 2 2 31. 解:由已知得 b +c =a +bc,∴bc=b +c -a =2bccosA,∴cosA= ,sinA= .由AC·AB=4,得 bccosA=4,∴bc=8, 2 2 1 ∴S= bcsinA=2 3. 2

[第 32 题(A)] 32. (A)证明:(1)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5,∴ AC⊥BC.又∵AC⊥C,∴ AC⊥平面 BCC1,∴ AC⊥

BC1.
(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE∥AC1.∵ DE? 平面 CDB1,∴ AC1∥平面 CDB1.

[第 32 题(B)] (B)解:(1) 10. (2)AC 的中点即为外接球球心,球半径 R=2,S 球=16π . (3)在平面图中,过 D 作 DE 垂直于 AC,垂足为 E, 延长交 AB 于 H,?,以 EH 为 x 轴,EC 为 y 轴,EP 为 z 轴建立空间直角坐标系(如图),易得:P(0,0, 3),A(0,-1,0),B( 3,

→ ? ?PA·n=0, ?-y- 3z=0, → → 2, 0), C(0, 3, 0). 设平面 PAB 的法向量为 n=(x, y, z), PA=(0, -1, - 3), PB=( 3, 2, - 3), 则? ?? → ? ?PB·n=0, ? 3x+2y- 3z=0, → ? ?CP·m=0 → → 令 z=1,得 n=(3,- 3,1),设平面 PBC 的法向量为 m=(x,y,z),CP=(0,-3, 3),CB=( 3,-1,0),则? ? → ? ?CB·m=0

?-3y+ 3z=0, n·m 3×1+(- 3)× 3+1×3 令 x=1, 得 m=(1, 3, 3). 设二面角 A-PB-C 的平面角为 θ , 则 cos θ = = ? | n |·| m | 13× 13 ? 3x-y=0.
3 = . 13 33. 解:(1)如下图所示.

[第 33 题] (2)f(x)在(-∞,-1]和[2,5]上单调递减,在[-1,2]和[5,+∞)上单调递增. (3)方程 f(x)=5 的解分别是 2- 14和 0,2+ 14,观察图象可得 f(x)≤5 的解集是[2- 14,0]∪[4,2+ 14]. 34. 解:(1) +y =1. 2 (2)设 l:x=ty+m,代入 +y =1,得 2 (t +2)y +2tmy+m -2=0, 2 2 Δ >0? t >m -2, 2 由韦达定理得 y1+y2=-2tm,y1y2=m -2, 3 2 → → 2 2 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由条件知,OA⊥OB,得 x1x2+y1y2=0,即(t +1)y1y2+tm(y1+y2)+m =0? t = m -1. 2 3 ? ?2m -1>m -2, 2 3 2 3 由? ? m∈(-∞,- ]∪[ ,+∞). 3 3 3 ? ?2m -1≥0
2 2 2 2 2 2

x2

2

x2

2


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