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探究中考数学中面积等分线问题


2   0   1   4年 第 1期 

中学 数 学 月 刊 

?  5   7  ?  

探 究 中考 数 学 中面 积 等 分 线 问题 
沈  贤  ( 江 苏省 江 阴 实验 中 学  2   1   4   4   0   0 )  

近年 来 , 中考 中常 遇 到 用 一 条 直 线 平 分 一 个 
平 面 图形 面 积 的 问 题 , 这 些 问 题 涉 及 到 相 关 图 形 

理 论 依 据 :“ 同 底 等 高 的 两 三 角 形 面 积 相 

的性 质 、 几 何 变换 、 等 积变 换等 知识 点 , 考 查 学 生  的动 手 操 作 能 力 , 综 合 分 析 问题 、 解 决 问 题 的能  力, 所 以成 为 中考 数 学 中的热 点 和难 点 . 如何 破 解  这 类 问题 呢 ?本 文 就 常见 的三 角形 的面 积 等分 线  作法 、 三 角形 等积 代 换 、 中心对 称 图形 的面 积 等分  线作法 、 特定 条 件 的 图形 面 积 等 分 线 四个 角 度 进 
行破解.   1   常见 的 GAB   C 的 面 积 等 分 线 

等" , 而且可得 出 : S △ A ∞ 一S △ D ( ) c .   3   中心 对 称 图 形 的等 分 线 作 法 
在 初 中数 学 阶段 , 我 们 经 常 遇 到 的 中心 对 称  图形 有 圆和平 行 四边 形 等 .  
圆: 圆 的对 称 中心就 是 其 圆心 , 只要经 过 圆心 

作一条直线 , 便 可将 该 圆 的面积 平 分 ( 见图 3 ) .  

作法 : 作 出边 B C 的 中点 P, 作直 线 A P, 直 线  AP 即为 所 求作 等 分 线 . ( 见图 1 )   理论依据 : “ 等底 同高 的两 三 角 形 面 积相 等" .  
图 3   图 4  

平 行 四边 形 : 平 行 四边 形 的对 称 中心 是 两 条 

对 角 线 的交 点 , 只要 经 过 对 角 线 的 交 点 作 一 条 直 

线, 便 可 以将 这 个 平 行 四边 形 的面 积 平 分 . 矩形 、  
菱形 、 正方 形 都 是 特殊 的平 行 四边 形 , 同样 也 可 以 
图 1   图 2  

用这种方式将面积平分. ( 见图 4 )  


般地 , 对 于 中心对 称 图形 , 我们 经过 它 的对 

2   常 用 的 三 角 形 等 积 代 换 

称 中心作 一 条 直 线 便 可 以将 它 的面 积平 分 .  
4   特 定 条 件 的 图 形 面 积 等 分 线 

已知 : 如图 2 , MN ∥ E F, A C, B D 相 交 于 点 
0, 得结 论 : S △ A B c— S △ D B c .  

如图5 , 已知 GA   B   C中, P为 B   C边 上 一 定 点 ,  

同 理 得   2 一   .   n — —   ( \   C 一   ) /   , 所 以  2 一  

结论 2   设 椭 圆  +  一1 (  > b> o )与 

) 一  


一  

?  . ①  
2 一 一  ③ .  

轴 交 于 A, B两 点 ( 点 A在 B 的左 侧 ) , H 是 椭 圆上 
、.

2  

的点 , 直 线 AH , B H 与左准线 Z :   一一  分 别 交  于点 M , N, 则 以 MN 为 直 径 的 圆 恒 过 两 定 点 

因为 点 H(  0 ,  0 ) 在椭 圆  4 -   L 2 —1 上, 所 以 

②, 代 人 ① 得 

( 一  : ±   o ) , ( 一  : 二  




o ) .  

C  

C  

由圆 的直 径 式 方 程 得 以 MN 为 直 径 的 圆 的 

同理 可证 结 论 2是 正 确 的.  

方 程 为 (   一 等 ) ( d 7 一 等 ) + (   —  ) (   —   2 ) 一   o , 当 y - O 时 , (   一 等 )   +  2 - o @ . 将 ③ 代 人  
④ 得  一  或 2 一  , o ) , (   , 故 以 MN 为直  , o ) .   径 的 圆恒 过 定 点 (  

探究 3   上 述 性 质 能 否 推 广 到 双 曲线 呢?  
容 易 得 到 以下 结 论 ( 探究过程从 略) :  

结论 3   设 双 曲线  一  一1 (  > o , b> o )   与  轴 交 于 A , B两 点 ( 点 A在 B 的左 侧 ) , H 是 双 
、 .

2  

曲线 上 的点 , 直 线 AH , B H 与准线 Z :   一 ±  分  别 交 于点 M , N, 则 以 MN 为 直径 的 圆恒过 两定 点 

探究 2   若 椭 圆的准线改为左 准线 Z :   一 
一  

( ±  : ±   o ) , ( ±  : 二  




则 以 MN 为 直径 的 圆恒过 定 点 吗 ?  



o ) .  

? 

5   8  ?  

中学 数 学 月 刊 

2   0   1   4年第 1 期 

P不 是 中点 , 过 点 P作 一 直 线 , 使 其 等 分 
△  C 的 面 积 .  

( 3 )如 图 1   2 , 四边 形 A B   C D 中, A   B与 C D 不 

平行 , S △ A D c> S △ A B c , 过 点 A 能 否 作 出 四 边 形 

解: 见图6 , 取B C 的 中点 D , 连 结 AP, 过点 D  

AB   C D 的 面积 等 分 线 ?若 能 , 请 画 出面 积 等 分 线 ,  
并 给 出证 明 ; 若不 能 , 说 明理 由.  

作D E/ /A P 交 AC于 E, 作直线 P E, 直线 P E即  
为所求直线.  
评析 : 运 用 了转 化 思 想 . 取 中点 D, 连结 A l P ,  

S △ A B D—S △ A D c , 由D E/ /A P得 S △ A D E —S △ P D E , 于 
是得到 S △ E P c —S △ A D c , 即直 线 P E 即为 所 求 直 线 .  
图 1 1   图 1   2  

图 5  

图 6   图 1   3   图 1   4  

又如 : 如图 7 , AF / /E D/ /B C, A   B/ /E F∥  
C D, 请 用 一 条 直 线 将 它 分 成 面 积 相 等 的两部 分 .   掌 握 了 中 心 对 称 图形 的 面 积 平 分 规 律 , 我 们  再 来 解 决 组 合 图 形 的 面 积 平 分 就 不 是 什 么 难 事  了, 一 般 只要 通 过 适 当 的 方 法 将 图形 分 解 成 两 个  中心 对 称 图形 的组 合 , 利 用 数 学 中 的转 化 思 想 问 
题 就 解 决 了. ( 图 8~ 图 1   0 )  

解  ( 1 )中线所 在 的直线 .  

( 2 ) 连结 B E, 因A B/ /C E, A B—C E, 所 以 四  边形 A   B E C 为 平行 四边 形 , 所以B E/ /A C.  
所以 /  ̄ A B   C和 /  ̄ AE C 的公 共 边 AC 上 的高 

也相等 , 所以 S △ A B c—S △ A E c ,  
所以 S 梯 形 A B C D— S △ A C D+ S △ A B c— S △ A C D + 
S△ A E c— S△A E D.  

过 点 A 的梯 形 AB   C D 的 面 积 等 分 线 的 画 法 
如图 1   3所 示 , 为直线 A G.  

( 3 ) 能. 如图 1   4 , 连结 A C, 过 点 B作 B E/ / A C  
图 7   图 8  

交 DC 的延 长 线 于点 E, 连 结 

.  

因B E/ /A C, 所以 /  ̄ A   B   C和 /  ̄ AE C 的公 共 
边 AC 上 的高 也 相 等 ,  
所以 S △ A B c—S △ A E c , 所以 S 梯 形 A B C D— S △ A C D+ 
S △ A B c— S△ A C D + S△ A E c— S△ A E D.  
图 9   图 1   0  

因S 八 A C D> S 八 A B c ,  

笔 者 以最 近几 年 的 中考 题 目为 例 , 就 其 等 积  线 的 问题 作 些探 讨 .  
例1 ( 2   0   1   0 年 连 云 港) 如果 一 条直 线 把 一 个 

所 以 面积 等 分 线 必 与 C D 相交 , 取 D E 中点  F, 则 直 线 AF即为要 求作 的 四边 形 AB   C D 的面 积  等分线.   评 析  第 一 小 问考 查 考 生 对 三 角 形 的 三 种  特 殊 线 的性 质 是 否 熟 悉 . 第 二 问 为 过 点 A 作 出梯  形 AB   C D 的面积 等分 线 作 了铺 垫 , 把 梯 形 问题 转  化 为三 角 形 问题 . 第 三 问把 问题 推 广 到 更 一 般 的 

平 面 图形 的面 积 分 成 相 等 的两 部 分 , 我 们 把 这 条 

直 线 称 为 这 个平 面 图形 的一条 面 积 等分 线 . 如, 平 
行 四边 形 的一 条 对 线所 在 的直 线就 是 平 行 四边 形 

的一 条 面 积 等 分 线 .   ( 1 )三 角 形 的 中线 、 高线 、 角 平 分 线 分 别 所 在  的 直 线 一 定 是 三 角 形 的 面 积 等 分 线 的 有 
;  
— —

情况 , 要转 化 为前 面 的情 况 来 解 决 , 这 里体 现 了从 
特 殊 到一 般 的思 想 和数 学 的转 化 思想 .  
例 2 ( 2   0   1   3年 陕 西 )问 题 探 究 :  

( 2 ) 如图1 1 , 梯形 A B   C D 中, A B/ /D C, 如果 
延 长 DC 到 E, 使 C E — AB, 连 结  , 那 么 有 
S 梯 形 A B   一S △ A D E . 请 你 给 出这 个 结 论 成 立 的理 由 ,   并 过 点 A 作 出梯 形 AB   C D 的面 积 等 分 线 ( 不 写作  法, 保 留作 图痕 迹 ) ;  

( 1 ) 请在图 1   5中作 出两 条 直 线 , 使 它 们 将 圆 
面 四等 分 ;   ( 2 ) 如图1   6 , M 是 正 方 形 AB   C D 内一 定 点 , 请  在 图 中作 出两 条 直 线 ( 要 求 其 中一 条 直 线 必 须 过 

点 M) , 使 它们 将 正 方 形 A   B   C D 的面积 四等 分 , 并 

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说 明理 由.  
问题 解 决 :  

中学 数 学 月 刊 
s四 边形P O F 。 一  1   s
正方形A B c 。 ,  

?  U   q L /    。  

( 3 )如 图 1   7 , 在 四边 形 A B   C D 中, A B∥C D,   A   B   4 - C D -B C, 点 P是 AD 的 中点 , 如果 A B- -a ,  

所 以直线 E F, P Q将正方形 AB C D面积 四等分.   ( 3 ) 存 在. 当B Q —C D —b时 , P Q 将 四边 形  ABC D 面积 二 等 分 .  
理 由如 下 : 如图 2   O , 连结 B P并延长 B   P 交 
C D 延 长 线 于 点 F, 连结 C P.   因点 P 是 AD 的 中点 , 所 以 
因A B ∥ C D, 所 以 
APB 一  / DPF, 所 以 △ APB  

C D —b , 且 b>  , 那 么在 边 B C 上 是 否 存 在 一 点 

Q, 使P Q所 在 直 线 将 四边 形 AB   C D 的面 积分 成 相 
等 的两 部 分 ? 若 存 在 , 求出 B Q 的长 ; 若不 存 在 ,  
说 明理 由.  

一P D.  
△ DPF,  

P 一  / Dl F P ,因 

从 而 
因 
图 1   5   图 1   6  

一DF, P B —P F, 所以 C P是 △C B   F  
+C D —BC, DF   4 - C D —B C, 即 C B —  P 一  /Dl FP, 所 以  P 一  /C B   P,  

的 中线 , 所以 S 八 C P B—S 八 C P F .  
C F, 所 以  C B   F 一/ C F B.  

因 

解  ( 1 )如 图 1   8所 示 .  

即 P B是角平分线.  

所 以点 P 到 AB 与 C B 的距 离 相 等 .  
因B Q —b , 所以 o Q —A   B一 ,  

所以 S △ A B P— S △ C 。 P ,   所以 S 四 边 形 A B Q P— S 四 边 形 Q C D P .  

所 以当 B Q —b时 , 直线 P Q 将 四边 形 AB   C D 
图 1   7   图 1   8  

的 面积 分 成 相 等 的两 部 分 .  
评 析  ( 1 )问较 易 解 决 , 圆 内两 条 互 相 垂 直 

( 2 )如 图 1   9 , 连 结 AC, B D 相 交 于 点 0, 作 直  线 O M 分 别 交 AD , B C 于 P, Q两点, 过 点 0 作  OM 的垂 线 分 别 交 AB, C D 于 E, F两点 , 则 直 线  O M, E F 将 正 方 形 AB   C D 的面 积 四等分 .  
理 由如 下 :  

的直 径 即达 到 目的. ( 2 )问 中其 实 在 八 年 级 学 习  四边 形 时解 决 过 此 类 问题 . 在正方形 中 , 常见 的是  将 两 正 方 形 重 叠 在 一 起 旋 转 的过 程 中对 图形 的面  积相 等 的考 查 , 考 查 了对 图形 变 换 的熟悉 程 度.  
( 3 )问 中可 以把 四边 形 问题 转 化 为 熟 悉 的 三 角 形 

的等 积 线 来 处 理 , 其 中根 据 条 件 穿 插 了几 何 中边  和角 的特 殊 关 系 , 考 查 学 生 对 几 何 的基 本 推 理 的  掌握程度 , 综 合 性 比较 强 , 当然本 题 根 据条 件也 能  构 造 出菱 形 , 由菱 形 的 中心 对 称 的 特 性 得 出 面 积  等分线.   面积 是 数 学 的重 要 内容 之 一 , 应用非常广泛 ,  
图 1   9   图 2   O  

相 关 的知 识 点 多 面 广 , 灵 活性 大 , 技巧性 强. 是 历  年 数 学 中考 的重 点 , 为 中考 的热 点 内容 之 一 , 很 多 
题 目与面 积 有 关 , 涉 及 到 三 角 形 、 圆 、矩 形 、正 

因点 0是 正 方 形 AB   C D 对 角 线 的交 点 , 所 以 
点 0是 正 方 形 AB   C D 的 中心 .  
所 以 
一  

一O B 一0C一 ∞ ,  

P 一  /  E 

方 形 、菱 形 、不 规 则 四边 形 . 面 积 等 分 线 问 题 看  似 是 近些 年 中考 中 出 现 的新 题 型 , 究 其 实 质 仍 应  该 归 人 作 图与 说 理 论 证 相 结 合 的题 型 类 别 . 在 几  何 图形 中 , 将 面 积 与 图形 的 角 和 边 有 机 联 系是 这 


/ 0C Q 一  /( ) DF 一 4   5 。 .  

因P Q  l  EF, 故  P0 D +  D0 F一9   0 。 ,  
/P   OD + / P   OA 一 9   0 U ,  

所 以  P0 A 一  /DOF, 同 理 :   P0   一 
D0F 一  / BOE 一  /C OQ ,  

类 问题 的特 点 , 突 出动 手 作 图 的 基 本 功 训 练 也 

是 这 一 类 题 的特 色 , 而善 于进 行 周 密 思 维 、 进行 合 
△C 0Q  

所 以 △ A0P  
△ D0F ,  

△ B0E 

理 推 理 是 解 决 这 类 问 题 的关 键 . 运 用 转 化 思 想 把  四边 形 问题 转 化 为 三 角 形 的 问题 来 解 决 , 再 次 印 

所 以 S 四 边 形 A P   一 S 四 边 形 B E ( ) Q— S 四 边 形 C Q   一 

证 初 中几 何 图形 以三 角 形 为 核 心 的特 点 .  


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