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高中数学必修一第三章测试题


高中数学必修一第三章测试题

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高中数学必修一第三章测试题
一.选择题(共 10 小题) 1. (2013?中山一模) 函数 f x) ﹣bx+a 的图象如图所示, ( =x 则函数 g (x) =lnx+f′ (x) 的零点所在的区间是 (
2



A.

( , )

B.

( ,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

2. (2013?泸州一模)若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)(0,8)(0,4)(0,2)内,那么下列 , , , 命题中正确的是( ) A.函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点 B. 函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C. 函数 f(x)在区间(1,16)内有零点 D.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 3. (2013?乐山二模)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当﹣1<x≤1 时,f(x)=x .若函数 g (x)=f(x)﹣loga|x|恰有 6 个零点,则 a( ) A. B. C. D. a=5 或 a=
3

4. (2013?滨州一模)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时, x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( ) ﹣a ﹣ a A.2 ﹣1 B.2 ﹣1 C.1﹣2 a 5. (2012?洛阳模拟)下列函数中,在(﹣1,1)内有零点且单调递增的是( A. B.y=2x﹣1 C. ) D.y=﹣x3

,则关于

D.1﹣2a

6. (2012?卢湾区二模)已知





若函数 f(x)有唯一零点 x1,函数 g(x)有唯一零点 x2,则有( ) A.x1∈(0,1) 2∈(1,2) x1∈(﹣1,0) 2∈(1, x1∈(0,1) 2∈(0,1) x1∈(﹣1,0) 2∈(0, B. C. D. ,x ,x ,x ,x 2) 1) 7. (2012?临沂二模)已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表. x 0 4 5 ﹣1 1 2 2 1 f(x) f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示. 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在[0,2]是减函数;
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www.jyeoo.com ③如果当 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是( )

A.4 个

B.3 个
x

C.2 个
3

D.1 个

8. (2012?荆州模拟)已知函数 f(x)=2 +x,g(x)=x+log2x,h(x)=x +x 的零点依次为 a,b,c,则 a,b,c 的 大小顺序正确的是( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a 9. (2012?江西模拟)某大学的信息中心 A 与大学各部门,各院系 B、C、D、E、F、G、H、I 之间拟建立信息联网 工程,实际测算的费用如图所示(单位:万元) ,请观察图形,可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院 系都能联通(直接或中转) ,则最少的建网费用是( )

A.12 万元

B.13 万元
|x﹣1|

C.14 万元

D.16 万元

10. (2012?贵溪市模拟)函数 f(x)=2 ﹣lnx﹣a 恰有两个不同的零点,则 a 的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞) 二.填空题(共 8 小题) 11. (2013?烟台一模)给出下列命题: ①函数 y= 在区间[1,3]上是增函数;
x 2

②函数 f(x)=2 ﹣x 的零点有 3 个; ③函数 y=sin x(x∈[﹣π,π])图象与 x 轴围成的图形的面积是 S= ④若 ξ~N(1,σ ) ,且 P(0≤ξ≤1)=0.3,则 P(ξ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上) _________ . :
2



12. (2013?奉贤区一模)已知函数

若 f(a)= ,则 a=

_________ .

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www.jyeoo.com 13. (2013?东城区模拟)设函数 _________ . 14. (2012?南京一模)若方程 lg|x|=﹣|x|+5 在区间(k,k+1) (k∈Z)上有解,则所有满足条件的 k 的值的和为 _________ . 15. (2012?黄浦区二模)已知函数 f(x)=|x ﹣2ax+a|(x∈R) ,给出下列四个命题: ①当且仅当 a=0 时,f(x)是偶函数; ②函数 f(x)一定存在零点; ③函数在区间(﹣∞,a]上单调递减; 2 ④当 0<a<1 时,函数 f(x)的最小值为 a﹣a . 那么所有真命题的序号是 _________ .
2

则函数 g(x)=f(x)﹣log4x 的零点个数为

16. (2012?福建)对于实数 a 和 b,定义运算“﹡”:a*b=

设 f(x)=(2x﹣1)﹡(x﹣1) ,且关于 .

x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是 _________

17. (2012?东城区模拟)函数 f(x)=ln(x+2)﹣ 的零点所在区间是(n,n+1) ,则正整数 n= _________ .

18. (2011?闸北区二模)若函数 f(x)=2 三.解答题(共 8 小题)

|x﹣3|

+logax+1 无零点,则 a 的取值范围为 _________ .

19. (2013?南开区二模)已知函数 f(x)=alnx﹣bx 图象上一点 P(2,f(2) )处的切线方程为 y=﹣3x+2ln2+2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若方程 f(x)+m=0 在 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对数的底数) ;

2

(Ⅲ)令 g(x)=f(x)﹣kx,若 g(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (其中 x1<x2) ,AB 的中点为 C (x0,0) ,求证:g(x)在 x0 处的导数 g′(x0)≠0. 20. (2013?潮州二模)设 a>0,函数 (Ⅰ)证明:存在唯一实数 . ,使 f(x0)=x0;
*

(Ⅱ)定义数列{xn}:x1=0,xn+1=f(xn) ,n∈N . (i)求证:对任意正整数 n 都有 x2n﹣1<x0<x2n; (ii) 当 a=2 时,若 ,证明:对任意 m∈N 都有:
*



21. (2012?密云县一模)已知函数 f(x)=﹣

+2ax ﹣3a x+1,0<a<1.

2

2

(Ⅰ)求函数 f(x)的极大值; (Ⅱ)若 x∈[1﹣a,1+a]时,恒有﹣a≤f′(x)≤a 成立(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,试确定实数 a 的取 值范围.

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www.jyeoo.com 22. (2012?吉安二模)广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产,按国际惯例以美元为结算货币, 依据以往加工生产的数据统计分析,若加工产品订单的金额为 X 万美元,可获得的加工费近似地为 ln(2x+1)万 美元,受美联储货币政策的影响,美元值,由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间,收益将因美元赔值而 损失 mx 万美元,其中 m 为该时段美元的贬值指数是 m∈(0,1) ,从而实际所得的加工费为 f(x)= ln(2x+1) ﹣mx(万美元) . (1)若某时期美元贬值指数 m= X 应在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为 X 万美元时共需要的生产成本为 x 万美元,己知该企业加工生产能力为 ,为确保企业实际所得加工费随 X 的增加而增加,该企业加工产品订单的金额

x∈[10,20](其中 X 为产品订单的金额) ,试问美元的贬值指数 m 在何范围时,该企业加工生产将不会出现亏损. 23. (2012?湖南模拟)设函数 (1) ; ,求证:

(2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点; (3)设 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 .

24. (2012?道里区二模)设函数

,g(x)=2x +4x+c.

2

(1)试问函数 f(x)能否在 x=﹣1 时取得极值?说明理由; (2)若 a=﹣1,当 x∈[﹣3,4]时,函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,求 c 的取值范围. 25. (2011?浙江模拟)已知函数 f(x)=x ﹣2lnx,h(x)=x ﹣x+a. (Ⅰ)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)设函数 k(x)=f(x)﹣h(x) ,若函数 k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围. 26. (2011?闸北区二模)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 2 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (2≤a≤6)的管理费,预计当每件产品的销售价为 x 元(7≤x≤9)时,一年的销售量为(12﹣x)万件. (1)求该分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该分公司一年的利润 L 最大,并求 L 的最大值 Q(a) .
2 2

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高中数学必修一第三章测试题
参考答案与试题解析
一.选择题(共 10 小题) 2 1. (2013?中山一模) 函数 f x) ﹣bx+a 的图象如图所示, ( =x 则函数 g (x) =lnx+f′ (x) 的零点所在的区间是 (



A.

( , )

B.

( ,1)

C.(1,2)

D.(2,3)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;数形结合. 分析: 由二次函数图象的对称轴确定 b 的范围,据 g(x)的表达式计算 g(
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)和 g(1)的值的符号,从而确定

零点所在的区间. 解答: 解:∵二次函数 f(x)图象的对称轴 x= ∈( ,1) ,

∴1<b<2,g(x)=lnx+2x﹣b 在定义域内单调递增, g( )=ln +1﹣b<0,

g(1)=ln1+2﹣b=2﹣b>0, ∴函数 g(x)=lnx+f′(x)的零点所在的区间是( ,1) ;

故选 B. 点评: 此题是个中档题.题考查导数的运算、函数零点的判断以及识图能力,体现了数形结合的思想,考查了学 生应用知识分析解决问题的能力. 2. (2013?泸州一模)若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)(0,8)(0,4)(0,2)内,那么下列 , , , 命题中正确的是( ) A.函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点 B. 函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C. 函数 f(x)在区间(1,16)内有零点 D.函数 f(x)在区间(2,16)内没有零点 考点: 专题: 分析: 解答: 函数零点的判定定理. 阅读型. 由题意可确定 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间[2,16)内无零点.其他不能确定. 解:由题意可确定 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故在区间[2,16)内无零点. D 正确, A 不能确定, B 中零点可能为 1, C 不能确定. 故选 D
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www.jyeoo.com 点评: 本题考查对函数零点的判定定理的理解,属基础知识的考查.属基础题. 3. (2013?乐山二模)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当﹣1<x≤1 时,f(x)=x .若函数 g (x)=f(x)﹣loga|x|恰有 6 个零点,则 a( ) A. B. C. D. a=5 或 a=
3

考点: 函数的零点与方程根的关系;根的存在性及根的个数判断. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 本题通过典型的作图画出 loga|x|以及 f(x)的图象,从图象交点上交点的不同,来判断函数零点个数,从 而确定底数 a 的大小范围 解答: 解:首先将函数 g(x)=f(x)﹣loga|x|恰有 6 个零点,这个问题转化成 f(x)=loga|x|的交点来解决.
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数形结合:如图,f(x+2)=f(x) ,知道周期为 2,当﹣1<x≤1 时,f(x)=x 图象可以画出来,同理左右 平移各 2 个单位,得到在(﹣7,7)上面的图象,以下分两种情况: (1)当 a>1 时,loga|x|如图所示,左侧有 4 个交点,右侧 2 个, 此时应满足 loga5≤1<loga7,即 loga5≤logaa<loga7,所以 5≤a<7. (2)当 0<a<1 时,loga|x|与 f(x)交点,左侧有 2 个交点,右侧 4 个, 此时应满足 loga5>﹣1,loga7≤﹣1,即 loga5<﹣logaa≤loga7,所以 5<a ≤7.故 综上所述,a 的取值范围是:5≤a<7 或 故选 D 选项
﹣1

3

点评: 本题考查函数零点应用转化为两个函数交点来判断,又综合了奇函数对称性对数运算等知识,属于较难的 一类题,端点也要认真考虑,极容易漏掉端点

4. (2013?滨州一模)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时, x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( ) ﹣a ﹣ a A.2 ﹣1 B.2 ﹣1 C.1﹣2 a

,则关于

D.1﹣2a

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: 函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内 y=f(x) ,y=a 的图象交点的横坐标.作 出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,为计算提供简便. 解答: 解:当﹣1≤x<0 时?1≥﹣x>0,x≤﹣1?﹣x≥1,又 f(x)为奇函数
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www.jyeoo.com ∴x<0 时, 的图象, 画出 y=f x) y=a ( 和 (0<a<1)

如图 共有 5 个交点,设其横坐标从左到右分别为 x1,x2,x3,x4,x5,则 ?log2(1﹣x3)=a?x3=1﹣2 , 可得 x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2 , 故选 D. 点评: 本题考查函数的图象,函数零点知识,考查函数与方程,数形结合的思想,准确画好图,把握图象的对称 性是关键. 5. (2012?洛阳模拟)下列函数中,在(﹣1,1)内有零点且单调递增的是( x A. B.y=2 ﹣1 C. ) D.y=﹣x
3 a a

考点: 函数的零点. 专题: 计算题. 分析: A、对数函数的定义域和底数小于 1 时是减函数;B、对数函数的定义域和底数大于 1 时是增函数;C、指 数是正数的幂函数在 R 上是增函数;D、底数大于 1 的指数函数在 R 上是增函数. 解答: 解:A、 y 的定义域是(0,+∞) ,且为减函数,故不正确;
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B、y=2 ﹣1 的定义域是 R,并且是增函数,且在(﹣1,1)上零点为 0,故正确; C、
3

x

在(﹣1,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,故不正确;

D、y=﹣x 是减函数,故不正确. 故选 B. 点评: 考查基本初等函数的定义域和单调性以及函数的零点问题,属基础题.

6. (2012?卢湾区二模)已知





若函数 f(x)有唯一零点 x1,函数 g(x)有唯一零点 x2,则有( ) A.x1∈(0,1) 2∈(1,2) x1∈(﹣1,0) 2∈(1, x1∈(0,1) 2∈(0,1) x1∈(﹣1,0) 2∈(0, B. C. D. ,x ,x ,x ,x 2) 1) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: 根据函数零点的判定定理,根据选项分别求得 f(0) ,f(1) ,f(﹣1) ,g(0) ,g(1) ,g(2)的值,根据 它们的符号确定零点 x1,x2 所在的区间. 解答: 解:f(0)=1>0,f(1)=1+1﹣ >0,
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www.jyeoo.com f(﹣1)= x1∈(﹣1,0) , g(0)=1>0,g(1)=1﹣1+ g(2)=1﹣2 <0, >0, <0,

∴x2∈(1,2) , 故选 B. 点评: 此题是个基础题.本题主要考查函数零点的判定定理的应用. 7. (2012?临沂二模)已知函数 f(x)的定义域为[﹣1,5],部分对应值如下表. x 0 4 5 ﹣1 1 2 2 1 f(x) f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示. 下列关于函数 f(x)的命题: ①函数 y=f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在[0,2]是减函数; ③如果当 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)﹣a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是( )

A.4 个

B.3 个

C.2 个

D.1 个

考点: 函数的单调性与导数的关系;函数的最值及其几何意义;函数的周期性;函数的零点. 专题: 数形结合. 分析: 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象,再借助与图象和导函数的图象,对四个命题, 一一进行验证,对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案. 解答: 解:由导函数的图象和原函数的关系得,原函数的大致图象如图:
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由图得:①为假命题,[﹣1,0]与[4,5]上单调性相反,但原函数图象不一定对称.
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www.jyeoo.com ②为真命题.因为在[0,2]上导函数为负,故原函数递减; ③为假命题,当 t=5 时,也满足 x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是 2; ④为假命题,当 a 离 1 非常接近时,对于第二个图,y=f(x)﹣a 有 2 个零点,也可以是 3 个零点. 综上得:真命题只有②. 故选 D. 点评: 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系.二者之间的关系是:导函数为正,原函数递增;导函 数为负,原函数递减. 8. (2012?荆州模拟)已知函数 f(x)=2 +x,g(x)=x+log2x,h(x)=x +x 的零点依次为 a,b,c,则 a,b,c 的 大小顺序正确的是( ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a 考点: 专题: 分析: 解答: 函数的零点与方程根的关系;对数函数的图像与性质. 计算题. 先判断函数 f(x) 、g(x) 、h(x)的零点所在区间,再比较大小即可. x x x 解:对于函数 f(x)=2 +x,令 2 +x=0,∴2 =﹣x, x ∵2 >0,∴x<0,∴a<0 对于函数 g(x) ,令 log2x+x=0, ∴log2x=﹣x,令 z(x)=log2x,p(x)=﹣x,在同一坐标系作图可得 ∴0<b<1,
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x

3

对于函数 h(x)=x +x=x(x +1) ,令 h(x)=0 则,x=0,所以 c=0. 故选 A.

3

2

点评: 本题主要考查函数零点所在区间的判定方法.属基础题. 9. (2012?江西模拟)某大学的信息中心 A 与大学各部门,各院系 B、C、D、E、F、G、H、I 之间拟建立信息联网 工程,实际测算的费用如图所示(单位:万元) ,请观察图形,可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院 系都能联通(直接或中转) ,则最少的建网费用是( )

A.12 万元 考点: 函数最值的应用. 专题: 阅读型.

B.13 万元

C.14 万元

D.16 万元

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www.jyeoo.com 分析: 根据题意可知可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通(直接或中转) ,从图形可以看 出,最佳建网路线:A﹣H﹣G﹣F,A﹣E﹣D﹣C,A﹣B,A﹣I,最后计算出此时费用即可. 解答: 解:可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通(直接或中转) , 可考虑实际测算的费用每段中最小的网路线 最佳建网路线:A﹣H﹣G﹣F,A﹣E﹣D﹣C,A﹣B,A﹣I 此时费用为:1+1+1+1+2+2+3+2=13 故选 B 点评: 本题考查函数最值的应用,是一个读图题,从图形中观测出信息中心 A 与大学各部门,各院系 B、C、D、 E、F、G、H、I 之间拟建立信息联网工程共有几条网路线,找一条包括实际测算的费用最小的网路线,是 解题的关键,易错在未找到最佳建网路线. 10. (2012?贵溪市模拟)函数 f(x)=2 ﹣lnx﹣a 恰有两个不同的零点,则 a 的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(1,+∞) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;数形结合. ﹣ ﹣ 分析: f(x)=2|x 1|﹣lnx﹣a 恰有两个不同的零点,可以转化为函数 r(x)=2|x 1|与 g(x)=lnx+a 有两个交点,作 出它们的图象,易得 ﹣ ﹣ 解答: 解:f(x)=2|x 1|﹣lnx﹣a 恰有两个不同的零点,可以转化为函数 r(x)=2|x 1|与 g(x)=lnx+a 有两个交点, 如图,当 a>1 时,函数图象都有两个交点
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|x﹣1|

故 a>1 函数 f(x)=2 故选 D

|x﹣1|

﹣lnx﹣a 恰有两个不同的零点

点评: 本题考查函数零点的判定定理,本题采用图象法寻求使得使函数有两个零点的条件,故解决本题的关键是 把 f(x)=2 ﹣lnx﹣a 恰有两个不同的零点,转化为函数 r(x)=2 此才好依据图象做出正确判断. 二.填空题(共 8 小题) 11. (2013?烟台一模)给出下列命题:
|x﹣1| |x﹣1|

与 g(x)=lnx+a 有两个交点,如

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www.jyeoo.com ①函数 y= 在区间[1,3]上是增函数;
x 2

②函数 f(x)=2 ﹣x 的零点有 3 个; ③函数 y=sin x(x∈[﹣π,π])图象与 x 轴围成的图形的面积是 S= ④若 ξ~N(1,σ ) ,且 P(0≤ξ≤1)=0.3,则 P(ξ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上) ②④ . : 考点: 命题的真假判断与应用;函数单调性的判断与证明;函数的零点;定积分;正态分布曲线的特点及曲线所 表示的意义. 专题: 阅读型. 分析: ①借助于导数来解决函数的单调性问题; ②函数的零点问题可借助于两函数图象的交点来完成,用图形来做; ③考查定积分的几何意义;
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2

④考查正态分布的有关概率,注意 ξ~N(1,σ ) ,即是 1 的左右两侧的概率全是 0.5. 解答: 解:①由于 的导函数是
x 2

2

,令 y′>0,解得﹣2<x<2,故①错误;
x 2

②由于函数 f(x)=2 ﹣x 的零点的个数即是方程 2 ﹣x =0 的解的个数,也是函数 个数, 在同一直角坐标系中,分别画出两函数的图象如下:

交点

则函数有三个零点,故②正确; ③由于函数 y=sin x(x∈[﹣π,π])图象是关于关于原点对称,故与 x 轴围成的图形的面积是 S=
2

,故③错; =0.2,故④正确.

④由于 ξ~N(1,σ ) ,则 P(0≤ξ≤1)=P(1≤ξ≤2)=0.3,则 P(ξ≥2)=

故答案为②④. 点评: 本题考查的知识点是,判断命题真假,我们可以对四个结论逐一进行判断,方可得到正确的结论

12. (2013?奉贤区一模)已知函数

若 f(a)= ,则 a= ﹣1 或



考点: 函数的值;分段函数的应用. 专题: 计算题.

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www.jyeoo.com 分析: a 当 a>0 时,log2a= ;当 a≤0 时,2 = .由此能求出 a 的值. 解答: 解:当 a>0 时,log2a= ∴a= ,
a
﹣1

当 a≤0 时,2 = =2 , ∴a=﹣1. ∴a=﹣1 或 . 故答案为:﹣1 或 . 点评: 本题考查孙数值的求法,解题时要认真审题,注意分段函数的函数值的求法.

13. (2013?东城区模拟)设函数 3个 .

则函数 g(x)=f(x)﹣log4x 的零点个数为

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 作图题. 分析: 在同一坐标系中画出函数函数 f x) ( 与函数 y=log4x 的图象, 两函数图象交点的个数即为函数 y=f x) ( ﹣log3 x 的零点的个数. 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣log4x=0 得 f(x)=log4x
1323125

∴函数 g(x)=f(x)﹣log4x 的零点个数即为函数 f(x)与函数 y=log4x 的图象的交点个数, 在同一坐标系中画出函数 f(x)与函数 y=log4x 的图象,如图所示, 有图象知函数 y=f(x)﹣log4 x 上有 3 个零点. 故答案为:3 个.

点评: 此题是中档题.考查函数零点与函数图象交点之间的关系,体现了转化的思想和数形结合的思想,体现学 生灵活应用图象解决问题的能力. 14. (2012?南京一模)若方程 lg|x|=﹣|x|+5 在区间(k,k+1) (k∈Z)上有解,则所有满足条件的 k 的值的和为 ﹣ 1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 根的存在性及根的个数判断. 数形结合;函数思想. 构造函数 y=lg|x|,y=﹣|x|+5,画出图象,结合函数的奇偶性,推出结论. 解:由方程可令,y=lg|x|,y=﹣|x|+5,画出图象, 两个函数都是偶函数,
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www.jyeoo.com 所以函数图象的交点,关于 y 轴对称, 因而方程 lg|x|=﹣|x|+5 在区间(k,k+1) (k∈Z)上有解, 一根位于(﹣5,﹣4) ,另一根位于(4,5) 的值为﹣5 和 4, ,K 则所有满足条件的 k 的值的和:﹣1, 故答案为:﹣1

点评: 本题考查知识点是根的存在性及根的个数判断、函数的应用,函数与方程的思想,数形结合思想,是中档 题. 15. (2012?黄浦区二模)已知函数 f(x)=|x ﹣2ax+a|(x∈R) ,给出下列四个命题: ①当且仅当 a=0 时,f(x)是偶函数; ②函数 f(x)一定存在零点; ③函数在区间(﹣∞,a]上单调递减; ④当 0<a<1 时,函数 f(x)的最小值为 a﹣a . 那么所有真命题的序号是 ①④ . 考点: 命题的真假判断与应用;函数奇偶性的性质;函数的零点. 分析: (1)当 f(x)是偶函数时,函数解析式中不能含有奇数次项; (2)二次函数的零点是函数与 X 轴交点的横坐标,举个反例即可; (3)分段函数单调性要根据每段函数解析式来求,举个反例即可; 2 2 2 (4)当 0<a<1 时,函数 f(x)=|x ﹣2ax+a|=x ﹣2ax+a>0 恒成立,此时函数 f(x)的最小值为 a﹣a . 解答: 解:由于函数 f(x)=|x2﹣2ax+a|(x∈R) , 2 ①当 a=0 时,f(x)=x ,则 f(x)是偶函数; 当 f(x)是偶函数时,函数解析式中不能含有奇数次项,则﹣2a=0,即 a=0. 故①为真命题. 2 2 2 ②∵△=4a ﹣4a=4a(a﹣1) ,当 0<a<1 时,△ <0,函数 f(x)=|x ﹣2ax+a|=x ﹣2ax+a>0 恒成立, 此时函数 f(x)不存在零点,∴②是假命题.
1323125

2

2

③由于函数 f(x)=x ﹣2ax+a 在区间(﹣∞,a]上单调递减, 2 2 但函数 f(x)=|x ﹣2ax+a|(x∈R)是由函数 f(x)=x ﹣2ax+a 把 X 轴下方图象沿 X 轴旋转 180 度得到的, 2 则函数 f(x)=|x ﹣2ax+a|(x∈R)在区间(﹣∞,a]上单调递减不一定成立. 故③是假命题. 2 2 2 ④当 0<a<1 时,函数 f(x)=|x ﹣2ax+a|=x ﹣2ax+a>0 恒成立,此时函数 f(x)的最小值为 a﹣a . 故④是真命题. 故答案为①④. 点评: 本题考查的知识点是,判断命题真假,比较综合的考查了二次函数和分段函数的一些性质,我们可以根据 函数的性质对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论.

2

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www.jyeoo.com 16. (2012?福建)对于实数 a 和 b,定义运算“﹡”:a*b= 设 f(x)=(2x﹣1)﹡(x﹣1) ,且关于

x 的方程为 f (x) (m∈R) =m 恰有三个互不相等的实数根 x1, 2, 3, x1x2x3 的取值范围是 x x 则



考点: 根的存在性及根的个数判断;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 新定义. 分析: 根据所给的新定义,写出函数的分段形式的解析式,画出函数的图象,在图象上可以看出当直线与函数的 图象有三个不同的交点时 m 的取值,根据一元二次方程的根与系数之间的关系,写出两个根的积和第三个 根,表示出三个根之积,根据导数判断出函数的单调性,求出关于 m 的函数的值域,得到结果. 解答: 解:∵2x﹣1≤x﹣1 时,有 x≤0,
1323125

∴根据题意得 f(x)=

即 f(x)= 画出函数的图象从图象上观察当关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根时,m 的取 值范围是(0, ) , 当﹣x +x=m 时,有 x1x2=m, 当 2x ﹣x=m 时,由于直线与抛物线的交点在 y 轴的左边,得到 ∴x1x2x3=m( 令 y= 则 >h(0)=1 ∴ ∴函数 y= <0 在 m∈(0, )上成立, 在这个区间(0, )上是一个减函数, , ,又 在 m∈(0, )上是增函数,故有 h(m) )= ,m∈(0, )
2 2



∴函数的值域是(f( ) ,f(0),即 ) 故答案为:

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点评: 本题考查分段函数的图象,考查新定义问题,这种问题解决的关键是根据新定义写出符合条件的解析式, 本题是一个综合问题,涉及到导数判断函数的单调性,本题是一个中档题目.

17. (2012?东城区模拟)函数 f(x)=ln(x+2)﹣ 的零点所在区间是(n,n+1) ,则正整数 n= 1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

函数零点的判定定理. 计算题. 由于本题是填空题,求的又是正整数,所以可以用特殊值法来解.代入 1 即可. 解:因为 n 是正整数,所以可以从最小的 1 来判断, 当 n=1 时,f(1)=ln(1+2)﹣2=ln3﹣2<0,而 f(2)=ln(2+2)﹣1>0, 所以 n=1 符合要求.
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又因为 f(x)=ln(x+2)﹣ ,

所以 f'(x)=

+

=

在定义域内恒大于 0,故原函数递增,

所以当 n>2 时,f(n)>f(2)>0,即从 2 向后无零点. 故答案为 1. 点评: 本题考查了函数零点的判定定理.在解题过程中用了填空题和选择题的特有解法;特殊值法.

18. (2011?闸北区二模)若函数 f(x)=2

|x﹣3|

+logax+1 无零点,则 a 的取值范围为



考点: 专题: 分析: 解答:

函数零点的判定定理. 作图题;数形结合;转化思想. 把函数的零点转化为两函数图象的交点,利用图象直接得结论.
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解:∵函数 f(x)=2 +logax+1 无零点, |x﹣3| ∴y=2 与 y=logax﹣1 的图象无交点, 在同一坐标系中画出函数, 当 0<a<1 时,两个函数图象有交点,因此不符合题意; 当 a>1 时,∵函数 f(x)=2 ∴﹣1+loga3<1,解得 a ∴的取值范围为
|x﹣3|

|x﹣3|

﹣logax+1 无零点, ,
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www.jyeoo.com 故答案为 .

点评: 本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围.是道中档题. 三.解答题(共 8 小题) 2 19. (2013?南开区二模)已知函数 f(x)=alnx﹣bx 图象上一点 P(2,f(2) )处的切线方程为 y=﹣3x+2ln2+2. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若方程 f(x)+m=0 在 内有两个不等实根,求 m 的取值范围(其中 e 为自然对数的底数) ;

(Ⅲ)令 g(x)=f(x)﹣kx,若 g(x)的图象与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2,0) (其中 x1<x2) ,AB 的中点为 C (x0,0) ,求证:g(x)在 x0 处的导数 g′(x0)≠0. 考点: 函数与方程的综合运用;函数的零点与方程根的关系;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)只需要利用导数的几何意义即可获得两个方程解得两个未知数;
2

1323125

(Ⅱ)先要利用导数研究好函数 h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x +m,的单调性,结合单调性及在

内有

两个不等实根通过数形结合易知 m 满足的关系从而问题获得解答; (Ⅲ)用反证法现将问题转化为有关方程根的形式,在通过研究函数的单调性进而通过最值性找到矛盾即 可获得解答. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)= ﹣2bx, ∴ ,且 aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2. ,f(2)=aln2﹣4b.

解得 a=2,b=1. 2 2 (Ⅱ)f(x)=2lnx﹣x ,令 h(x)=f(x)+m=2lnx﹣x +m, 则
/



令 h (x)=0,得 x=1(x=﹣1 舍去) . 在 当 内, 时,h (x)>0,
/

∴h(x)是增函数; / 当 x∈[1,e]时,h (x)<0, ∴h(x)是减函数,

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www.jyeoo.com 则方程 h(x)=0 在 内有两个不等实根的充要条件是:




2

(Ⅲ)g(x)=2lnx﹣x ﹣kx, 假设结论成立,则有:



①﹣②,得



∴ 由④得 ,







,即

.⑤





(0<t<1) ,



>0.

∴u(t)在 0<t<1 上增函数, ∴u(t)<u(1)=0, ∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴g'(x0)≠0. 点评: 本题考查的是函数与方程以及导数知识的综合应用问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、
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www.jyeoo.com 数形结合的思想、问题转化的思想以及反证法.值得同学们体会反思. 20. (2013?潮州二模)设 a>0,函数 (Ⅰ)证明:存在唯一实数 . ,使 f(x0)=x0;
*

(Ⅱ)定义数列{xn}:x1=0,xn+1=f(xn) ,n∈N . (i)求证:对任意正整数 n 都有 x2n﹣1<x0<x2n; (ii) 当 a=2 时,若 ,证明:对任意 m∈N 都有:
*



考 数列与不等式的综合;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性. 点 : 专 证明题;综合题. 题 : 分 第 1 问在一个区间有唯一零点需满足两个条件: (1)在这个区间单调; (2)区间端点函数值异号.第 2 问要利用 析 数学归纳法证明,关键在于 xn+1=f(xn)的应用.第 3 问要分 k=1,k≥2,情况进行证明为 m∈N*时证明做铺垫, : 在其中结合不等式证明方法中的放缩法进行适当的放缩,还有等比数列求和公式. 3 解 解: (Ⅰ)证明:①f(x)=x?x +ax﹣1=0.…(1 分) 答 令 h(x)=x3+ax﹣1,则 h(0)=﹣1<0, , :
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2

.…(2 分)
3

又 h′(x)=3x +a>0,∴h(x)=x +ax﹣1 是 R 上的增函数.…(3 分) 故 h(x)=x +ax﹣1 在区间 即存在唯一实数 (Ⅱ) (i)当 n=1 时,x1=0, 分) 设当 n=k(k≥2)时,x2k﹣1<x0<x2k,注意到 故有:f(x2k﹣1)>f(x0)>f(x2k) ,即 x2k>x0>x2k+1 ∴f(x2k)<f(x0)<f(x2k+1) ,…(7 分) 即 x2k+1<x0<x2k+2.这就是说,n=k+1 时,结论也成立. 故对任意正整数 n 都有:x2n﹣1<x0<x2n.…(8 分) (ii)当 a=2 时,由 x1=0 得: 当 k=1 时, , …(9 分) 在(0,+∞)上是减函数,且 xk>0,
3

上有唯一零点, 使 f(x0)=x0.…(4 分) ,由①知 ,即 x1<x0<x2 成立;…(5

…(10 分) 当 k≥2 时,∵ ,

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www.jyeoo.com ∴

…(12 分) 对?m∈N , |xm+k﹣xk|=|(xm+k﹣xm+k﹣1)+(xm+k﹣1﹣xm+k﹣2)+…+(xk+1﹣xk)|≤|xm+k﹣xm+k﹣1|+|xm+k﹣1﹣xm+k﹣2|+…+|xk+1﹣ xk| …(13 分)
*

=

…(14 分)

点 本题考查了在一个区间有唯一零点需满足的条件,往往会出现只对端点函数值异号,而忽略单调的条件出现错 评 误.第 2 问考查了数学归纳法证明,难点在于由 n=k 时成立,如何得出 n=k+1 也成立.第 3 问难点在于|xm+k﹣ : xk|=|(xm+k﹣xm+k﹣1)+(xm+k﹣1﹣xm+k﹣2)+…+(xk+1﹣xk)|这个式子的得出.总体来说本题比较难. 21. (2012?密云县一模)已知函数 f(x)=﹣ +2ax ﹣3a x+1,0<a<1.
2 2

(Ⅰ)求函数 f(x)的极大值; (Ⅱ)若 x∈[1﹣a,1+a]时,恒有﹣a≤f′(x)≤a 成立(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,试确定实数 a 的取 值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数最值的应用. 专题: 计算题;综合题. 分析: (I)对函数求导,结合 f′(x)>0,f′(x)<0,f′(x)=0 可求解
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(II)由题意可得﹣a≤﹣x +4ax﹣3a ≤a 在[1﹣a,1+a]恒成立,结合二次函数的对称轴 x=2a 与区间[1﹣a, 1+a]与的位置分类讨论进行求解.
2 2 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=﹣x +4ax﹣3a ,且 0<a<1, 分) (1 当 f′(x)>0 时,得 a<x<3a; 当 f′(x)<0 时,得 x<a 或 x>3a; ∴f(x)的单调递增区间为(a,3a) ; f(x)的单调递减区间为(﹣∞,a)和(3a,+∞)(5 分) . 故当 x=3a 时,f(x)有极大值,其极大值为 f(3a)=1. 分) (6 2 2 2 2 (Ⅱ)f′(x)=﹣x +4ax﹣3a =﹣(x﹣2a) +a ,

2

2

ⅰ)当 2a≤1﹣a 时,即

时,f′(x)在区间[1﹣a,1+a]内单调递减.
2

∴[f′(x)]max=f′(1﹣a)=﹣8a +6a﹣1,[f′(x)]min=f′(1+a)=2a﹣1. ∵﹣a≤f′(x)≤a,∴ ∴ ∴ .

此时,

. 分) (9 ,[f′(x)]max=f′(2a)=a .
2

ⅱ)当 2a>1﹣a,且 2a<a+1 时,即

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∵﹣a≤f′(x)≤a,∴









此时,

. (12 分)

ⅲ)当 2a≥1+a 时,得 a≥1 与已知 0<a<1 矛盾. (13 分) 综上所述,实数 a 的取值范围为 . (14 分)

点评: 本题综合考查了函数的导数的运用及二次函数在闭区间上的最值问题, (II)的求解的关键是要对二次函数 的对称轴相对区间的位置分类讨论,体现了分类讨论的思想在解题中的应用. 22. (2012?吉安二模)广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产,按国际惯例以美元为结算货币, 依据以往加工生产的数据统计分析,若加工产品订单的金额为 X 万美元,可获得的加工费近似地为 ln(2x+1)万 美元,受美联储货币政策的影响,美元值,由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间,收益将因美元赔值而 损失 mx 万美元,其中 m 为该时段美元的贬值指数是 m∈(0,1) ,从而实际所得的加工费为 f(x)= ln(2x+1) ﹣mx(万美元) . (1)若某时期美元贬值指数 m= X 应在什么范围内? (2)若该企业加工产品订单的金额为 X 万美元时共需要的生产成本为 x 万美元,己知该企业加工生产能力为 ,为确保企业实际所得加工费随 X 的增加而增加,该企业加工产品订单的金额

x∈[10,20](其中 X 为产品订单的金额) ,试问美元的贬值指数 m 在何范围时,该企业加工生产将不会出现亏损. 考点: 函数模型的选择与应用;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: ′ (1)由 m= ,得 f(x)= ln(2x+1)﹣ ,对 f(x)求导,并令 f (x)>0,可解得 x 的值;即为
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所求. (2)企业加工生产不出现亏损,即 x∈[10,20]时, ln(2x+1)﹣mx≥ +m≤ ,令 g(x)= x 恒成立,通过变形,得


,x∈[10,20],对 g(x)求导,得 g (x)


=

;再令 h(x)=2x﹣(2x+1)ln(2x+1) ,对 h(x)求导,得 h (x)<0,

从而得 h(x)在[10,20]上单调递减,即 h(20)≤h(x)≤h(10)<0,所以 x∈[10,20]时,g(x)单调递 减,从而得 gmin(x)=g(20) ,即 m≤g(20)﹣ 解答: 解: (1)由已知 m= ,f(x)= ln(2x+1)﹣ ;即得美元的贬值指数 m 的范围. , (其中 x>0) ;

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www.jyeoo.com ∴f (x)=
′ ′



=



由 f (x)>0,即 199﹣2x>0,解得 0<x<99.5; 即加工产品订单金额 x∈(0,99.5) (单位:万美元)时,该企业的加工费随 x 的增加不断增长. (2)依题意,企业加工生产不出现亏损,则 当 x∈[10,20]时,都有 ln(2x+1)﹣mx≥ 令 g(x)= ,x∈[10,20],则 x,即 +m≤ ,

g (x)=



=



令 h(x)=2x﹣(2x+1)ln(2x+1) ,则 h (x)=2﹣[2ln(2x+1)+(2x+1)


]=﹣2ln(2x+1)<0,

可知 h(x)在[10,20]上单调递减,从而 h(20)≤h(x)≤h(10) ; 又 h(10)=20﹣21ln21<21(1﹣ln21)<0, 即 x∈[10,20]时,知 g(x)在[10,20]上单调递减, 因此,gmin(x)= ,即 m≤ ﹣ ; 时,该企业加工生产不会亏损.

故当美元的贬值指数 m∈

点评: 本题考查了导数在求函数最值问题中的应用:当导数大于 0 时,函数在该区间内单调递增;导数小于 0 时, 函数在该区间单调递增.

23. (2012?湖南模拟)设函数 (1) ;

,求证:

(2)函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点; (3)设 x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 .

考点: 根与系数的关系;二次函数的性质;函数零点的判定定理. 专题: 计算题. 分析: (1)由已知,得出>0,b<0,2c=﹣3a﹣2b,利用不等式基本性质,即可证明. (2)可以证出当 c>0 时,f(0)f(1)<0,当 c≤0 时,f(2)f(1)<0,根据零点存在性定理,即可证 出. 2 (3)x1,x2 是函数 f(x)的两个零点,则 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根,利用二次方程根与系数的关
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系,得出 结合(1)进行证明即可. 解答: 证明: (1)∵ ∴3a+2b+2c=0

,再

又 3a>2c>2b∴3a>0,2b<0∴a>0,b<0…(2 分) 又 2c=﹣3a﹣2b 由 3a>2c>2b∴3a>﹣3a﹣2b>2b

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www.jyeoo.com ∵a>0∴ …(4 分)

(2)∵f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=a﹣c…(6 分) ①当 c>0 时,∵a>0,∴f(0)=c>0 且 ∴函数 f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点…(8 分) ②当 c≤0 时,∵a>0∴ ∴函数 f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. 综合①②得 f(x)在(0,2)内至少有一个零点…(10 分) (3)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个零点 2 则 x1,x2 是方程 ax +bx+c=0 的两根 ∴ …(12 分)







…(15 分)

点评: 本题是函数与不等式、方程的结合.考查二次函数性质、函数零点、不等式的证明,考查计算、论证能力.
2

24. (2012?道里区二模)设函数

,g(x)=2x +4x+c.

(1)试问函数 f(x)能否在 x=﹣1 时取得极值?说明理由; (2)若 a=﹣1,当 x∈[﹣3,4]时,函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,求 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的零点与方程根的关系;函数在某点取得极值的条件. 专题: 综合题. 分析: (1)利用反证法:根据 f(x)的解析式求出 f(x)的导函数,假设 x=﹣1 时 f(x)取得极值,则把 x=﹣1 代入导函数,导函数值为 0 得到 a 的值,把 a 的值代入导函数中得到导函数在 R 上为增函数,没有极值与 在 x=﹣1 时 f(x)取得极值矛盾,所以得到 f(x)在 x=﹣1 时无极值; (2)把 a=﹣1 代入 f(x)确定出 f(x) ,然后令 f(x)与 g(x)相等,移项并合并得到 c 等于一个函数, 设 F(x)等于这个函数,G(x)等于 c,求出 F(x)的导函数,令导函数等于 0 求出 x 的值,利用 x 的值 讨论导函数的正负得到 F(x)的单调区间,进而得到 F(x)的极大值和极小值,函数 f(x)与 g(x)的 图象有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点,根据 F(x)的极大值和极小值写出 c 的取值 范围即可. 2 解答: 解: (1)由题意 f′(x)=x ﹣2ax﹣a, 假设在 x=﹣1 时 f(x)取得极值,则有 f′(﹣1)=1+2a﹣a=0,∴a=﹣1, 2 2 而此时,f′(x)=x +2x+1=(x+1) ≥0,函数 f(x)在 R 上为增函数,无极值. 这与 f(x)在 x=﹣1 有极值矛盾,所以 f(x)在 x=﹣1 处无极值;
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(2)令 f(x)=g(x) ,则有 x ﹣x ﹣3x﹣c=0,∴c= x ﹣x ﹣3x, 设 F(x)= x ﹣x ﹣3x,G(x)=c,令 F′(x)=x ﹣2x﹣3=0,解得 x1=﹣1 或 x=3. 列表如下:
3 2 2

3

2

3

2

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由此可知:F(x)在(﹣3,﹣1)(3,4)上是增函数,在(﹣1,3)上是减函数. 、 当 x=﹣1 时,F(x)取得极大值 F(﹣3)=F(3)=﹣9,而 . ;当 x=3 时,F(x)取得极小值

如果函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点, 所以 或 c=﹣9.

点评: 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间,会根据函数的增减性得到函数的极值,掌握函数 的零点与方程根的关系,是一道中档题. 25. (2011?浙江模拟)已知函数 f(x)=x ﹣2lnx,h(x)=x ﹣x+a. (Ⅰ)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)设函数 k(x)=f(x)﹣h(x) ,若函数 k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点. 专题: 计算题. 分析: (I)先在定义域内求出 f′(x)=0 的值,再讨论满足 f′(x)=0 的点附近的导数的符号的变化情况,来 确定极值; (II)先求出函数 k(x)的解析式,然后研究函数 k(x)在[1,3]上的单调性,根据函数 k(x)在[1,3]
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2

2

上恰有两个不同零点,建立不等关系

,最后解之即可.

解答:

解: (Ⅰ)∵

,令 f′(x)=0,∵x>0∴x=

所以 f(x)的极小值为 1,无极大值. 分) (7 (Ⅱ)∵ x 1 (0,1) (1,+∞) 0 + f′(x) _ 1 f(x) 减 增 , 若 k′(x)=0,则 x=2 当 x∈[1,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(2,3]时,f′(x)>0. 故 k(x)在 x∈[1,2)上递减,在 x∈(2,3]上递增. (10 分)





所以实数 a 的取值范围是: (2﹣2ln2,3﹣2ln3](15 分)
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www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数的零点等有关基础知识,考查运算求解能力、推理论 证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 26. (2011?闸北区二模)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 2 元,并且每件产品需向总公司交 a 元 (2≤a≤6)的管理费,预计当每件产品的销售价为 x 元(7≤x≤9)时,一年的销售量为(12﹣x)万件. (1)求该分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该分公司一年的利润 L 最大,并求 L 的最大值 Q(a) . 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 综合题;分类讨论. 分析: (1)根据题意先求出每件产品的利润,再乘以一年的销量,便可求出分公司一年的利润 L(万元)与每件 产品的售价 x 的函数关系式;
1323125

(2)根据 L 与 x 的函数关系式先求出该函数的导数,令 L′(x)=0 便可求出当 再根据 a 的取值范围分类讨论当 a 取不同的值时,最大利润各为多少. 解答: 解: (1)该分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式为: L=(x﹣a﹣2) (12﹣x) ,x∈[7,9].…(6 分) (2)当 2≤a<4 时,此时, ,

时,利润最大,

所以,当

时,L 的最大值 ,

,…(3 分)

当 4≤a≤6 时,此时,

所以,当 x=9 时,L 的最大值 Q(a)=3(7﹣a) .…(3 分) 答: 2≤a<4, 若 则当每件产品售价为 元时, 该分公司一年的利润 L 最大, 最大值 ;

若 4≤a≤6,则当每件产品售价为 9 元时,该分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=3(7﹣a) . … (2 分) 点评: 本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题,是各地高考的热点和难点,解题 时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用,属于中档题.

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