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抛物线焦点弦的性质复习 2


一、复习 ⒈焦点弦的定义 ⒉焦半径公式 若M ( x0 , y0 ) 在焦点为F的抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上, ⒊通径
p 则|MF| = x 0 ? 2

| H1 H 2 |? 2 p

y y
M
H2 O O

F F
H1

x x

p x?? 2

二、抛物线y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质
下记AB为焦点弦, 1 H 2为通径 H 1. 若H1、H 2的纵坐标为 1、y2,则 y1 y2 ? ? p 2 y 2. 若A、B的纵坐标为 1、y2,则 y1 y2 ? ? 2 y ?p
y1 y2 ? ? p2 1) 若AB ? x轴,则由1.知
课本P119习题 8.5的第7题

2) 若AB不垂直于 x轴,则设 l AB
由? 2 ? y ? 2 px 2p 2 消x,得 : y ? y ? p2 ? 0 k ? y1 y2 ? ? p2 ? y ? k( x ?
p ) 2

p : y ? k( x ? ) 2

y
B F
O

x
A

二、抛物线y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质
下记AB为焦点弦, 1 H 2为通径 H
若A、B的纵坐标为 1、y2,则 y1 y2 ? ? p2 y p2 1. 若A、B的 横 坐 标 为 1、x2, 则x1 x2 ? x 4

2. 若直线与抛物线 2 ? 2 px ( p ? 0)的两个交点的纵坐标 y y1、y2,满足 y1 y2 ? ? p 2,则该直线是否经过焦F ? 点

2. 若 直 线 与 抛 物 线 2 ? 2 px ( p ? 0)的 两 个 交 点 的 纵 坐 标1、y2, y y 满 足 y1 y2 ? ? p 2, 则 该 直 线 是 否 经 过 点F ? 焦

设交点为 ( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ) A p 1) 若 x1 ? x2,则| y1 | ? | y2 | ? p ? x1 ? x2 ?

?直线AB过焦点F
2) x1 ? x2 , 则k AB 若
k AF ? y1 p x1 ? 2

2

?

2 py1 ? ? 2 y1 p ? 2 2 y1 ? y1 y2 y1 ? y2 y1 ? p ? 2p 2
2

y1

y2 ? y1 ? x2 ? x1

?

y2 ? y1 2p 2 2 y2 y1 ? ? y1 ? y2 2p 2p 2p 2 py1

y
B

? k AB ? k AF

?直线AB过焦点F
2

F
O

若A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )在抛物线y ? 2 px ( p ?A )上, 0 则 y1 y2 ? ? p 2 ? 直线AB过焦点 F

x

p 焦半径 | AF | ? x A ? 2 焦点弦长 | AB | ? x A ? xB ? p

y
B

通径| H1 H 2 | ? 2 p

2p 焦点弦长 | AB | ? sin 2 ?

(其中?为直线AB 与

O

F A

x

的倾斜角) 对称轴的夹角) p p x?? 当? ? 90? 时, l AB : y ? ( x ? ) tan? 2
2

2p ? x1 ? x2 ? p ? , 2 tan ?

p2 消 y, 得 : 2 tan2 ? ? ( p tan2 ? ? 2 p) x ? x tan2 ? ? 0 4 2
p x1 x2 ? 4
tan2 ? ? 1 2p ? 2p ? tan2 ? si n2 ?

p ? y ? ( x ? ) tan? 2 由 ? 2 ? y ? 2 px

2p 2 p2 2 ?| AB |? 1 ? tan ? ( p ? ) ?4 2 tan ? 4

二、抛物线y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦性质
下记AB为焦点弦, 1 H 2为通径 H
若A、B的纵坐标为 1、y2,则 y1 y2 ? ? p2 y p2 1. 若A、B的 横 坐 标 为 1、x2, 则x1 x2 ? x 4 2. 若A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )在抛物线y 2 ? 2 px ( p ? 0)上,

则 y1 y2 ? ? p 2 ? 直线AB过焦点 F

1) 焦点弦长 AB | ? x1 ? x2 ? p |
2p 2) 焦点弦长 | AB | ? sin 2 ? (其中?为直线AB与 对称轴的夹角)

⒈过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点.若 x1 ? x2 ? 6 ,则|AB|= ___________ 8

焦点弦长| AB | ? x1 ? x2 ? p
⒉过抛物线 y 24 为________;一条焦点弦长为16,则弦所在的直线倾斜 ? 2 角为 _________. 或 ?
3 3
2

3 ? 12x 的焦点作倾斜角为 ? 的弦,则此弦长 4

2p 焦点弦长 | AB | ? (其中?为直线AB与对称轴的夹角) 2 sin ? m 2 ⒊过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的对称轴上有一点M (p, 0),

作一条直线与抛物线交于A、B两点,若A点纵坐标为 p ? ,则B点纵坐标为 ________ 4p 2
2p ? y ? k ( x ? p) 2 由? 2 ?y ? y ? 2 p 2 ? 0 ? y1 y2 ? ?2 p 2 k ? y ? 2 px

4.若AB是抛物线 y ? 2 px 的一条弦,O为坐标原点, 则OA ?OB 的充要条件是弦AB过点(2p,0)。
2

5.过抛物线 焦点的一条直线,与它交于P、Q两点, 经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证 直线MQ平行于抛物线的对称轴。
(课本P123习题第6题)

变:设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线 上,且BC?? x轴,证明AC经过原点O。 (01高考)
2

本节课,我们主要从代数(方程)的角度研究抛物线 的焦点弦的一些性质。而对于从几何观点去研究它的

性质,希望同学们课后完成。

探究抛物线焦点弦的其它性质


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