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数学建模 mathematica


数学建模与数学实验
网上作业

张楠 工业 0901 09224029

2011/5/26

数学建模与数学实验 题 1:
问题描述: 问题描述 (问题中使用的长度单位 E(英尺,1E=30.24cm),容积单位是 G(加仑, 1G=3.785L))。 某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水 量。 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位 (误差不超过 5%)。当水箱水位低于水位 L 时, 水泵开始工作将水灌入水箱,直 至水位达到最高水位 H 为止。但是依然无法测量水泵灌水流量,因此,在水泵工 作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来。水泵一天灌水 1~2 次,每次约 2h。试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间)t 流出水箱的流量 f (t ), 并估计一天的 总用水量。 表 1 给出了某镇某一天的真实用水数据。 水箱是直径为 57E, 高为 40E 的正 圆柱体。 当水位落到 27E 以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至 35.5E 时,水泵停止工作。 表1 时间/s 水位 10 E 46636 3175 3110 49953 3054 53936 2994 57254 2947 60574 64554 2892 2850 68535 2795 71854 75021 2752 79254 2697 82649 泵水 泵水 85968 3550 89953 3445 93270
?2

时间/s 0 3316 6635 10619 13937 17921 21240 25223 28543 32284 35932 39332 39435 43318

水位 10?2 E 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 泵水 泵水 3475 3397 3340

2

问题分析: 问题分析: 记 V 表示水的容积; Vi 表示时刻 ti (单位:h)水的容积; f (t ) 表示流出水箱 的水的流速(单位:G/h),它是时间的函数; p 表示水泵的灌水速度(G/h)。 先将表 1 中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积 ( V = π r 2 h 单位: 103 G ,1E 3 = 7.481G )。 由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此根据变换后的表的数据计算出 相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度。公式即为: 平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度 然后需要做时间与平均水流量的散点图。用绘制散点图的命令画出数据的散 点图,发现散点图分布不均匀,需用多阶多项式进行拟合。这里采用八阶多项式 进行拟合。根据拟合出的函数做出相应的拟合曲线。 分别将一天中最小时刻和最大时刻代入到水的流速拟合函数,得到这两时刻 的流速,根据它们之间的关系进而求出一天的用水量。 问题求解: 问题求解: (1)先将表 1 中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积 ( V = π r 2 h 单位: 103 G ,1E 3 = 7.481G )。 ①将时间单位换算成 h: 输入: tt={0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223,28543,32284,35932,39332,39435, 43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85 968,89953,93270}/3600//N 输出: {0.,0.921111,1.84306,2.94972,3.87139,4.97806,5.9,7.00639,7.92861,8.96778,9.9811 1,10.9256,10.9542,12.0328,12.9544,13.8758,14.9822,15.9039,16.8261,17.9317,19.0 375,19.9594,20.8392,22.015,22.9581,23.88,24.9869,25.9083} ②水位高转换成水的体积 输入: vv=Pi*(57/2)^2*{3175,3110,3054,2994,2947,2892,2850,2795,2752,2697,no_data,no_ data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data, 3475,3397,3340}*10^(-2)*7.481/10^3//N 输出: {606.098,593.69,583.,571.546,562.574,552.074,544.057,533.557,525.349,514.849,0.

3

190897no_data,0.190897no_data,677.685,657.64,639.505,622.324,604.571,589.299 ,574.982,558.756,542.529,528.212,514.849,0.190897no_data,0.190897no_data,663. 367,648.477,637.596} 根据输出结果,得到表 2,如下: 时间/h 0. 0.921111 1.84306 2.94972 3.87139 4.97806 5.9 7.00639 7.92861 8.96778 9.98111 10.9256 10.9542 12.0328 表2 水量/ 10 G 时间/h 606.098 12.9544 593.69 13.87558 583. 14.9822 15.9039 571.546 16.8261 562.574 17.9317 552.074 544.057 19.0375 533.557 19.9594 20.8392 525.349 22.015 514.849 22.9581 no_data no_data 23.88 24.9869 677.685 25.9083 657.64
3

水量/ 10 3 G 639.505 622.324 604.571 598.299 574.982 558.756 542.529 528.212 514.849 no_data no_data 663.367 648.477 637.593

(2)根据公式:平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区 间长度算出相邻时间区间的中点及在时间区间内水箱中流出的水的平均速度。 ①求相邻时间的中点: 输入: tt1=Table[(tt[[i+1]]+tt[[i]])/2,{i,27}] 输出: {0.460556,1.38208,2.39639,3.41056,4.42472,5.43903,6.45319,7.4675,8.44819,9.474 44,10.4533,10.9399,11.4935,12.4936,13.4151,14.429,15.4431,16.365,17.3789,18.48 46,19.4985,20.3993,21.4271,22.4865,23.419,24.4335,25.4476} ②求水箱中流出的水的平均速度: 输入: vv1=Table[(vv[[i]]-vv[[i+1]])/(tt[[i+1]]-tt[[i]]),{i,27}] 输出: {13.471,11.5953,10.3498,9.73471,9.48735,8.69649,9.48974,8.90086,10.1036,0.9868 42 (514.849 -0.190897 no_data),0. no_data,34.9515 (-677.685+0.190897 no_data),18.5833,19.6766,18.6466,16.0463,16.5697,15.5248,14.677,14.6733,15.529 4,15.1898,0.850461 (514.849 -0.190897 no_data),0. no_data,1.08466 (-663.367+0.190897 no_data),13.4514,11.8095} 根据上述数据得到表 3,如下所示:

4

时间区间 的中点值 /h 0.460556 1.38208 2.39639 3.41056 4.42472 5.43903 6.45319 7.4675 8.44819 9.47444 10.4533 10.9399 11.4935 12.4936

表3 时间区间 平均水流 的中点值 量/ 10 3 G/h /h 13.471 13.4151 11.5953 14.429 10.3498 15.4431 9.73471 16.365 9.48735 17.3789 8.69649 18.4846 9.48974 19.4985 8.90086 20.3993 10.1036 21.4271 no_data 22.4865 no_data 23.419 no_data 24.4335 18.5833 25.4476 19.6766

平均水流 量/ 10 3 G/h 18.6466 16.0463 16.5697 15.5248 14.677 14.6733 15.5294 15.1898 no_data no_data no_data 13.4514 11.8095

(3)作出时间 tt1 与平均水流量 vv1 之间的散点图 先输入调用统计软件包的命令: 执行以后,再输入: Clear[L]; L=Transpose[DropNonNumericColumn[{tt1,vv1*10^3}]] (*命令中 vv1*10^3,使平均水流量 vv1 的单位变为 G/h*) 输出: {{0.460556,13471.},{1.38208,11595.3},{2.39639,10349.8},{3.41056,9734.71},{4.4247 2,9487.35},{5.43903,8696.49},{6.45319,9489.74},{7.4675,8900.86},{8.44819,10103.6 },{11.4935,18583.3},{12.4936,19676.6},{13.4151,18646.6},{14.429,16046.3},{15.4431 ,16569.7},{16.365,15524.8},{17.3789,14677.},{18.4846,14673.3},{19.4985,15529.4},{ 20.3993,15189.8},{24.4335,13451.4},{25.4476,11809.5}} 输入: g1=ListPlot[L] 输出散点图,如下图所示:

5

20000 18000 16000 14000 12000

5

10
图1

15

20

25

(4)采用八阶多项式进行拟合 输入: ft=Fit[L,Table[t^i,{i,0,8}],t] 输出: 16281.3-7839.76t+4690.7 t2-1468.81 t3+240.105 t4-21.1141 t5+1.01086 t6-0.0248442 t7+0.000245474 t8 这就是流出水箱的水的流速关于时 t 的函数 f (t ) 。为作出其拟合曲线图,输 入:

则输出图 2

6

20000 18000 16000 14000 12000

5

10
图2

15

20

25

(5)求解结果

将 t = 0.460556 h 和 t = 24.460556 h 代入到水的流速拟合函数 f (t ) 中到这两时 刻的流速分别近似为 13532.5G/h 和 13196.1G/h,相差仅 2.48587%, 从而可以认为 f (t ) 能近似表达一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数 f (t ) 在 24 小时周期内的积分。 输入: Integrate[ft,{t,0.46,24.46}] 输出: 336012. 若按常规每 1000 人的用水量为 105000G/d, 因此估计出这个地区大约有 3200 人。

题 2:
问题描述: 问题描述: 一艘游船载有 1000 人,一名游客患了某种传染病,10 小时后有 2 人被传染 发病。由于这种传染病没有早期症状,故传染者不能被及时隔离。假设直升飞机 将在 50~60 小时将疫苗运到时,患此传染病的人数。 问题分析: 问题分析: 则 假设 y (t ) 为发现第一个病人后 t 小时时刻的传染人数, y (t ) 对时间 t 的导数

7

dy 可以描述该传染病的传染速率。常识表明,传染病的传染率既受到传染人数 dt 的影响, 有受到未传染人数的影响。 一般情况下, 染病人数越多, 传染速度越快; 未被传染人数越多,传染速度也越快。因此,其影响关系都为正比关系。 在 t 时刻未被传染的人数为 1000 ? y (t ) ,于是可以用以下方程来描述传染速 dy = ky (1000 ? y ) , y (0) = 1 , y (10) = 2 , k 为比例常数。 率: dt
问题求解: 问题求解: 输入:
输出:

因此得到解 y =

e1000 kt
1000 kt

e + c1 1000 由 y (0) = 1 可得 c1 = 999 ;由 y (10) = 2 ,可以得到 1000k = 0.0694149 。

,化简为 y =

1000 。 1 + c1e ?1000 kt

输入: y1[t_]:=1000/(1+999*Exp[-0.0694149t]) Plot[y1[t],{t,0,200}] 输出: 1000

800

600

400

200

50
输入: 输出:31.1888

100

150

200

8

输入: 输出:60.548 因此,在 t = 50 小时患此传染病的人数约为 32 人,在 t = 60 小时患此病的人 数约为 61 人。从这些数字可以看到,从 50 小时到 60 小时这 10 个小时之间,被 传染发病的人数几乎翻了一倍, 因此在传染流行期间应该及时采取措施是很重要 的。如果不采取措施,通过图形可以看到,当 t 在 50~150 小时之间传染最快, 且当 t 趋于无穷大时, y (t ) 趋于 1000 人,导致全游艇人数都被传染。

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