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2011-2012正德中学高三数学第三次市统测试卷分析1


2011-2012 正德中学高三数学第三次市统测试卷分析
一.班级均分情况 班级 一卷 二卷 1310 49.83 0 131
63.45

132 62.60 0 232 56.10 0

133 58.35 0 233 61.97 0

134 60.30 0 234 60.93 0

135 68.00 0 235 71.35 25.90

136 65.60 0 236 81.75 26.15

137 59.73 0 237 76.85 28.75

138 62.77 0 238 64.15 0

139 43.98 0 239 78.65 28.70

0 231
45.18

0

说明:文化、体育班取前 20 名,美术应届取前 30 名,美术往届、音乐应取前 40 名, 音乐往全取。 二.各题得分情况: 题号 均分 题号 均分 1 4.82 11 2.10 2 4.77 12 2.02 3 4.62 13 0.88 4 4.55 14 0.2 5 4.72 15 11.45 6 2.83 16 9.77 7 4.22 17 3.53 8 3.14 18 5.17 9 2.91 19 4.20 10 3.23 20 2.43

说明:文化、体育班取前 20 名,美术应届取前 30 名,美术往届、音乐应取前 40 名, 音乐往全取。从表可知,我校学生在填空题第 6,8,9,10,11,12,13,14,16(2), 17,18(2),19(2)(3),20 错的较多。 三.试卷整体分析 本次考试试卷整体难度太大,但各考点分布比较合理,与 2011 年江苏高考数学卷题型 相当(各题难度均明显上升) ,重点考察学生解决问题的能力。前 5 题较容易,学生看到题 目后就有一些解题想法,6,8,9,10,11,12 各题难度上去了,这不叫中档题,就是难 题,但 13,14 难度太大。解答题 15、16(1)比较平稳,自然过度,受到中等成绩的学生 一致好评,特别是我校的美术生与体育生,但 16(2)图形不好,给学生造成错觉,找不到 、19(1) 、20(1)算正 BE ? OF ,17 题数字较复杂,计算较复杂,解法也不常规。18(1) 常考察的题目学生该能做出来,但其它问难度就太大了。总之整份试题难度比较大,考不出 我们学校学生真实水平,还有些打击学生自信心,不过对培养学生耐挫力有很大帮助。 四.典型题分析 6.主要考察学生的空间想象能力,计算能力,出错原因三棱锥的体积顶点能换出来,但高
1 1 3 找不到或不会计算,即 P 到面距离求不出来。解法: VM ? PBC ? VP ? BCM ? ? 1 ? ? 3 ? 3 ? , 3 2 2

此题放位置不好。 8.主要考察三角函数的图像与性质,用点的坐标表示线段长度,向量的数量积计算,三角函 数的周期性。出错原因 A、B、C 坐标表示不出来。 解法一: A(

? ??
2

,0), B(

? ? ?2 2? ? ? 3? ? 2? ,0), C ( ,?3) , AB ? ( ,0), AC ? ( ,?3), AB ? AC ? 2 4 8 2 4
1 ,纵 4

解法二:利用周期性质 AB 的横坐标为周期一半,纵坐标为 0, AC 的横坐标为周期 坐标为-3,所以 AB ? ( ,0), AC ? ( ,?3), AB ? AC ? 。 2 4 8 评讲建议补充:宿迁市第二次调研第 12 题。 9.主要考察两点之间距离,利用导数求最值,数学建模思想,指对数计算。 解法: M (a 2 , a), N (ln a, a) ,所以 MN ? a 2 ? ln a ? a 2 ? ln a(a ? 0), 令y ? a 2 ? ln a ,
y ? ? 2a ? 1 2 ? 0, 所以a ? ,此题新颖,难度不大,考察学生解决问题的能力。 a 2

?

?

?2

评讲建议补充两题(1) x ? a与y ? cos x 交于 A, x ? a与y ? sin x 交于 B,则 AB 最大值为___ (2) y ?
1 上任意一点 P 到原点距离的最小值为_______ x

10.主要考察学生恒成立问题,阅读理解能力,解决问题能力。出错原因:不理解题意。 解法:设实数 x ,它的小数部分为 m(0 ? m ? 1), m ? x ? [ x], (0 ? x ? 2012 ) ,所以 f ( x) ? g ( x) 即 [ x]( x ? [ x]) ? x ? 1, ( x ? m)m ? x ? 1, mx ? m 2 ? x ? 1, (1 ? m) x ? 1 ? m 2 , x ? 1 ? m,?1 ? x ? 2012 , 所以解集区间长度为 2011。 11.本题考察一元二次不等式解法,分类讨论思想,等差数列求和。出错原因学生心理怕
1 了,端点值未检验。解法:因为 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0,? ( x ? 1)( x ? a) ? 0 ,当 a ? 1时,? x ? a ;

当 a ? 1时,a ? x ? 1 ;当 a ? 1时,x ? 0 。因为 A 中所有元素之和为 28,所以 7 ? a ? 8 。 12.本题考察数列通项与求和之间关系,等差数列中下标和定理。出错原因学生思维达不到 这个层次,想不到用通项表示求和。具体解法:可设 S n ? 7n 2 ? 45n ,则 Tn ? n 2 ? 3n ,所以 求出 a n , bn ,表示出
an ,要求为整数,所以 n ? 15 。 b2 n

评讲建议:补充讲解数列导学案中 3 个题目。 13.本题考察点对称知识,等价转化思想,数形结合思想,圆的一般方程和标准方程知识,

本题思维量很大,计算量也很大,所以能做出来得几乎没有。方法一:四边形 PABN 周长最 小即为 PA+BN 最小 PA ? BN ? (a ? 1) 2 ? 3 2 ? (a ? 3) 2 ? 12 等价于 (a,0)与( ,3)和( , 距离 1 31 ) 之和,即在 X 轴上找一点到 1,3)和(3, 距离之和最小,所以作 1,3) ( 1 ) ( 关于 X 轴对称点 与 ) ( ,-3) 1 ,连接 1,-3) (3,1 与 X 轴交点即为 a ? (
3 3 5 ,所以 A(1,?2), P( ,1), N ( ,1) ,可设圆方程的 2 2 2

9 一般式,求出圆心坐标 (3,? ) 。方法二:四边形 PABN 周长最小即为 PA+BN 最小,通过图像 8

把 N 点移动到 P 点,则 B 坐标变为 C(3,0) ,PA+PC 最小,因为 P(a,1), A(1,?2), C (3,0) ,在直 线 y=1 上找点到 A(1,?2)和C(3,0) 。作出 A 关于 y=1 对称点 D(1,4),连接 CD,则与 y=1 的交点 横坐标 x ?
3 3 ,即 a ? ,后面解法同上。 2 2

建议评讲书本 95 页 21 题。 17.考查数学建模、导数求最值、阅读理解能力,三角形面积,三角函数的定义,基本不等 式求最值等知识,此题难度较大。错误原因:大部分学生考虑三角中的正弦与余弦定理但解 决不了,想不到参考答案的两种解法。解法一:⑴因为 △AOC 的面积与 △BOC 的面积之和等 于 △AOB 的面积,所以 x( 2 ? 6)sin 45? ? y( 2 ? 6)sin 30? ? xy sin 75? ,……4 分
2 1 6? 2 2 2x x( 2 ? 6) ? y( 2 ? 6) ? xy ,所以 y ? ( x ? 2) .…………………6 分 2 2 4 x?2 1 6? 2 3 ? 1 x2 ⑵ △AOB 的面积 S ? xy sin 75? ? ………8 分 xy = ? 2 8 2 x?2 3 ?1 4 3 ?1 = ……………12 分 (x ? 2 ? ? 4) ≥ ? ? 4( 3 ? 1) . 8 2 x?2 2

1 2

1 2

1 2



当且仅当 x ? 4 时取等号,此时 y ? 4 2 . 故 OA ? 4 km , OB ? 4 2 km 时, ?OAB 的面积最小为 4( 3 ? 1) km2 . 解法二: (1)建立如图所示的平面直角坐标系,
6? 2 6? 2 则 A( x,0) , C (1 ? 3,1 ? 3) , B( y, y) , 4 4

…………14 分
B
C

因为 A, B, C 三点共线,所以 k AB ? k AC .……………4 分

l1 O

A

l2 6? 2 第 17 题 y 1? 3 2 2x 4 图 即 ,化简得, y ? ( x ? 2) .……………………………6 分 ? x?2 6? 2 1? 3 ? x y?x 4 1 6? 2 3 ? 1 x2 ⑵因为 S ? xy sin 75? ? , …………………………………8 分 xy = ? 2 8 2 x?2

求导得, S ? ?

3 ? 1 x( x ? 4) 3 ? 1 x2 ,易知函数 S ? 在区间 (2, 4) 上是减函数, ? ? 2 ( x ? 2)2 2 x?2

在区间 (4, ??) 上是增函数,……12 分 所以 x ? 4 ,且 y ? 4 2 时, S ?
3 ? 1 x2 取得最小值 4( 3 ? 1) km2 . ? 2 x?2

…………14 分

评讲建议补充必修五第 24 页第 6 题。 18 题:考查平面几何知识,向量的坐标运算,常见求轨迹的方法,求交点,用坐标表示线 段长度,直线的斜率等知识,本题的思维量较小但计算量较大,出错原因:计算量太大,学 生不敢动笔计算,算不下去。解法:⑴易知 A(2 , , B(?2 , ,设 P( x0 , 0 ) ,则 y 1) 1)
x0 2 ? y0 2 ? 1 .由 4

??? ? ??? ? ??? ? ? x0 ? 2(m ? n) 4(m ? n )2 1 ,所以 OP ? mOA ? nOB ,得 ? n ? (m ? n )2 ? 1 ,即 m2 ? n2 ? .故点 Q(m , ) 在定圆 4 2 ? y0 ? m ? n

x2 ? y 2 ?

1 上.……8 分。 2
y1 y2 1 ? ? , x12 x22 ? 16 y12 y22 ? (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ,即 x12 ? x2 2 ? 4 …10 分 x1 x2 4

⑵设 M ( x1 ,1 ) , N ( x2 , 2 ) ,则 y y

因为直线 MN 的方程为 ( y1 ? y2 ) x ? ( x1 ? x2 ) y ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 , 所以 O 到直线 MN 的距离为 d ?
1 2
| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 ) 2

,

………………………12 分

所以 △OMN 的面积 S ? MN ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 |? =

1 2

1 x12 y22 ? x22 y12 ? 2 x1 x2 y1 y2 2

x2 x2 1 1 1 x12 (1 ? 2 ) ? x2 2 (1 ? 1 ) ? x12 x2 2 = x12 ? x22 ? 1 .故 △OMN 的面积为定值 1 .………16 分 2 4 4 2 2

解法二:设 OM 的方程为: y ? kx (k ? 0) ,则 ON 的方程为: y ? ? 联立方程组 ?
? y ? kx, ? x ? 4 y ? 4.
2 2

1 x (k ? 0) . 4k

解得 M (
?1 1 ? 4k 2

2 1 ? 4k 2

,

2k 1 ? 4k 2

) .……………………………10 分
1 ? 4k 2 1? k2

同理可得, N (
2 1 ? 4k 2

4k 1 ? 4k 2
2k

,

) ,因为点 N 到直线 OM 的距离为: d ?

,……12 分

OM ? (

)2 ? (

1 ? 4k 2

)2 ? 2

1? k2 1 1 1 ? 4k 2 1? k2 ?2 ? 1 …16 分 , △OMN 面积 S ? d ? OM ? 2 2 2 1? k2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

解法三:解法二:设 OM 的方程为: y ? kx (k ? 0) ,则 ON 的方程为: y ? ? 联立方程组 ?
? y ? kx, ? x ? 4 y ? 4.
2 2

1 x (k ? 0) . 4k

解得 M (

2 1 ? 4k
2

,

2k 1 ? 4k 2

) .……………………………10 分

同理可得, N (

4k 1 ? 4k
2

,

?1 1 ? 4k
2

) ,所以 MN 的方程为: y ?

2k 1 ? 4k 2

?

2k ? 1 2 (x ? ), 2 ? 4k 1 ? 4k 2

1 1 2k ? 1 2(1 ? 4k 2 ) 1 , S ? ? yM ? y N ? x ? ? ? ? ?1 令 y ? 0 ,? x ? 2 2 2 2 2k ? 1 (2k ? 1) 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

8k 2 ? 2

本题计算量的确有点大。 19.本题主要考察函数与导数知识,函数信息题的阅读理解能力,恒成立问题的解决,分类 讨论思想,等价转化思想,函数单调区间的求法,一元二次函数的图像问题。出错原因:计 算量太大,一元二次函数的分类讨论情况太多,学生不具备这种等价转化的能力。 解法:⑴因为 g ?( x) ? 2 x ,所以 xg ?( x) ? g ( x) ? 2 x 2 ? ( x 2 ? 1) ? x 2 ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, 即 xg ?( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上恒成立,所以 g ( x) ? x 2 ? 1 是 A 型函数.…2 分
1 1? a 1? a 1? a ? ) ⑵ h?( x) ? a ? ? 2 ( x ? 0) , 由 x h( x ? h x, 得 ax ? 1 ? ,因为 ( ) ? ax ? 3 ? ln x ? x x x x

x ? 0 ,所以可化为 2(a ? 1) ? 2x ? x ln x ,令 p( x) ? 2 x ? x ln x , p?( x) ? 3 ? ln x ,令 p?( x) ? 0 ,

得 x ? e?3 ,当 x ? (0, e?3 ) 时, p?( x) ? 0 , p ( x) 是减函数;当 x ? (e?3 , ??) 时, p?( x) ? 0 , p ( x)
1 是增函数,所以 p( x) min ? p(e ?3 ) ? ?e ?3 ,所以 2(a ? 1) ? ?e?3 ,解得 a ? 1 ? e?3 .…………4 分 2 1? x ①当 a ? 0 时,由 h?( x) ? 2 ? 0 ,得 x ? 1,所以增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ; x 1? a a( x ? )( x ? 1) a ?( x) ? ②当 a ? 0 时,由 h ? 0 , 0 ? x ? 1 ,增区间为 (0,1) ,减区间为 (1, ??) ; x2 1? a a( x ? ) ( x? 1) 1 1? a a ③ 当 0 ? a ? 时 , 由 h?( x ) ? ,所以增区间为 ? 0, 得 x ? 1 , 或 x ? 2 2 a x 1? a 1? a , ( 0 , 1) ( , ??) ,减区间为 (1, ); a a 1 ④当 a ? 时, h?( x) ≥ 0 ,所以函数增区间为 (0, ??) ; 2 1? a a( x ? )( x ? 1) 1 1 ?3 1? a a ?( x) ? ⑤ ? a ? 1 ? e 时,由 h , ? 0 ,得 x ? 1 ,或 x ? 2 2 2 a x 1? a 1? a 所以增区间为 (0, ) , (1, ??) ,减区间为 ( ,1) . ……………………………10 分 a a

⑶证明:函数 f ( x) 是 (0, ??) 上的每一点处都有导数,且 xf ?( x) ? f ( x) 在 (0, ??) 上恒成立,设
F ( x) ? f ( x) xf ?( x) ? f ( x) f ( x) , F ?( x) ? 在 (0, ??) ? 0 在 (0, ??) 时恒成立,所以函数 F ( x) ? 2 x x x

上是增函数,…12 分

? x1 ? 0, x2 ? 0 ,? x1 ? x2 ? x1 ? 0, x1 ? x2 ? x2 ? 0 , F ( x1 ? x2 ) ? F ( x1 ), F ( x1 ? x2 ) ? F ( x2 ) ,
f ( x1 ? x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ? x2 ) f ( x2 ) , ? , ? x1 ? x2 x1 x1 ? x2 x2



………………………………………14 分

所以 f ( x1 ) ?

x1 f ( x1 ? x2 ) x f ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? 2 ,两式相加,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) …16 分 x1 ? x2 x1 ? x2

建议评讲:前面我们下发的函数学案中几道类似填空题(大家都知道) 。 20 题,我们学生只能做第一问,此题对于学生没有多大意义,我们不作分析。 五.对后期教学的几点建议:注重主干知识的复习: 1.从 08 到 11 年江苏高考已经形成自己的试卷结构,填空题中 8 道容易题,4 道中档题,2 道难题;15-16 属于容易题,三角与立几题,对于我校艺术生这两题特别重要,希望全体师 生形成共识,强化定时训练;17-18 中档题,应用题或平面几何题,应用题是所有学生都怕 的,其实考察真正的数学知识较容易,主要原因学生严重缺乏阅读理解能力和数学建模能 力,但是江苏高考已明确应用题必考,只有强化阅读理解;平面几何题第一问很容易,第二 问计算量很大,学生不容易得分,但此题的思维量倒不是很大,所以我们要求文化班强化计 算能力的训练,而且这题我们必须要得到分数,19-20 数列题与函数题,数列题学生要掌握 等差与等比的通项与求和、常见数列通项与求和的方法,掌握通性通法即可,不要弄的太 深,但同时要注意该掌握的还一定要会,不能看到就放弃,这样比较危险。函数题:函数的 定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、周期性、导数计算、切线求法、单调性、最值也 要掌握。对于这两题题,我们一定能得到第一问分数,第二问该能得到部分分数,第二、三 问一般情况思维量和计算量都很大,所以我们要求学生能得几分得几分,没有思路的立即选 择放弃,有时放弃也是一种智慧。 2.注意任意性恒成立与存在性成立问题的理论必须掌握,每份高考卷都一定会考。 3.近几年江苏高考数学试题不仅紧扣教材,而且还十分重视数学思想方法的考查。在复习中 同学们要特别重视数学思想和方法。高中数学解题的基本方法主要有:分析法、综合法、配

方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法(理科)等。常用的数学思想 有:函数与方程的思想,数形结合思想,分类与整合思想,化归与转化思想,特殊与一般思 想,算法思想,概率思想等。 4.复习要抓好解题的三个阶段,第一是审题阶段,要弄清题目给出的所有条件以及隐含条 件,弄清解题目标,然后运用化归思想进行转化,要特别注意用解题目标去导引思维的航 向,用已知条件去开辟解题的道路;第二是解题阶段,在选择解题方法和程序时,要多思考 如何用数学思想方法作指导,要特别注重通性通法的运用;第三是反思阶段,解题后要反思 整个解题过程,回顾总结数学思想方法,使解题过程进一步优化。 友情提醒:真正的教育是发自内心、充满激情的;教育智慧在学生身上融化、组合、萌芽、 生长的满足和快乐,你的努力才有意义!快乐是一种美德,微笑是一种力量,歌唱是心灵的 阳光;优秀是一种习惯,成功是一种心态,幸福是灵魂的香味。面带微笑才能享受生活,懂 得播种快乐才能收获幸福。

正德中学高三数学备课组

2012 年 3 月 30 日


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