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广东省佛山市普通高中2015届高三上学期教学质量检测(一)数学文试题


广东省佛山市普通高中 2015 届高三上学期教学质量检测(一) 数学文试题
2015.1
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内;如 需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案 无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.复数

3?i 等于( 1? i

) B. 1 ? 2 i C. 2 ? i D. 2 ? i ) D. ? 0,1?

A. 1 ? 2 i

2.已知集合 M ? x ? R 0 ? x ? 2 , N ? x ? R x ? 1 ,则 M A. ?1, 2 ? 3.若函数 y ? A. ? 2 B. ?1, 2 ?

?

?

?

?

??R N ? ? (

C. ?0,1?

4x ? a 的图象关于原点对称,则实数 a 等于( ) 2x B. ?1 C. 1

D. 2

?x ? 2 y ? 8 ?2 x ? y ? 8 ? 4.已知 x , y 满足不等式组 ? ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为( x ? 0 ? ? ?y ? 0
A. 12 B. 24 C. 8

)

D. )

32 3

5.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 45 ? ,且满足 e1 ? ? ?e2 ? e1 ? ,则实数 ? 的值是( A. 1 B. 2 C.

2 3 3

D. 2

6.在空间中,有如下四个命题: ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线;

②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面; ③若平面 ? 内有不共线的三个点到平面 ? 距离相等,则 ? ∥ ? ; ④过平面 ? 的一条斜线有且只有一个平面与平面 ? 垂直. 其中正确的两个命题是( A.①③ ) B.②④ C.①④ D.②③

7.某校高三年级学生会主席团有共有 5 名同学组成,其中有 3 名同学来自同一班级,另外两名同学来 自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率 为( ) B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 A. 0.35 8. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与该双曲线的右支交于 A 、 B 16 9
) C. 21 ) D. 26 B. 20

两点,若 AB ? 5 ,则 ?ABF 1 的周长为( A. 16

9.已知 f ? x ? ? x ? x 2 ,且 a , b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ f ? a ? ? f ?b ? ”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

10.有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成 两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( A. 45 B. 55 C. 90 ) D. 100

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)

ì ? 1, x ? 1 11.如果 f ( x ) = ? ,那么 f ? í ? f ? 2 ?? ?? ? 0, x > 1 ? ?

. .

12.已知点 A ? ?2,0? 、 B ? 0,4? 到直线 l : x ? my ? 1 ? 0 的距离相等,则 m 的值为

13. 如图 1 ,为了测量河对岸 A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点 C ,从 C 点可以观察到点 A 、

B ;找到一个点 D ,从 D 点可以观察到点 A 、C ;找到一个点 E ,从 E 点可以观察到点 B 、C ;
并 测 量 得 到 一 些 数 据: CD ? 2 , CE ? 2 3 , ?D ? 45? , ?ACD ? 105? , ?ACB ? 48.19? , ?BCE ? 75? ,

?E ? 60 ? ,则 A 、 B 两点之间的距离为_________.(其中 cos 48.19? 取近似值
A D C B

2 ) 3

B O C D

E 图1

P

M

A 图2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲)如图 2 , P 是圆 O 外一点, PA 、PB 是圆 O 的两条切线,切点分别为 A 、B , PA 中 点 为 M , 过 M 作 圆 O 的 一 条 割 线 交 圆 O 于 C 、 D 两 点 , 若 PB ? 2 3 , MC ? 1 , 则

CD ?

.

15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线 C1 : ? 的一个交点在极轴上,则 a ? ______.

?

2 cos ? ? sin ? ? 1 与曲线 C2 : ? ? a ( a ? 0 )

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? (Ⅰ) 求 f ?

? ?

?? ? ( ? ? 0 ), x ? R 的最小正周期为 ? .
4?

?? ? ?; ?6? ? ? ?? 上的图像,并根据 , ? 2 2? ?

(Ⅱ) 在图 3 给定的平面直角坐标系中 ,画出函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ? 图象写出其在 ? ?

? ? ?? , ? 上的单调递减区间. ? 2 2?

y 1
1 2

?

?
2

O
?1 2
?1

?
2

x

17.(本小题满分 12 分)

图3

某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天 气网站上收集该地区近两年 11 月份( 30 天)的空气质量指数( AQI )(单位: ?g / m )资料如下:
3

2013 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图
频率 组距

2014 年 11 月份 AQI 数据 日期 AQI 日期 AQI 日期 AQI 1 89 11 58 21 137 2 55 12 36 22 139 3 52 13 63 23 77 4 87 14 78 24 63 5 124 15 89 25 63 6 72 16 97 26 77 7 65 17 74 27 64 8 26 18 78 28 65 9 46 19 90 29 55 10 48 20 117 30 45

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 20 40 60 80 100 120 140 AQI

图4

表1

(Ⅰ) 请填好 2014 年 11 月份 AQI 数据的频率分布表 并完成频率分布直方图 ; ..... .......
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布表
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图 频率

组距

?20, 40? ?40, 60? ?60, 80? ?80,100? ?100,120? ?120,140?

分组

频数

频率 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

表2

20 40 60 80 100 120 140 AQI

图5

(Ⅱ) 该地区环保部门 2014 年 12 月 1 日发布的 11 月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气 质量的优良率提高了 20 多个百分点”(当 AQI ? 100 时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料 信息是否支持该观点?

18.(本小题满分 14 分) 如图 6 ,四棱锥 P ? ABCD , 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形, 且与底面垂直,底面 ABCD 是

?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (Ⅰ) 求证: PC ? AD ; (Ⅱ) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 A, Q, M , D 四点共面?若存在,指出点 Q 的位置并证明;
若不存在,请说明理由; (Ⅲ) 求点 D 到平面 PAM 的距离.
M P

A B C 图6

D

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 4Sn ? ? 2n ?1? an?1 ? 1 ( n ? N ),且 a1 ? 1 .
*

(Ⅰ) 求证:数列 ?an ? 为等差数列; (Ⅱ) 设 bn ?

1 an Sn

,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ?

3 * ( n ? N ). 2

20.(本小题满分 14 分) 已知点 M ? 2,1? , N ? ?2,1? ,直线 MP , NP 相交于点 P ,且直线 MP 的斜率减直线 NP 的斜率 的差为 1 .设点 P 的轨迹为曲线 E .

(Ⅰ) 求 E 的方程; (Ⅱ) 已知点 A ? 0,1? ,点 C 是曲线 E 上异于原点的任意一点 ,若以 A 为圆心,线段 AC 为半径的 圆交 y 轴负半轴于点 B ,试判断直线 BC 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21.(本小题满分 14 分)

ex 设函数 f ? x ? ? 的导函数为 f ? ? x ? ( a 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). x?a
(Ⅰ) 讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ) 求实数 a ,使曲线 y ? f ? x ? 在点 a ? 2, f ? a ? 2? 处的切线斜率为 ? (Ⅲ) 当 x ? a 时,若不等式

?

?

a3 ? 6a 2 ? 12a ? 7 ; 4

f ?? x? ? k x ? a ? 1 恒成立,求实数 k 的取值范围. f ? x?

2015 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案

1
C

2
D

3
B

4
A

5
B

6
B

7
D

8
D

9
A

10
A

二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. [必做题] 11. 1 [选做题] 14. 2 12. ? 15.

1 或1 2

13. 10

2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ)依题意得 所



?? ? ? π ,解得 ? ? 2 ,所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,??????2 分 ? 4? ?


?? f? ?s ?6
(Ⅱ)因为 ?

3 ? 2

?

.???4 分?

? ?

i

?
3

?

?
2

?x?

?
2

,所以 ?

x
2x ?

?
4

5? ? 3? ? 2x ? ? ,列表如下:????????6 分 4 4 4 ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? 2 8 8 8 8 2 5? ? ? 3? ? ? 0 ?? 4 2 4 2

y

2 2

0

?1

0

1

2 2

???8 分

画出函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?

? ? ?? 上的图像如图所示! , ? 2 2? ?
y 1
1 2

?

?
2

?

3? 8

?

?
8

O
?1 2
?1

?
8

3? 8

?
2

x

???10 分

由图象可知函数 y ? f ? x? 在 ? ? 12 分

? ? ?? ? ? ? ? ? 3? ? ? , ? 上的单调递减区间为 ? ? , ? ? , ? , ? .???? ? 2 2? ? 2 8? ? 8 2?

17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3 分);频率分布直方图(6 分)
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布直方图
频率 组距

0.025 0.020 0.015 0.010 0.005

(Ⅱ) 支持,理由如下:

20 40 60 80 100 120 140 AQI

?1 ? 19 2013 年 11 月的优良率为: 20 ? ? ? 0.005 ? 0.005 ? 0.015 ? 0.010 ? ? , ????8 分 ?3 ? 30
2014 年 11 月的优良率为:
因此

26 , ????9 分 30

26 19 7 ? ? ? 23.3% ? 20% ????11 分 30 30 30
2014 年 11 月份 AQI 数据频率分布表 分组 频数 频率 1 15 7 30 2 5 1 6 1 30 1 10

所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了 20 多个百分点”.???????12 分

?20, 40?
?40, 60?

2 7 12 5 1 3

?60, 80? ?80,100?
?100,120?

?120,140?

18.【解析】(Ⅰ)方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三 角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC

OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC ,
P

所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD .??????4 分 方法二:连结 AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM

DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD ,

Q A B C

M O D

所以 PC ? 平面 AMD , 又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD .??????4 分

(Ⅱ)当点 Q 为棱 PB 的中点时, A, Q, M , D 四点共面,证明如下:??????6 分 取棱 PB 的中点 Q ,连结 QM , QA ,又 M 为 PC 的中点,所以 QM // BC , 在菱形 ABCD 中 AD // BC ,所以 QM // AD ,所以 A, Q, M , D 四点共面.??????8 分 (Ⅲ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD 分 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 6 , 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 6 ,边 PC 上的高 AM ? 所以 ?PAC 的面积 S?PAC ? 平面 ABCD ? AD ,

PO ? 平面 PAD , 所以 PO ? 平面 ABCD , 即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高 . ?????? 9

PA2 ? PM 2 ?

10 , 2

1 1 10 15 ,??????10 分 PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2 设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得??????11 分
1 1 3 2 1 15 1 S?PAC ? h ? S ?ACD ? PO , 又 S?ACD ? ? 2 ? 3 , 所以 ? ? h ? ? 3 ? 3 , ???13 3 3 4 3 2 3
分 解得 h ?

2 15 , 5 2 15 .??????14 分 5

所以点 D 到平面 PAM 的距离为

19.【解析】(Ⅰ) 由题设 4Sn ? ? 2n ?1? an?1 ?1,则 a2 ? 4S1 ? 1 ? 3 , 3a3 ? 4S2 ? 1 ? 15, a3 ? 5 . 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? ? 2n ? 3? an ?1, 两式相减得 ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? an?1 , 2分 方法一:由 ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? an?1 ,得 ??????????????

an ?1 a a a ? n ,且 2 ? 1 . 2n ? 1 2n ? 1 3 1

则数列 ? 分

an a1 ? an ? ? ? 1 ,也即 an ? 2n ? 1 ???????????6 ? 是常数列,即 2n ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2n ? 1 ?

所以数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数 列 ???????????????7 分 方法二:由 ? 2n ?1? an ? ? 2n ?1? an?1 ,得 ? 2n ? 3? an?1 ? ? 2n ? 1? an?2 , 两式相减得 an ? an? 2 ? 2an?1 ,且

a1 ? a3 ? 2a2
所以数列 ?an ? 等差数 列.

??????????????6 分

???????????????7 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 an ? 2n ? 1 , Sn ?

?1 ? 2n ? 1? n ? n2 , b
2

n

?

1 ,????9 分 n ? 2n ? 1?

3 成立;???????????????????10 分 2 1 1 1 1? 1 1? 当 n ? 2 时, bn ? ? ? ? ? ? ? ????12 分 1 ? 2n ? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? n ? 2n ? 1? ? 2n ? n ? ? 2? ?
当 n ? 1 时, T1 ? 1 ? 所以 Tn ? 1 ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2? ?? 2 ? ? 2 3 ?

1? 1? 1 3 1 ?? ? 1 ?? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 2? n? 2 2 ? n ?1 n ??
????????

综上所述,命题得证.??????????????????????????????14 分 20. 【解析】 (Ⅰ)设 P ? x, y ? ,依题意得 3分 化 简 得

y ?1 y ?1 ? ? 1, x?2 x?2
), 所 以 曲 线

x2 ? 4 y

(

x ? ?2

E









x2 ? 4 y ( x ? ?2 ).
证 法
2

???????5 分

(Ⅱ) 结论:直线 BC 与曲线 E 相切. 一 : 设
2

C ? x0 , y0 ?

,



2 x0 ? 4 y0

,



A









2 x 2 ? ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? , 2

?????7 分
2 2

2 令 x ? 0 ,则, ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ,





y0 ? 0 y ? ,

,0 所



y ? ? y0

,



B









? 0, ? y0 ? ,

???????????????9 分

直线 BC 的斜率为 k ? 11 分

2 y0 2 y0 2y , 直线 BC 的方程为 y ? y0 ? x , 即 y ? 0 x ? y0 , ????? x0 x0 x0

代入 x ? 4 y 得 x 2 ? 4 ?
2

? 2 y0 ? x ? y0 ? ,即 x0 x2 ? 8 y0 x ? 4x0 y0 ? 0 ,?????13 分 ? x0 ?

2 2 ? ? 64 y0 ? 4 x0 ? 4 x0 y0 ? 16 y0 ? 4 y0 ? x0 ? ? 0,

所以,直线 BC 与曲线 E 相切.???????????????????????14 分
2 2 ? ? y0 ? 1? ,?????7 分 证法二:设 C ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 4 y0 ,圆 A 的方程为 x 2 ? ? y ? 1? ? x0 2 2
2 令 x ? 0 ,则, ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? ? ? y0 ? 1? , 2 2 2

因为 y0 ? 0, y ? 0 , 所以 y ? ? y0 ,点 B 的坐标为 ? 0, ? y0 ? ,??????????????? 9 分 直线 BC 的斜率为 k ? 由 x2 ? 4 y 得 y ?

2 y0 ,?????????????10 分 x0

1 2 1 1 x 得 y? ? x ,过点 C 的切线的斜率为 k1 ? x0 ,?????12 分 4 2 2 1 2 2 y0 2 ? 4 x0 1 ? ? x0 ,所以 k ? k1 ,?????13 分 而k ? x0 x0 2
所以直线 BC 与曲线 x2 ? 4 y 过点 C 的切线重合, 即直线 BC 与曲线 E 相切.??????????????????????14 分 21.【解析】(Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域是 ? ??, a ? 对 f ? x ? 求导得: f ? ? x ? ?

? a, ??? ,??????????1 分

e x ? x ? a ? 1?

? x ? a?

2

,???????2 分

由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? a ? 1 ;由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? a 或 a ? x ? a ? 1 ,???????4 分 所以 f ? x ? 在 ? ??, a ? , ? a, a ? 1? 上单调递减,在 ? a ? 1, ?? ? 上单调递增.???????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ? ? a ? 2 ? ? 令

ea ? 2 ??????????????6 分 4

ea ? 2 a 3 ? 6a 2 ? 12a ? 7 a?2 3 2 ?? 得 e ? a ? 6a ? 12a ? 7 ? 0 ???① 4 4
t 3

令 a ? 2 ? t ,则有 e ? t ? 1 ? 0 ,???????????8 分 令 h ? t ? ? e ? t ?1 ,则 h? ?t ? ? e ? 3t ? 0 ,???????????9 分
t 3 t 2

故 h ? t ? 是 R 上的增函数,又 h ? 0? ? 0 ,因此 0 是 h ? t ? 的唯一零点,即 ?2 是方程①的唯一实数解, 故存在唯一实数 a ? ?2 满足题设条件.??????????????????????10 分 (Ⅲ)因为

f ?? x? f ?? x? x ? a ?1 x ? a ?1 ? ? k x ? a ? 1 可化为 ,故不等式 ? k x ? a ?1, f ? x? x?a f ? x? x?a
且有 k t ? 1 ? 1 ?

令 x ? a ? t ,则 t ? 0 ,???????????11 分 ① 若 t ? 0 ,则 ? kt ? ,即 k ? ?

1 ???12 分 t

1 t

1 ,此时 k ? 0 ; t2

② 若 0 ? t ? 1 ,则 kt ? 2 ? ,即 k ? ③ 若 t ? 1 ,则 kt ?

1 t

2 1 ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 1,此时 k ? 1 ; t t ?t ?

2

1 1 ,即 k ? 2 ,此时 k ? 1 . t t

故使不等式恒成立的 k 的取值范围是 ?1, ?? ? .??????????????????14 分


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