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贵州省兴仁一中2012-2013学年高二下学期3月月考卷数学(理科)


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贵州省兴仁一中 2012-2013 学年高二下学期 3 月月考卷数学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 1.函数 f ? x ? ? A. 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

ln x 的单调递减区间是( x
B.

) C.

? 0,1?
2 2

? 0, e?

?1, ?? ?
)

D.

?e, ?? ?

【答案】D 2.曲线 y ? ? x ? 3 x 在点(1,2)处的切线方程为( A. y ? 3 x ? 1 C. y ? 3 x ? 5 【答案】A 3.曲线

B. y ? ?3 x ? 5 D. y ? 2 x

y ? e 2 在点 ?4, e 2 ? 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
1 x
2

) D.

A. e

B. 4e

2

C. 2e

2

9 2 e 2

【答案】A 4.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.(0,1) 【答案】B 5.已知函数 y ? x ln x ,则这个函数在点 x A. y ? 2 x ? 2 【答案】C 6.已知函数 F ( x) ? A. 【答案】A 7.曲线 B. y ? 2 x ? 2

2 的零点所在的大致区间是( x
C.(2,e)

) D.(3,4) ) D. y ? x ? 1

B.(1 ,2)

? 1 处的切线方程是( C. y ? x ? 1
)

? (t
0

x

2

? t ? 2)dt , 则 F(x)的极小值为(
10 3
C.

?

10 3

B.

?

13 6
)
?

D.

13 6

y ? ? x 3 ? x 2 在点 (1, 处的切线的倾斜角为( 0)
?

A. 45

B. 60

?

C. 120

D. 135

?

【答案】D 8.由直线 y ? x, y ? ? x ? 1 ,及x轴围成平面图形的面积为( A. C.

)

? ??1 ? y ? ? y ?dy
1 0

B. D.

? ??? x ? 1? ? x?dx

1 2 0

? ??1 ? y ? ? y ?dy

1 2 0

? x ? ??? x ? 1??dx
1 0

【答案】C
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世纪金榜 圆您梦想 1 3 9.已知某物体的运动方程是 S ? t ? t , 则当 t ? 3s 时的瞬时速度是( 9
A. 10m /s 【答案】C B. 9m /s C. 4m /s

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)

D. 3m /s

10.已知曲线方程 f(x)=sin2x+2ax(a∈R) ,若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x) 的切线,则 a 的取值范围是( A. (-∞,-1)∪(-1,0) C. (-1,0)∪(0,+∞) 【答案】B 11.函数 y ? f '( x) 是函数 y ? f ( x ) 的导函数,且函数 y ? f ( x ) 在点 P ( x0 , ) B. (-∞,-1)∪(0,+∞) D.a∈R 且 a≠0,a≠-1

f ( x0 )) 处的切线为

l : y ? g ( x) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ), F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图象如
图所示,且 a ?

x0 ? b ,那么(

)

A. F '( x0 ) ? 0, x ? B. F '( x0 ) = 0, x ? C. F '( x0 ) ? 0, x ? D. F '( x0 ) ? 0, x ? 【答案】B

x0 是 F ( x) 的极大值点 x0 是 F ( x) 的极小值点 x0 不是 F ( x) 极值点 x0 是 F ( x) 极值点
?y 等于( ) ?x 2 C. 4 ? 2?x D. 4 ? 2?x

12.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的图象上一点 (1,1) 及邻近一点 (1 ? ?x,1 ? ?y ) ,则
2

A.4 【答案】C

B. 4?x 第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.曲线 y ? 2 x 与x 轴及直线 x
2

? 1 所围成图形的面积为



【答案】

2 3
3

1

14.函数 y=cos x 的导数是____________

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【答案】

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1 1 1 cos 2 ? sin 2 x x x
2 2

15.函数 y=sin x-con x 的导数为____________ 【答案】2sin2x 16.函数 f ? x ? ? ? x ? 3?e 的单调递增区间是
x

【答案】

?2,?? ?

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3 a 5)的管理 费,预计当每件产品的售价为 x 元(9 x 11)时,一年的销售量为(12-x) 万件。 (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a) 。 本小题考查函数、导数及其应用等知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 【答案】 (Ⅰ)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x 的函数关系式为:
2

L ? ( x ? 3 ? a )(12 ? x) 2,x ? [9, . 11]
(Ⅱ) L?( x) ? (12 ? x) ? 2( x ? 3 ? a )(12 ? x )
2

? (12 ? x)(18 ? 2a ? 3x) .

2 . a 或 x ? 12 (不合题意,舍去) 3 2 28 ? 3 ≤ a ≤ 5 ,? 8 ≤ 6 ? a ≤ . 3 3 2 在 x ? 6 ? a 两侧 L? 的值由正变负. 3 2 9 所以(1)当 8 ≤ 6 ? a ? 9 即 3 ≤ a ? 时, 3 2
令 L? ? 0 得 x ? 6 ?

Lmax ? L(9) ? (9 ? 3 ? a )(12 ? 9) 2 ? 9(6 ? a) .
(2)当 9 ≤ 6 ?

2 28 9 a ≤ 即 ≤ a ≤ 5 时, 3 3 2
2 3

2 2 2 ?? ? ?? ? ? 1 ? Lmax ? L(6 ? a ) ? ? 6 ? a ? 3 ? a ? ?12 ? ? 6 ? a ? ? ? 4 ? 3 ? a ? , 3 3 3 ?? ? ?? ? ? 3 ?
9 ? 9(6 ? a), 3≤ a ? , ? 2 ? 所以 Q ( a ) ? ? 3 ?4 ? 3 ? 1 a ? , 9 ≤ a ≤ 5 ? ? 3 ? 2 ? ? ?
答:若 3 ≤ a ?

9 ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q ( a ) ? 9(6 ? a ) (万元) ;若 2
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3

9 2 ? ? 1 ? ? 则当每件售价为 ? 6 ? a ? 元时, 分公司一年的利润 L 最大, 最大值 Q ( a ) ? 4 ? 3 ? a ? (万元) . ≤a≤5, 2 3 ? 3 ? ? ?
18.已知函数 (I)求

f ? x? ? ? x ? k ? ex



f ? x?

的单调区间; 在区间
/

(II)求

f ? x?

?0,1? 上的最小值。
x

【答案】 (I) f ( x) ? ( x ? k ? 1)e , 令

f / ( x) ? 0 ? x ? k ? 1 ;所以 f ? x ? 在 (??, k ? 1) 上递减,在 (k ? 1, ??) 上递增;

(II)当 k ? 1 ? 0, 即k ? 1 时,函数 当 0 ? k ?1 ? 1 即1 ? k

f ? x?

在区间

?0,1? 上递增,所以 f ( x)min ? f (0) ? ?k ;

? 2 时,由(I)知,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, k ? 1? 上递减, (k ? 1,1] 上递增,所以

f ( x) min ? f (k ? 1) ? ?e k ?1 ;
当 k ? 1 ? 1, 即k ? 2 时,函数

f ? x?

在区间

?0,1? 上递减,所以 f ( x)min ? f (1) ? (1 ? k )e 。
x ) x 万元。假

19.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经 预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? 设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【答案】 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以

m ?1 x m m y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x x x 256 x ? ? m x ? 2m ? 256. x
由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3

(Ⅱ)

256m x
2

3 1 3 m 2 ? mx ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x 2

? 512 ,所以 x =64
f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

当 0< x <64 时 f '( x) <0, 当 64 ?

x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x) 在区间(64,640)内为增函数,
m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64
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所以 f ( x) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。
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20.某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理 三家工厂的污水, 现要在矩形 ABCD 的区域上 (含边界) 且 A、 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂, , B 并铺设排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。

(1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短 【答案】 (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ? 又 OP= 10 ? 10 tan ? , 所以 y ? OA ? OB ? OP ? 所求函数关系式为 y ?

AQ 10 10 , 故 OB ? , ? cos ? cos ? cos ?

10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , cos ? cos ?

20 ? 10sin ? ?? ? ? 10 ? 0 ? ? ? ? cos ? 4? ?

②若 OP= x (km) ,则 OQ=10- x ,所以 OA =OB= 所求函数关系式为

?10 ? x ?

2

? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200

y ? x ? 2 x 2 ? 20 x ? 200 ? 0 ? x ? 10 ?
y' ? ?10 cos ? ?cos ? ? ? 20 ? 10 sin? ?? ? sin ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? ? cos 2 ? cos 2 ?

(Ⅱ)选择函数模型①,



y ' ? 0 得 sin ? ?
? ?

1 ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 2 4 6

当 ? ? ? 0,

??

? ?? ? ? ' ' 当 所以当 ? = 时, ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数; ? ? ? , ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的增函数, 6 6? ?6 4?
10 3 km 处。 3

ymin ? 10 ? 10 3 。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离 AB 边

21.已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产千件需另投入 2.7 万元,设该公司年内共生产

1 2 ? ?10.8 ? 30 x (0 ? x ? 10) ? 该品牌服装 x 千件并全部销售完, 每千件的销售收入为 R ( x) 万元, R ( x) ? ? 且 . ?108 ? 1000 ( x ? 10) ? x 3x 2 ?
(1)写出年利润 W (万元)关于年产品 x (千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? (注:年利润=年销售收入-年总成本)
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【答案】 (1)当 0<x≤10 时, W

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? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ?
1000 ? 2.7 x 3x

x3 ? 10 30

当 x >10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ?

? x3 8.1x ? ? 10 0 ? x ? 10 ? ? 30 ?W ? ? ?98 ? 1000 ? 2.7 x x ? 10 ? 3x ?
(2)①当 0<x≤10 时,由 W ? ? 8.1 ? 当 x ? (9,10)时, W ? ? 0; ∴当 x=9 时,W 取最大值,且 Wmax ? 8.1 ? 9 ? ②当 x>10 时,W=98 ? ?

x2 ? 0得x ? 9.且当x ? (0,9)时, W ? ? 0; 10

1 ? 9 3 ? 10 ? 38.6 30

1000 ? 1000 ? ? 2.7 x ? ? 98 ? 2 ? 2.7 x ? 38 3x ? 3x ?

当且仅当

1000 100 ? 2.7 x, 即x ? 时, Wmax ? 38. 3x 9

综合①、②知 x=9 时,W 取最大值. 所以当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装生产中获利最大.

f ( x) ?
22.已知函数

4x ? a 1 ? x 2 的单调递增区间为 ? m, n ? ,

(Ⅰ)求证: f ( m) f ( n) ? ?4 ; (Ⅱ)当 n ? m 取最小值时,点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 )(a ? 得 f ( x0 ) ?
'

x1 ? x2 ? n) 是函数 f ( x) 图象上的两点,若存在 x0 使

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求证: x1 ? x0 ? x2 x2 ? x1

【答案】 (Ⅰ)

f ?( x) ?

?4 x 2 ? 2ax ? 4 (1 ? x 2 ) 2

a ? ?m ? n ? ? 依题意 m, n 是方程 ?4 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根有: ? 2 ?mn ? ?1 ?
2

f ( m) f ( n) ?

4m ? a 4n ? a 16mn ? 4a (m ? n) ? a 2 ?(16 ? a 2 ) ? ? ? ? ?4 a2 1 ? m 2 1 ? n 2 (mn 2 ) ? (m ? n) 2 ? 2mn ? 1 ?4 4
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(Ⅱ)? n ? m ?

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(m ? n) 2 ? 4mn ?

a2 ?4 ?2 4

? n ? m 取最小值时, a ? 0, n ? 1, m ? ?1 ,
? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,? 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,
? f ' ? x0 ? ?
f ?( x0 ) ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0 ,从而 x0 ? ? ?1,1? x2 ? x1
? f ? x2 ? ? f ? x1 ? 4 ?1 ? x1 x2 ? ? x2 ? x1 ?1 ? x12 ??1 ? x22 ?
1 2

?1 ? x ? ?1 ? x ? ? 1 ? x x 即 ?1 ? x ? ?1 ? x ??1 ? x ?
2 2 0 2 0 2 2 0 2 1 2 2

2 4 ?1 ? x0 ?

2 2 2 ? (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? x12 x2 ? x12 ? x2 ? 1 ? ( x1 x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2

?1 ? x ?
0

1 ? x0 2

2 2

?

1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? 2 2 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ?1 ? x1 x2 ?2
1? x
2 '

? x ? 1? ? 2 ,故当 x ? 0,1 时,有 g ' x ? 0 , 考虑函数 g ? x ? ? ,因 g ? x ? ? ? ? ? ? 4 2 ?1 ? x ? ?1 ? x ?
所以 g ( x ) 是 (0,1) 上是减函数.
2 2 ? 由 g ( x0 ) ? g ( x1 x2 ) ,得 x0 ? x1 x2 ? x12 . ? x0 ? x1.



2 1 ? x0 1 ? x1 x2 2 ? 及 0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x1 x2 得 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x12 )(1 ? x2 )
2 2 2 1 2 2 2

?1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ? ? ?1 ? x ?
0 2 2

故 1 ? x0 ? 1 ? x2 ,即
2 2

x0 ? x2 .

? x1 ? x0 ? x2

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