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解析几何单元检测


阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1. (2011· 辽宁沈阳二中阶段检测)“a=2”是“直线 2x+ay-1=0 与直线

ax+2y-2=0 平行”的( ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.必要不充分条件 [答案] B

2 a -1 [解析] 两直线平行的充要条件是 = ≠ ,即两直线平行的充要条件是 a=± 2.故 a a 2 -2 =2 是直线 2x+ay-1=0 与直线 ax+2y-2=0 平行的充分不必要条件. [点评] 如果适合 p 的集合是 A,适合 q 的集合是 B,若 A 是 B 的真子集,则 p 是 q 的 充分不必要条件,若 A=B,则 p,q 互为充要条件,若 B 是 A 的真子集,则 p 是 q 的必要 不充分条件. x2 y2 y2 2.2.(2012 临沂二模)设椭圆 + =1 和双曲线 -x2=1 的公共焦点分别为 F1、F2, 2 m 3 P 为这两条曲线的一个交点,则|PF| | PF1 || PF2 | 的值为 ( A A. 3 B. 2 3 C.3 2 )

D.2 6

3.(2011· 黄冈期末)已知直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、N 两点,椭圆与 y 轴的正半 轴交于 B 点,若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是( A.6x-5y-28=0 C.5x+6y-28=0 [答案] A x2 y2 [解析] 由椭圆方程 + =1 知,点 B(0,4),右焦点 F(2,0), 20 16 ∵F 为△BMN 的重心,∴直线 BF 与 MN 交点 D 为 MN 的中点, → 3→ ∴BD= BF=(3,-6), 2 又 B(0,4),∴D(3,-2),将 D 点坐标代入选项检验排除 B、C、D,选 A. 4.(2011· 江西南昌调研)直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点,若线段 AB 的长是 8,AB 的中点到 y 轴的距离是 2,则此抛物线方程是( A.y2=12x C.y2=6x B.y2=8x D.y2=4x ) B.6x+5y-28=0 D.5x-6y-28=0 )

[答案] B [解析] 设 AB 中点为 M,A、M、B 在抛物线准线上的射影为 A1、M1、B1,则

2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=|AB|=8, p ∴|MM1|=4,又|MM1|= +2,∴p=4, 2 ∴抛物线方程为 y2=8x. 5. (2011· 福州市期末)定义: 平面内横坐标为整数的点称为“左整点”. 过函数 y= 9-x2 图象上任意两个“左整点”作直线,则倾斜角大于 45° 的直线条数为( A.10 C.12 [答案] B [解析] 依据“左整点”的定义知,函数 y= 9-x2的图象上共有七个左整点,如图过 两个左整点作直线,倾斜角大于 45° 的直线有:AC,AB,BG,CF,CG,DE,DF,DG, EF,EG,FG 共 11 条,故选 B. B.11 D.13 )

x2 y2 6. (理)(2011· 山东潍坊一中期末)已知抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线 2- 2=1 有相同的焦 a b 点 F,点 A 是两曲线的交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A. 5+1 2 B. 3+1 2 2+1 D. 2 )

C. 2+1 [答案] C

p ? p2 p2 ,p ,代入双曲线方程中得, 2- 2=1,∵双曲 [解析] 由 AF⊥x 轴知点 A 坐标为? ?2 ? 4a b p 4c 2 4c2 线与抛物线焦点相同,∴c= ,即 p=2c,又 b2=c2-a2,∴ 2- 2 2=1, 2 4a c -a c 由 e= 代入整数得,e4-6e2+1=0, a ∵e>1,∴e2=3+2 2,∴e= 2+1. x2 7.(2011· 烟台调研)与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( 4 x2 A. -y2=1 4 x2 y2 C. - =1 3 3 [答案] B [解析] 椭圆的焦点 F1(- 3,0),F2( 3,0), 由 双 曲 线 定 义 知 2a = |PF1| - |PF2| = 8-4 3=2 2, ∴a= 2,∴b2=c2-a2=1, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 2 x2 → → 8. (文)(2011· 辽宁沈阳二中检测)椭圆 +y2=1 的焦点为 F1, F2, 点 M 在椭圆上, MF1· MF2 4 =0,则 M 到 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 C. 3 3 ) 2 6 B. 3 D. 3 ?2+ 3?2+1 - ?2- 3?2+1 = 8+4 3 - x2 B. -y2=1 2 y2 D.x2- =1 2 )

[答案] B → → [分析] 条件MF1· MF2=0,说明点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,点 M 又在椭圆上, 通过方程组可求得点 M 的坐标,即可求出点 M 到 y 轴的距离. [解析] 椭圆的焦点坐标是(± 3,0),点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,该圆的方程 x2 8 2 6 是 x2+y2=3,即 y2=3-x2,代入椭圆得 +3-x2=1,解得 x2= ,即|x|= ,此即点 M 4 3 3 到 y 轴的距离. → → [点评] 满足MF· MB=0(其中 A, B 是平面上两个不同的定点)的动点 M 的轨迹是以线段 AB 为直径的圆. (理)(2011· 山东实验中学期末)已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10,0),F2( 10,0),M

→ → → → 是此双曲线上的一点,且MF1· MF2=0,|MF1|· |MF2|=2,则该双曲线的方程是( x A. -y2=1 9 x2 y2 C. - =1 3 7 [答案] A → → → → → [解析] 由条件知,MF1⊥MF2,∴|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=(2 10)2=40, → → → → → → → → (|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|· |MF2|=40-2|MF1|· |MF2|=36, ∴||MF1|-|MF2||=6=2a,∴a=3, x2 又 c= 10,∴b2=c2-a2=1,∴双曲线方程为 -y2=1. 9
2

)

y B.x2- =1 9 x2 y2 D. - =1 7 3

2

x2 y2 9. (2011· 宁波市期末)设双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)的右焦点为 F, O 为坐标原点. 若 a b 以 F 为圆心,FO 为半径的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于点 A(不同于 O 点),则△OAF 的 面积为( A.ab C.ac [答案] A b [解析] 由条件知,|FA|=|FO|=c,即△OAF 为等腰三角形,F(c,0)到渐近线 y= x 的距 a 离为 b,∴OA=2a, 1 ∴S△OAF= ×2a×b=ab. 2 ) B.bc a2b D. c

10.(2011· 北京朝阳区期末)已知圆的方程为 x2+y2-2x+6y+8=0,那么下列直线中经 过圆心的直线方程为( A.2x-y+1=0 C.2x-y-1=0 [答案] B ) B.2x+y+1=0 D.2x+y-1=0

[解析] 将圆心(1,-3)坐标代入直线方程检验知选 B. x2 y2 11.(2011· 江西南昌调研)设圆 C 的圆心在双曲线 2- =1(a>0)的右焦点上,且与此双 a 2 曲线的渐近线相切,若圆 C 被直线 l:x- 3y=0 截得的弦长等于 2,则 a=( A. 14 C. 2 [答案] C [解析] 由条件知, 圆心 C( a2+2, 0), C 到渐近线 y= 2?a2+2? 2 x 的距离为 d= = 2 a 2+a2 a2+2 =1,∴a2= 2 B. 6 D.2 )

为⊙C 的半径,又截得弦长为 2,∴圆心 C 到直线 l:x- 3y=0 的距离 2,∵a>0,∴a= 2.

12.(2011· 辽宁沈阳二中检测)已知曲线 C:y=2x2,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B,要使视线不被曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.(10,+∞) [答案] D [解析] 过点 A(0,-2)作曲线 C:y=2x2 的切线, 设方程为 y=kx-2,代入 y=2x2 得, 2x2-kx+2=0,令 Δ=k2-16=0 得 k=± 4, 当 k=4 时,切线为 l, ∵B 点在直线 x=3 上运动,直线 y=4x-2 与 x=3 的交点为 M(3,10),当点 B(3,a)满 足 a≤10 时,视线不被曲线 C 挡住,故选 D. B.(-∞,4] D.(-∞,10] )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上)

x2 y2 13.(2011· 广东高州市长坡中学期末)若方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 4-k 6+k 则 k 的取值范围是________. [答案] (-6,-1) [解析] 由题意知,4-k>6+k>0,∴-6<k<-1. y2 14.(理)(2011· 重庆南开中学期末)设双曲线 x2- =1 的左右焦点分别为 F1、F2,P 是 3 直线 x=4 上的动点,若∠F1PF2=θ,则 θ 的最大值为________. [答案] 30° [解析] F1(-2,0)、F2(2,0),不妨设 P(4,y),y>0,过 P 作 PM⊥x 轴,垂足为 M,设∠ 6 2 - y y tanβ-tanα 4 4 F1PM=β, ∠F2PM=α, 则 θ=β-α, ∴tanθ=tan(β-α)= = = ≤ 62 12 2 12 1+tanβtanα 1+ · y+ yy y = 3 ,∴θ≤30° . 3 15.(文)(2011· 黑龙江哈六中期末)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,过点 F 作直线交抛物线 于 A、B 两点,若线段 AB 的中点 E 到 y 轴的距离为 3,则 AB 的长为________. [答案] 10 p [解析] 2p=8,∴ =2,∴E 到抛物线准线的距离为 5,∴|AB|=|AF|+|BF|=2×5=10. 2 (理)(2011· 辽宁大连联考)已知抛物线“y2=4x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 M,N 为抛物线上的一点,且满足|NF|= [答案] π 6 3 |MN|”,则∠NMF=________. 2

[解析] 设 N 在准线上射影为 A, 由抛物线的定义与条件知, |NA| =|NF|= 3 π π |MN|,∴∠AMN= ,从而∠NMF= . 2 3 6

x2 y2 16.(理)(2011· 湖北荆门调研)已知 P 为椭圆 C: + =1 上的任意一点,F 为椭圆 C 25 16 的右焦点,M 的坐标为(1,3),则|PM|+|PF|的最小值为________. [答案] 5 [解析] 如图,连结 F1M,设直线 F1M 与 C 交于 P,P′是 C 上任一点,则有

|PF1|+|PF|=|P′F1|+|P′F|, 即|PM|+|MF1|+|PF|=|P′F1|+|P′F|, ∵|P′F1|≤|P′M|+|MF1|, ∴|PM|+|PF|≤|P′M|+|P′F|, 故 P 点是使|PM|+|PF|取最小值的点, 又 M(1,3),F1(-3,0),∴|MF1|=5, ∴|PM|+|PF|=|PF1|+|PF|-|MF1|=2×5-5=5. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) x2 y2 17.(本小题满分 12 分)(2011· 山东潍坊一中期末)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点 a b 为 F1,F2,椭圆上一点 M? (1)求椭圆的方程; → → (2)若直线 L:y=kx+ 2与椭圆恒有不同交点 A、B,且OA· OB>1(O 为坐标原点),求 k 的取值范围. [解析] (1)设 F1(-c,0),F2(c,0), 2 6 3? → ? 2 6 3? → MF1=?-c- ,MF2= c- , ,- ,- 3 3? 3 3? ? ? 2 6?2 ? 3?2 → → ∵MF1· MF2=0,∴-c2+? + =0, ? 3 ? ?3? ∴c2=3,∴a2-b2=3① 8 1 又点 M 在椭圆上,∴ 2+ 2=1② 3a 3b ①代入②得 8 1 + =1, 3a2 3?a2-3? 2 6 3? → → 满足MF1· MF2=0. ? 3 ,3?

整理得,a4-6a2+8=0,∴a2=2 或 a2=4, ∵a2>3,∴a2=4,b2=1, x2 ∴椭圆方程为 +y2=1. 4 x ? ? 4 +y2=1 (2)由? , ? ?y=kx+ 2
2

1 2? 2 消去 y 解得? ?4+k ?x +2 2kx+1=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 则OA· OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(1+k2)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 6-4k2 >1, 1+4k2

5 1 1 ∴k2< ,又由 Δ=k2- >0 得 k2> , 8 4 4 1 5 10 1? ?1 10? ∴ <k2< ,∴k∈?- ∪ . 4 8 ? 4 ,-2? ?2, 4 ? 18. (本小题满分 12 分)(2010· 湖北文)已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F(1,0) 的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 →→ FA· FB<0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] (1)设 P(x, y)是曲线 C 上任意一点, 那么点 P(x, y)满足: ?x-1?2+y2-x=1(x>0) 化简得 y2=4x(x>0) (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).设 l 的方程为 x=ty+m,
? ?x=ty+m 由? 2 得 y2-4ty-4m=0, ?y =4x ?

此时 Δ=16(t2+m)>0.
?y1+y2=4t ? 于是? ① ?y1· y2=-4m ?

→ → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2) →→ FA· FB<0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1· x2-(x1+x2)+1+y1y2<0② y2 又 x= ,于是不等式②等价于 4
2 2 y2 y2 y2 1 y2 1 · +y1y2-( + )+1<0 4 4 4 4

?y1y2?2 1 ? +y1y2- [(y1+y2)2-2y1y2]+1<0③ 16 4 由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2④ 对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,即 3-2 2<m<3+2 2

由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任意一直线, →→ 都有FA· FB<0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2). x2 y2 2 19.(本小题满分 12 分)(2011· 巢湖市质检)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , a b 2 过原点 O 斜率为 1 的直线与椭圆 C 相交于 M,N 两点,椭圆右焦点 F 到直线 l 的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆上异于 M,N 外的一点,当直线 PM,PN 的斜率存在且不为零时,记直 线 PM 的斜率为 k1,直线 PN 的斜率为 k2,试探究 k1· k2 是否为定值?若是,求出定值;若不 是,说明理由. [解析] (1)设椭圆的焦距为 2c(c>0),焦点 F(c,0),直线 l:x-y=0, F 到 l 的距离为 |c| = 2,解得 c=2, 2

c 2 又∵e= = ,∴a=2 2,∴b=2. a 2 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 8 4 x y ? ? 8 + 4 =1, 2 6 2 6 (2)由? 解得 x=y= ,或 x=y=- , 3 3 ?y=x, ? 不妨设 M? 2 6 2 6? 2 6 2 6? ,N? ,P(x,y), ? 3 , 3 ? ?- 3 ,- 3 ?
2 2

2 6 2 6 2 8 y- y+ y- 3 3 3 ∴kPM· kPN= · = , 2 6 2 6 2 8 x- x- x+ 3 3 3 x2 y2 1 由 + =1,即 x2=8-2y2,代入化简得 k1· k2=kPM· kPN=- 为定值. 8 4 2 1 20.(本小题满分 12 分)(2011· 厦门期末质检)已知抛物线 C:y2=4x,直线 l:y= x+b 2 与 C 交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (1)当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时,求|AB|; (2)是否存在直线 l 使得直线 OA、OB 倾斜角之和为 135° ,若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由. 1 1 [解析] (1)抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0),代入直线 y= x+b 可得 b=- , 2 2 1 1 ∴l:y= x- ,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2

y =4x ? ? 联立? 1 1 ,消去 y 得 x2-18x+1=0, ? ?y=2x-2 ∴x1+x2=18,x1x2=1,

2

(方法一)|AB|= 1+k2· |x1-x2| = 5 · ?x1+x2?2-4x1x2=20. 4

(方法二)|AB|=x1+x2+p=18+2=20. 1 (2)假设存在满足要求的直线 l:y= x+b, 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y =4x ? ? 联立? 1 ,消去 x 得 y2-8y+8b=0, ?y=2x+b ? ∴y1+y2=8,y1y2=8b, 设直线 OA、OB 的倾斜角分别为 α、β,斜率分别为 k1、k2,则 α+β=135° ,tan(α+β) k1+k2 =tan135° ? =-1, 1-k1k2 y1 4 y2 4 其中 k1= = ,k2= = ,代入上式整理得 y1y2-16+4(y1+y2)=0, x1 y1 x2 y2 ∴8b-16+32=0,即 b=-2, 代入 Δ=64-32b=128>0,满足要求. 1 综上,存在直线 l:y= x-2 使得直线 OA、OB 的倾斜角之和为 135° . 2 21.(本小题满分 12 分)(2011· 黑龙江哈六中期末)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.
2

(1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60° 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. [解析] (1)由题意得直线 BD 的方程为 y=x+1. 因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n.
2 2 ? ?x +3y =4, ? 由 得 4x2-6nx+3n2-4=0. ?y=-x+n ?

因为 A,C 在椭圆上,所以 Δ=-12n2+64>0, 4 3 4 3 解得- <n< . 3 3 设 A,C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 3n2-4 3n x1+x2= ,x1x2= , 2 4 y1=-x1+n,y2=-x2+n. 3n n? n 所以 y1+y2= ,所以 AC 的中点坐标为? ? 4 ,4?. 2 3n n? n 3n 由四边形 ABCD 为菱形可知,点? ? 4 ,4?在直线 y=x+1 上,所以4= 4 +1,解得 n= -2. 所以直线 AC 的方程为 y=-x-2, 即 x+y+2=0. (2)因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60° , 所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S= 3 |AC|2. 2

-3n2+16 由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 2 所以 S= 3 4 3 4 3? (-3n2+16)?- . 4 ? 3 <n< 3 ?

所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3. 22.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 温州八校期末)如图,在由圆 O:x2+y2=1 和椭圆 C:

x2 2 6 +y =1(a>1)构成的“眼形”结构中, 已知椭圆的离心率为 , 直线 l 与圆 O 相切于点 M, a2 3 与椭圆 C 相交于两点 A,B.

(1)求椭圆 C 的方程; → → 1→2 (2)是否存在直线 l,使得OA· OB= OM ,若存在,求此时直线 l 的方程;若不存在,请 2 说明理由.
2 c 6 2 a -1 [解析] (1)∵e= = ,c2=a2-1,∴ = 2 , a 3 3 a

x2 解得:a2=3,所以所求椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 → → 1→2 (2)假设存在直线 l,使得OA· OB= OM 2 易得当直线 l 垂直于 x 轴时,不符合题意,故设直线 l 方程为 y=kx+b, 由直线 l 与圆 O 相切,可得 b2=k2+1① x2 2 把直线 y=kx+b 代入椭圆 C: +y =1 中,整理得: 3 (1+3k2)x2+6kbx+3b2-3=0 3b2-3 6kb 则 x1+x2=- x2= , 2,x1· 1+3k 1+3k2 → → OA· OB=x1· x2+y1· y2=x1· x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1· x2+kb(x1+x2)+b2
2 2 3b2-3 6k2b2 2 4b -3k -3 1 =(1+k2) + + b = = ② 2 1+3k2 1+3k2 1+3k2

由①②两式得 k2=1,b2=2, 故存在直线 l,其方程为 y=± x± 2. (理)(2011· 山东淄博一中期末)已知椭圆的两个焦点 F1(- 3,0),F2( 3,0),过 F1 且与 坐标轴不平行的直线 l1 与椭圆相交于 M,N 两点,如果△MNF2 的周长等于 8. (1)求椭圆的方程; (2)若过点(1,0)的直线 l 与椭圆交于不同两点 P、Q,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0), → → 使PE· QE恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明理由.

[解析] (1)由题意知 c= 3,4a=8,∴a=2,b=1, x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1), x ? ? 4 +y2=1 由? 消去 y 得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0, ? ?y=k?x-1? 设 P(x1,y1),Q(x2,y2) 4k2-4 8k2 则由韦达定理得 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , 4k +1 4k +1 → → 则PE=(m-x1,-y1),QE=(m-x2,-y2), → → ∴PE· QE=(m-x1)(m-x2)+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2 =m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
2 2 8k2 8k2m 4k -4 2?4k -4 ? - +1? =m - 2 + 2 +k ? 2 4k +1 4k +1 ?4k +1 4k2+1 ? 2 2



?4m2-8m+1?k2+?m2-4? 4k2+1

4m2-8m+1 4 17 要使上式为定值须 = ,解得 m= , 2 1 8 m -4 33 → → ∴PE· QE为定值 , 64 当直线 l 的斜率不存在时 P?1,

?

3? 3 ,Q?1,- ?, 2? 2? ?

17 ? 3? → ?9 3? → ?9 由 E? ? 8 ,0?可得PE=?8,- 2 ?,QE=?8, 2 ?, → → 81 3 33 ∴PE· QE= - = , 64 4 64 17 ? 33 → → 综上所述当 E? QE为定值 . ? 8 ,0?时,PE· 64


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