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福建省莆田四中2013-2014学年高一上学期期中考试数学试题


莆田四中 2016 届高一上学期期中考试卷
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.下列四个关系式中,正确的是( ) A. ??{a} 2.函数 y ? A. [1,3) B. a ?{a, b} C. {a} ?{a, b} D. a ? {a}

1 x ?1

? lg(3 ? x) 的定义域为( )
C. (1,3] D. (1,3)

B. (0,3)

3.三个数 a ? 0.62 , b ? ln 0.6, c ? 20.6 之间的大小关系是( ) A. a ? c ? b . B. a ? b ? c C. b ? a ? c D. b ? c ? a

?log2 x ( x ? 0) 1 4.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )] 的值是( ) ( x ? 0 ) 4 ?3
A. 1 B. 1 C. 4 D. 9

9

4

5.下列函数中,在 (0,1) 上为单调递减的偶函数是( )
1

A. y ? x 2

B. y ? x 4

C. y ? x ?2

D. y ? ? x 3

1

6. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x ? 3 ,那么 f (?2) 的值是 ( ) A. ?

11 4
2

B.

11 4

C. 1

D.

?1

7.函数 f ( x) ? log 1 (? x2 ? 2 x ? 3) 递减区间为( ) A. (?1,1] B. [1,3) C. [1, ??) ) D. (??,1]

8.函数 f ( x) ? ln | x ?1| 的图像大致是(

1

9.已知定义域为 R 的奇函数 y ? f ( x) 在 (0, ??) 单调递增,且 f (2) ? 0 ,则不等式

x?f ( x) ? 0 的解集是( )
A. (??, ?2) ? (2, ??) C. (?2,0) ? (0,2) B. (?2,0) ? (2, ??) D. (??, ?2) ? (0,2)
x

10.已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ( x ) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则

1 3

f ( x1) 的值(
A.等于 0

) B.不大于 0 C. 恒为正值 D.恒为负值

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

1 ? log 3 12 ? (0.7)0 ? 0.25?1 =________ _. 2 1 12.已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象过点 ( ,4) ,则 ? ? _______. 2
11、求值: 2log 3 13.设函数 f ( x) ? log a x(a ? 0 且 a ? 1 ),若 f ( x1 x2 x3 ) ? 8 ,
2 2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) =

2

.

14.函数 f ( x ) ?

2x ? 3 在区间 [ a, ??) 上是递减函数,则 a 的取值范围为___ x ?1
. (只填正确说法序号)

15.下列说法正确的是

2 ①若集合 A ? y y ? x ? 1 , B ? y y ? x ? 1 ,则 A ? B ? {(0, ?1),(1,0)} ;

?

?

?

?

②函数 y ? f ( x) 的图象与 x ? a(a ? R) 的交点个数只能为 0或1 ; ③ f ( x) ? lg( x ?

x 2 ? 1) 是定义在 R 上的奇函数;

(0, ??) 都是单调增函数, ④若函数 f ? x ? 在 (??, 0] , 则 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上也是增函数;
⑤定义 max(a, b) ? ?

?a,(a ? b) ,则 f ( x) ? max( x ? 1,4 ? 2 x) 的最小值为 2 . ?b,(a ? b)

2

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分) 16. (本小题满分 13 分) 设 A ? {x

x 2 ? ax ? 2 ? 0}, B ? {x x 2 ? 3x ? b ? 0} , A ? B ? {2} .

(Ⅰ)求 a, b 的值及集合 A 、 B ; (Ⅱ)设全集 U ? A ? B ,求 (CU A) ? (CU B) 的所有子集.

17. (本题满分 13 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:函数 f ( x) 在 R 上是减函数。

?2 x ? a 是奇函数. 2x ? 1

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? log a

x ?1 (a ? 0且a ? 1) 3? x

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式,并判断 f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)解方程: f ( x) ? l o g a 2

19. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?|1 ? 2x | ( x ? R)
a b (Ⅰ)当 a ? b ,且 f (a) ? f (b) 时,求 2 ? 2 的值。

(Ⅱ)当函数 y ? f ( x) 的定义域为[ a , b ] (b ? a ? 0) 时,其值域为[ 1,3 ], 求实数 a , b 的值。

3

20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a x?a ? 1, (a ? 0且a ? 1) 恒过定点 (3, 2) , (Ⅰ)求实数 a ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将函数 f ( x) 的图象向下平移 1 个单位,再向左平移 a 个单位后 得到函数 g ( x) ,设函数 g ( x) 的反函数为 h( x) ,求 h( x) 的解析式; (Ⅲ)对于定义在 [1,9] 的函数 y ? h( x) ,若在其定义域内,不等式

[h( x) ? 2]2 ? h( x 2 ) ? m ? 2 恒成立,求 m 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)

已知幂函数 f ( x) ? x(2?k )(1?k ) , k ? Z ,且 f ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递增. (Ⅰ)求实数 k 的值,并写出相应的函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 F ( x) ? 2 f ( x) ? 4 x ? 3 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调 ,求实数 a 的取值范围; ... (Ⅲ) 试判断是否存在正数 q ,使函数 g ( x) ? 1 ? qf ( x) ? (2q ? 1) x 在区间 [?1, 2] 上的值域 为 [?4,

17 ] .若存在,求出 q 的值;若不存在,请说明理由. 8

4

莆田四中 2016 届高一上学期期中考试卷答案
一、选择题: 1 B 2 D 3 C 4 A 13. 16 5 C 6 D 7 A 8 B 9 A 10 C

二、填空题: 11. 4 12. ?2 三、解答题:

14. a ? 1

15.②③⑤

16.解: (Ⅰ)∵ A ? B ? {2}

∴ 2 ? A 且 2 ? B ……1 分

∴ 4 ? 2a ? 2 ? 0且4 ? 6 ? b ? 0 ∴ a ? ?3, b ? ?10 ……4 分

A ? {1, 2}……5 分

B ? {2, ?5} ……6 分

(Ⅱ) U ? A ? B ? {1,2, ?5} ……8 分 ∴ CU A ? {?5} , CU B ? {1} ……10 分 ∴ (CU A) ? (CU B) ? {?5,1} ……12 分 ∴ (CU A) ? (CU B) 的所有子集为: ?,{-5},{ 1 },{-5, 1 } ……13 分 17.解: (Ⅰ)因为 f ( x ) 是奇函数,且定义域为 R ,所以 f (0) ? 0 ,………3 分

a ?1 1 ? 2x ? 0 ? a ? 1? f ( x) ? ………………………………6 分 ? 2 1 ? 2x
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) ? 令 x1 ? x 2 ,则 0 ? 2 1 ? 2 2 , 2
x x

1 ? 2x 2 ? ?1 ? x , x 1? 2 2 ?1
x2

……………7 分

? 2 x1 ? 0 …………………………8 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 2 2(2x2 ? 2x1 ) >0, ? ? 2x1 ? 1 2x2 ? 1 (2x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………12 分

?函数 f ( x) 在 R 上为减函数
5

……………………………13 分

x ?1 ,令 x ? 1 ? t 得 x ? t ? 1 , 3? x 2?t 2? x ? f (t ) ? log a ,? f ( x ) ? log a ……………… 3 分 2?t 2? x
18. (Ⅰ)? f ( x ? 1) ? log a

? f ( x) 的定义域为 (?2, 2) ……4 分
又? f (? x) ? log a

2? x 2? x ? ? log a ? ? f ( x) , 2? x 2? x

? f ( x) 在区间 (?2, 2) 为奇函数……7 分
(Ⅱ)由 log a

2? x 2? x ? l o g a 2 得: ? 2 ………………9 分 2? x 2? x 2 解得:x ? ,………………11 分 3 2 又 f ( x ) 的定义域为 (?2, 2) , x ? ? (?2, 2) ……12 分 3 2 方程 f ( x) ? l o g a 2 的解为 x ? ………… 13 分 3

19.(Ⅰ)由 f (a) ? f (b) 得: |1 ? 2a |?|1 ? 2b | ,…………1 分

?1 ? 2a ? 1 ? 2b 或 1 ? 2a ? 2b ? 1 ,…………3 分
? a ? b ,?1 ? 2a ? 1 ? 2b …………4 分

?1 ? 2a ? 2b ? 1,? 2a ? 2b ? 2 …………6 分
(Ⅱ)? x ? 0 ,? f ( x) ? 2x ? 1 …………7 分

? f (a) ? 1 x (0, ?? ) f ( x ) ? 2 ? 1 又函数 在 是增函数,则 ? f (b) ? 3 …………9 分 ?
?2a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? 即? b 得: ?b ? 2 …………13 分 ? ? ?2 ? 1 ? 3
20.解: (Ⅰ)由已知 a (Ⅱ)? f ( x) ? 3
3? a

? 1 ? 2 ? a ? 3 -------3 分

x ?3

? 1? g ( x) ? 3x ------5 分

?h( x) ? log3 x( x ? 0) ----------7 分
6

(Ⅲ)要使不等式有意义:则有 1 ? x ? 9且1 ? x 2 ? 9

? 1 ? x ? 3 --------9 分
据题有 (log3 x ? 2) 2 ? log3 x 2 ? m ? 2 在[1,3]恒成立.

? 设 t ? log3 x(1 ? x ? 3)

? 0 ? t ? 1 ------10 分

? (t ? 2) 2 ? 2t ? m ? 2 在[0,1]时恒成立.
即: m ? t 2 ? 2t ? 2 在[0,1]时恒成立------11 分 设 y ? t ? 2t ? 2 ? (t ? 1) ? 1
2 2

t ? [0,1]

? t ? 1 时有 ymax ? 5 ------------13 分
? m ? 5 .--------14 分 21 解: (Ⅰ)由题意知 (2 ? k )(1 ? k ) ? 0 ,解得: ?1 ? k ? 2 .…………………………2 分 又 k ? Z ∴ k ? 0 或 k ? 1 ,…………………………3 分 分别代入原函数,得 f ( x) ? x2 .……………………4 分
(Ⅱ)由已知得 F ( x) ? 2 x2 ? 4 x ? 3 .…………………………5 分 要使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1 ,则 0 ? a ?
2

1 .……………………8 分 2

(Ⅲ)由已知, g ( x) ? ?qx ? (2q ?1) x ? 1 .………………………………9 分 假设存在这样的正数 q 符合题意,

2q ? 1 1 ? 1? ?1, 2q 2q 因而,函数 g ( x) 在 [?1, 2] 上的最小值只能在 x ? ?1 或 x ? 2 处取得, 又 g (2) ? ?1 ? ?4 , 从而必有 g (?1) ? 2 ? 3q ? ?4 ,解得 q ? 2 . 3 2 此时, g ( x) ? ?2 x ? 3x ? 1 ,其对称轴 x ? ? ? ?1, 2 ? , 4 3 3 2 3 17 ∴ g ( x) 在 [?1, 2] 上的最大值为 g ( ) ? ?2 ? ( ) ? 3 ? ? 1 ? ,符合题意. 4 4 4 8 17 ∴存在 q ? 2 ,使函数 g ( x) ? 1 ? qf ( x) ? (2q ? 1) x 在区间 [?1, 2] 上的值域为 [?4, ] .……14 分 8
则函数 g ( x) 的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为 x ?

7


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