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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第六章6.2


数学

北(理)

§6.2 等差数列及其前n项和
第六章 数列

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.等差数列的判断方法
(1)定义法: an - an-1 =d (n≥2); (2)等差中项法:2an+1= an+an+2.

1.等差数

列的定义 如果一个数列 从第2项起,每一项 与前一项的差都等于同一个常数 , 我们称这样的数列为等差数列,称 这个常数为等差数列的 公差 ,通常 用字母___ d 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 那么它的通项公式是 an=a1+(n-1)d.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 1.等差数列的判断方法
(1)定义法:an-an-1=d (n≥2); (2)等差中项法:2an+1= an+an+2.

3.等差中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A, 使 a, A,b 成 等差 数列,那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+ (n-m)d ,(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且 k+l=m+n, (k,l,m,n∈N*),则 ak+al=am+an .
基础知识 题型分类

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要点梳理
难点正本 疑点清源 1.等差数列的判断方法

(3)若{an}是等差数列, 公差为 d, 则{a2n} 也是等差数列,公差为 2d . (4)若{an}, {bn}是等差数列, 则{pan+qbn} 也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为 d,则 ak, ak+m,ak+2m,?(k,m∈N*)是公差为
md 的等差数列.

(1)定义法:an-an-1=d (n≥2); (2)等差中项法:2an+1= an+an+2.

基础知识

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思想方法

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基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源

5.等差数列的前 n 项和公式 设等差数列{an}的公差为 d,其前 n
n?a1+an? 项和 Sn= 2 n?n-1? + 2 d .

2.等差数列与等差数列 各项和的有关性质
(1)am , am + k , am + 2k , am+3k,?仍是等差数列, 公差为 kd. (2)数列 Sm,S2m-Sm,S3m -S2m,?也是等差数列. (3)S2n-1=(2n-1)an. (4)若 n 为偶数,则 S 偶- n S 奇= d. 2 若 n 为奇数,则 S 奇-S =a 中(中间项).
思想方法 练出高分


或 Sn= na1

6.等差数列的前 n 项和公式与函数的 关系 d? d 2 ? Sn= n +?a1-2?n. 2 ? ?
基础知识 题型分类

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源 3.等差数列与函数

数列 {an} 是等差数列 ? Sn = An2 + Bn (A、B 为常数). 7.等差数列的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 存在最____ 大 值;若 a1<0,d>0,则 Sn
小 值. 存在最____

在 d≠0 时,an 是关于 n 的一次函数,一次项系数 为 d;Sn 是关于 n 的二次 d 函数,二次项系数为 , 2 且常数项为 0.

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思想方法

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基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
35
3 4

解析

15
B B

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等差数列基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 (2011· 福建)在等差数列 {an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk= -35,求 k 的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等差数列基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 (2011· 福建)在等差数列 {an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk= -35,求 k 的值.

等差数列基本量的计算, 基本 思想就是根据条件列方程, 求 等差数列的首项与公差.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 等差数列基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 (2011· 福建)在等差数列 {an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk= -35,求 k 的值.



(1) 设等差数列 {an} 的公差

为 d,则 an=a1+(n-1)d.

由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d =-3,解得 d=-2.
从而 an=1+(n -1)×(-2)=3 -2n.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 等差数列基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 (2011· 福建)在等差数列 {an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk= -35,求 k 的值.

(2)由(1)可知 an=3-2n,
n[1+?3-2n?] 所以 Sn= = 2 2n-n2.
即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7.

由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35,

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等差数列基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 (2011· 福建)在等差数列 {an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk= -35,求 k 的值.

(1) 等差数列的通项公式及前 n 项和公式, 共涉及五个量 a1, an, d,n,Sn,知其中三个就能求另 外两个, 体现了用方程的思想来 解决问题.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 等差数列基本量的计算
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 (2011· 福建)在等差数列 {an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk= -35,求 k 的值.

(2)数列的通项公式和前 n 项和 公式在解题中起到变量代换作 用,而 a1 和 d 是等差数列的两 个基本量, 用它们表示已知和未 知是常用方法.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 设 a1, d


为实数,首项为 a1, 公差为 d 的等差数列 满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围.

? ?5a1+10d=5, 所以? ? ?a1+5d=-8.

-15 (1)由题意知 S6= S =-3,a6=S6-S5=-8. 5

{an}的前 n 项和为 Sn, (2) 方法一

解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7.
∵S5S6 + 15 = 0 , ∴(5a1 + 10d)(6a1 +

2 15d)+15=0,即 2a2 1+9da1+10d +1=0. 因为关于 a1 的一元二次方程有解,所以

Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,
解得 d≤-2 2或 d≥2 2.

方法二 ∵S5S6+15=0, ∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
2 即 2a2 1+9da1+10d +1=0.

故(4a1+9d)2=d2-8.所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,已
思维启迪 解析 探究提高

知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10 =S15, 求当 n 取何值时,Sn 取得最 大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an= 4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,已
思维启迪 解析 探究提高

知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10 =S15, 求当 n 取何值时,Sn 取得最 大值,并求出它的最大值; (2)已知数列{an}的通项公式是 an= 4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

(1)由 a1=20 及 S10=S15 可求 得 d,进而求得通项,由通项 得到此数列前多少项为正, 或 利用 Sn 是关于 n 的二次函数, 利用二次函数求最值的方法 求解. (2) 利用等差数列的性 质, 判断出数列从第几项开始 变号.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,已
思维启迪
∴10×20+

解析

探究提高
d,

∵a1=20,S10=S15, 知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10 解 (1)方法一 10×9 15×14

=S15, 求当 n 取何值时,Sn 取得最 大值,并求出它的最大值; 4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和.

(2)已知数列{an}的通项公式是 an= ∴a13=0,即当 n≤12 时,an>0,n≥14 时,
an<0, ∴当 n=12 或 13 时,Sn 取得最大值, 12×11 且最大值为 S13=S12=12×20+ 2 ? 5? ×?-3?=130. ? ? 5 方法二 同方法一求得 d=- . 3
n?n-1? ? 5? 5 ?- ? = - n 2 + · 2 6 ? 3? 25? 3 125 125 5? n=- ?n- 2 ?2+ . 6 6? 24 ? ∴Sn = 20n +

5 ∴d=- . ? 5? 3 5 65 ∴an=20+(n-1)×?-3?=- n+ . 3 3
? ?

2

d=15×20+

2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,已
思维启迪 解析 探究提高

知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10 =S15, 求当 n 取何值时,Sn 取得最 大值,并求出它的最大值;

∵n∈N*,∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最 大值,且最大值为 S12=S13=130. 5 方法三 同方法一求得 d=- . 3 又由 S10=S15 得 a11+a12+a13+a14+a15

=0. (2)已知数列{an}的通项公式是 an= ∴ 5a13=0,即 a13=0. 4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和. ∴当 n=12 或 13 时,Sn 有最大值.
且最大值为 S12=S13=130. (2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,

∴an+1-an=4=d, 又 a1=4×1-25=-21.
所以数列{an}是以-21 为首项,以 4 为公 差的递增的等差数列. ?an=4n-25<0, 令? ?an+1=4?n+1?-25≥0,

① ②

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,已
思维启迪 解析 探究提高

知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10 由①得 n<64;由②得 n≥54,所以 n=6. =S15, 求当 n 取何值时,Sn 取得最 即数列{|an|}的前 6 项是以 21 为首项, 大值,并求出它的最大值;
公差为-4 的等差数列,从第 7 项起以

1

1

(2)已知数列{an}的通项公式是 an= 后各项构成公差为 4 的等差数列, 4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和. 而|a7|=a7=4×7-25=3.
设{|an|}的前 n 项和为 Tn,则 Tn=

?21n+n?n-1?×?-4? ?n≤6? ? 2 ? ?66+3?n-6?+?n-6??n-7?×4 ?n≥7? 2 ?
?-2n2+23n ?n≤6?, =? 2 ?2n -23n+132 ?n≥7?.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

等差数列的前n项和及综合应用
(1)在等差数列{an}中,已
思维启迪 解析 探究提高

知 a1=20,前 n 项和为 Sn,且 S10 求等差数列前 n 项和的最值,常 =S15, 求当 n 取何值时,Sn 取得最 用的方法: ①利用等差数列的单 大值,并求出它的最大值;
调性,求出其正负转折项;② 利

(2)已知数列{an}的通项公式是 an= 用性质求出其正负转折项,便可 4n-25,求数列{|an|}的前 n 项和. 求得和的最值; ③将等差数列的
前 n 项和 Sn=An2+Bn (A、B 为 常数)看做二次函数,根据二次函 数的性质求最值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 湖北)已知 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 等差数列{an}前三项的和 则 a2=a1+d,a3=a1+2d.
为-3,前三项的积为 8.

(1)求等差数列{an}的 通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比 数列,求数列{|an|}的前 n 项和.

? ?3a1+3d=-3, 由题意得? ? ?a1?a1+d??a1+2d?=8, ? ? ?a1=2, ?a1=-4, 解得? 或? ? ? ?d=-3, ?d=3.

所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an =-4+3(n-1)=3n-7. 故 an=-3n+5 或 an=3n-7. (2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为 -1,-4,2,不成等比数列; 当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2, -4,成等比数列,满足条件.
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2012· 湖北)已知
等差数列{an}前三项的和 为-3,前三项的积为 8.
? ?-3n+7,n=1,2, 故|an|=|3n-7|=? ? ?3n-7,n≥3.

(1)求等差数列{an}的 通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比 数列,求数列{|an|}的前 n 项和.

记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n=1 时,S1=|a1|=4;当 n=2 时,S2
=|a1|+|a2|=5; 当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+?+|an|=5
+(3×3-7)+(3×4-7)+?+(3n-7) ?n-2?[2+?3n-7?] 3 2 11 =5+ =2n - 2 n+10. 2

当 n=2 时,满足此式.
4,n=1, ? ? 综上,Sn=?3 2 11 n - 2 n+10,n≥2. ? ?2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn = 324 ,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn = 324 ,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

在等差数列中, 若 m+n=p+q, 则 am + an= ap + aq ,在涉及数列前 n 项和及某些项和的问题中常用到此 性质.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn = 324 ,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

解 36①

由题意可知 a1+a2+?+a6=

an+an-1+an-2+?+an-5=180② ① + ② 得 (a1 + an)+ (a2+ an- 1)+ ? +(a6+an-5) =6(a1+an)=216.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn

∴a1+an=36. = 324 ,最后 6 项的和为 180 n?a1+an? 又 Sn= =324, 2 (n>6),求数列的项数 n. ∴18n=324.∴n=18.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

等差数列性质的应用
设等差数列的前 n 项和
思维启迪 解析

探究提高

为 Sn,已知前 6 项和为 36,Sn = 324 ,最后 6 项的和为 180 (n>6),求数列的项数 n.

本题的解题关键是将等差数列性质 m+n=p+q?am+an=ap+aq 与前 n?a1+an? n 项和公式 Sn= 结合在一 2 起,采用整体思想,简化解题过程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 (1)设数列 {an} 的首项 a1=- 7,且满足 an+1= an+ 2 (n∈ N+),则 a1 + a2+?+ a17= ________. 153 (2) 等差数列 {an} 中, a1 + a2 + a3 =- 24 , a18 + a19 + a20 = 78,则此数列前 20 项和 等于 ________ 180 .
解析 (1)∵an+1-an=2,

∴{an}为等差数列. ∴an=-7+(n-1)· 2,
∴a17=-7+16×2=25,

?a1+a17?×17 ?-7+25?×17 S17= = =153. 2 2 (2) 由已知可得 (a1 + a2 + a3) + (a18 + a19 +

a20) =- 24 + 78 ? (a1 + a20) + (a2 + a19) + a1+a20 (a3+a18)=54?a1+a20=18?S20= 2 18 ×20= 2 ×20=180.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.整体思想在等差数列解题中的应用
典例:(12 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.整体思想在等差数列解题中的应用
典例:(12 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

? ?m+n-1??m+n? m+n-1 ? ? ? (1)Sm+n=a1(m+n)+ d=(m+n)· 这样 a + d ? 1 ?, 2 2 ? ? m+n-1 m+n-1 只要求出 a1+ d 即可. (2)由 Sn, Sm 可以构造出 a1+ d, 2 2

并求出.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.整体思想在等差数列解题中的应用
典例:(12 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒



方法一

设{an}的公差为 d,则由 Sn=m,Sm=n,

? ?S =na +n?n-1?d=m, ① 1 2 ? n 得? m?m-1? ? S =ma1+ d=n. ② ? 2 ? m ?m-n??m+n-1? ②-①得(m-n)a1+ · d=n-m, 2 m+n-1 ∵m≠n,∴a1+ d=-1. 2
基础知识 题型分类 思想方法

4分

8分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.整体思想在等差数列解题中的应用
典例:(12 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

?m+n??m+n-1? ∴Sm+n=(m+n)a1+ d 2
? m+n-1 ? ? ? =(m+n)?a1+ d ?=-(m+n). 2 ? ?

12分

方法二

设 Sn=An2+Bn (n∈N*),

2 ? ?Am +Bm=n, 则? 2 ? ?An +Bn=m.

③ ④
题型分类 思想方法

4分

基础知识

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.整体思想在等差数列解题中的应用
典例:(12 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒
6分

③-④得 A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.

∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1,

∴A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),
∴Sm+n=-(m+n).
12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 12.整体思想在等差数列解题中的应用
典例:(12 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n (m≠n), 求它的前 m+n 项的和 Sm+n.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

m+n-1 (1)本题的两种解法都突出了整体思想,其中方法一把 a1+ d 2 看成了一个整体,方法二把 A(m+n)+B 看成了一个整体,解起来都 很方便. (2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧.这就要求学生要掌握公 式,理解其结构特征. (3)本题的易错点是,不能正确运用整体思想的运算方法,不能建立数 量间的关系,导致错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.等差数列的判断方法 (1)定义法:an+1-an=d (d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法: 2an +1 =an +an +2 (n∈N*)?{an} 是等差 数列. (3)通项公式: an=pn+q(p, q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn (A、B 为常数)?{an}是 等差数列.

方 法 与 技 巧

2.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时可 以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过建立方程(组)获 得解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.如果 p+q=r+s,则 ap+aq=ar+as,一般地,ap+ aq≠ap + q ,必须是两项相加,当然也可以是 ap - t + ap+t=2ap.

失 误 与 防 范

2.当公差 d≠0 时,等差数列的通项公式是 n 的一次函 数,当公差 d=0 时,an 为常数.
3.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次 函数,且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是常 数项不为 0 的二次函数,则该数列不是等差数列, 它从第二项起成等差数列.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1. (2012· 福建 )等差数列 {an}中, a1 + a5= 10, a4 =7 ,则数列 {an} 的公差为 A.1 B. 2 C.3 D.4 ( )

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1. (2012· 福建 )等差数列 {an}中, a1+ a5= 10, a4= 7,则数列 {an} 的公差为 A.1 B. 2 C.3 D.4 ( B )

解 析
方法一 设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1=1, 解得? ? ?d=2. ? ?2a1+4d=10, 由题意得? ? ?a1+3d=7.

∴d=2.

方法二 ∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5. 又 a4=7,∴公差 d=7-5=2.

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项 和,则 S20-2S10 等于 A.40 B.200 C.400 D.20 ( )

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.数列{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn 为数列{an}的前 n 项 和,则 S20-2S10 等于 A.40 B.200 C.400 D.20 ( C )

解 析
20?a1+a20? 10?a1+a10? S20-2S10= -2× 2 2 =10(a20-a10)=100d,又 a10=a2+8d,
∴33=1+8d,∴d=4,∴S20-2S10=400.

基础知识

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+?+a101=0,则有( A.a1+a101>0 C.a3+a99=0 B.a2+a100<0 D.a51=51

)

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知等差数列{an}满足 a1+a2+a3+?+a101=0,则有( C ) A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51

解 析
a1+a101 由题意,得 a1+a2+a3+?+a101= ×101=0.所以 2 a1+a101=a2+a100=a3+a99=0.

基础知识

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1 2 3

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4

专项基础训练
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4.(2011· 大纲全国)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1, 公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k 等于 A.8 C.6 B. 7 D.5 ( )

解 析

基础知识

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2011· 大纲全国)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1, 公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k 等于 A.8 C.6 B. 7 D.5 ( D )

解 析
∵Sk + 2 - Sk = ak + 1 + ak + 2 = a1 + kd + a1 + (k + 1)d = 2a1 + (2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5.

基础知识

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5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________.

解 析

基础知识

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4

专项基础训练
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13 5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6=________. 解 析
设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1+2d=7, 则由已知,得? ? ?a1+4d=a1+d+6, ? ?a1=3, 解得? ? ?d=2.

所以 a6=a1+5d=13.

基础知识

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6.(2011· 辽宁)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5 =________.

解 析

基础知识

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思想方法

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4

专项基础训练
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6.(2011· 辽宁)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5

-1 =________. 解 析
6×5 ? ?a1+a1+d=6a1+ d, 2 由题意知? ? ?a1+3d=1,
? ?a1=7, 解得? ? ?d=-2,

∴a5=a4+d=1+(-2)=-1.

基础知识

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专项基础训练
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7.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2 (n≥1),则该数列的通项 an=________.

解 析

基础知识

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专项基础训练
5 6 7 8 9

7.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2 (n≥1),则该数列的通项

2n-1 an=________.

解 析
∵an+1-an=2(n≥1),∴{an}为等差数列,
∴an=1+(n-1)×2,即 an=2n-1.

基础知识

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专项基础训练
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8.(10 分)已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3a7=-12,a4+a6 =-4,求它的通项公式.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
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8.(10 分)已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3a7=-12,a4+a6 =-4,求它的通项公式.

解 析

设等差数列{an}的公差为 d.

因为 a3+a7=a4+a6=-4,a3a7=-12, 所以 a3,a7 是方程 x2+4x-12=0 的两根. ? ?a3=-6, 因为 d>0,所以 a3<a7.解方程,得? ? ?a7=2. 由 a7=a3+4d,得 d=2.
所以 an=a3+(n-3)d=-6+2(n-3)=2n-12.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

Sn 9. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, an= n +2 (n-1) (n∈N*). (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; S2 S3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +?+ -(n-1)2=2 013? n 2 3 若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

Sn 9. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, an= +2 (n-1) (n∈N*). n (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; S2 S3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +?+ -(n-1)2=2 013? n 2 3 若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由.

解 析
Sn 解 (1)由 an= n +2(n-1),得 Sn=nan-2n(n-1) (n∈N*). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1), 即 an-an-1=4, 故数列{an}是以 1 为首项,以 4 为公差的等差数列. ?a1+an?n 2 * 于是,an=4n-3,Sn= = 2 n - n ( n ∈ N ). 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

Sn 9. (12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, an= +2 (n-1) (n∈N*). n (1)求证:数列{an}为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; S2 S3 Sn (2)是否存在自然数 n,使得 S1+ + +?+ -(n-1)2=2 013? n 2 3 若存在,求出 n 的值;若不存在,请说明理由.

解 析

Sn (2)由 Sn=nan-2n(n-1),得 n =2n-1 (n∈N*), S2 S3 Sn 又 S1+ 2 + 3 +?+ n -(n-1)2=1+3+5+7+?+(2n-1) -(n-1)2=n2-(n-1)2=2n-1.

令 2n-1=2 013,得 n=1 007, 即存在满足条件的自然数 n=1 007.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

S3 S2 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列 3 2 {an}的公差是 1 A. 2 C.2 ( B. 1 D.3 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

S3 S2 1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 - =1,则数列 3 2 {an}的公差是 1 A. 2 C.2 ( C ) B. 1 D.3

解 析
n?a1+an? Sn a1+an S3 S2 因为 Sn= , 所以 n = , 由 - =1, 2 2 3 2 a3 a2 得 - =1,即 a3-a2=2,所以数列{an}的公差 2 2 为 2.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大 时,n 的值是 A.5 B. 6 C.7 D.8 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大 时,n 的值是 A.5 B. 6 C.7 D.8 ( )

解 析
方法一 由 S3=S11,得 a4+a5+?+a11=0,根据等差数 列的性质,可得 a7+a8=0,根据首项等于 13 可推知这个 数列递减,从而得到 a7>0,a8<0,故 n=7 时,Sn 最大.

方法二

由 S3=S11,可得 3a1+3d=11a1+55d,把 a1=13

代入,得 d=-2,故 Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,根据 二次函数的性质,知当 n=7 时,Sn 最大.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=13,S3=S11,当 Sn 最大 时,n 的值是 A.5 B. 6 C.7 D.8 ( C )

解 析
方法三 根据 a1=13,S3=S11,则这个数列的公差不等于 零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据 公差不为零的等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数, 3+11 以及二次函数图像的对称性,得只有当 n= =7 时, 2 Sn 取得最大值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

? ? 1 ? ? 3.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若?1+a ?是等差数列,则 ? n? ? ?

a11 等 )

于 A.0 1 B. 6 1 C. 3 1 D. 2

(

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

? ? 1 ? ? 3.已知数列 {an}中, a3= 2,a5=1,若?1+a ?是等差数列,则 ? n? ? ?

a11

等于 A.0 1 B. 6 1 C. 3 1 D. 2

( A )

解 析
1 1 1 1 ?1 1? 记 bn= ,则 b3= ,b5= ,数列{bn}的公差为 ×?2-3?= 3 2 2 ? 1+an ? n+ 1 n+ 1 11-n 1 1 1 , b1= , ∴bn= ,即 = , ∴an= ,故 12 6 12 12 1+an n+ 1 a11=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9= ________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9= ________. 15
设等差数列的公差为 d, 3×2 则 S3=3a1+ 2 d=3a1+3d=3,即 a1+d=1, ① 6×5 S6=6a1+ 2 d=6a1+15d=24,即 2a1+5d=8. ② 联立①②两式得 a1=-1,d=2,故 a9=a1+8d=-1+8×2=15.

解 析

基础知识

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思想方法

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B组
3

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4 5 6 7

5.设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意自然 Sn 2n-3 a9 a3 数 n 都有T = ,则 + 的值为________. 4 n - 3 b + b b + b n 5 7 8 4

解 析

基础知识

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思想方法

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.设等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,若对任意自然 19 Sn 2n-3 a9 a3 41 数 n 都有T = ,则 + 的值为________ . 4 n - 3 b + b b + b n 5 7 8 4

解 析
∵{an},{bn}为等差数列,
a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 ∴ + = + = = . 2b6 b6 b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 a6 19 ∵ = = = = ,∴ = . T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41 b6 41

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4 5 6 7

6.(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹 子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为________升.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

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练出高分
1 2

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3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2011· 湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹 子,自上而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升,则第 5
67 节的容积为________ 升. 66

解 析

设所构成数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
? ?4a1+6d=3, 即? ? ?3a1+21d=4,

? ?a1+a2+a3+a4=3, 依题意? ? ?a7+a8+a9=4,

13 ? ?a1=22, 解得? ?d= 7 , 66 ? 13 7 67 ∴a5=a1+4d=22+4×66=66.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7.(13 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2· a3 =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+ c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

解 析

基础知识

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思想方法

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2· a3 =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+ c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

解 析



(1)由题意知,{an}是等差数列,且公差 d>0,

? ? ?a2a3=45, ??a1+d??a1+2d?=45, 则由? 得? ? ? ?a1+a5=18, ?a1+?a1+4d?=18. ? ?a1=1, 解得? ∴an=4n-3 (n∈N*). ? ?d=4.

基础知识

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思想方法

练出高分

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2· a3 =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+ c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.
? n?1+4n-3? 1? 2n?n-2? 2 Sn ? ? (2)由 bn= = = , n+ c n+ c n+ c 1 ∵c≠0,∴可令 c=-2,得到 bn=2n.

解 析

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)已知等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2· a3 =45,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*),是否存在一个非零常数 c,使数列{bn} n+ c 也为等差数列?若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由.

解 析
∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),
∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=- ,使数列{bn}也为等差数列. 2
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