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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学5-1


基础巩固强化 一、选择题 → 1. (文)(2014· 南通中学月考)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC → → +BA=2BP,则( → → A.PA+PB=0 → → C.PB+PC=0 [答案] B → → → [解析] 如图,根据向量加法的几何意义,BC+BA=2BP?P 是 → → AC 的中点,故PA+PC=0. ) → → B.PC+PA=0 → → →

D.PA+PB+PC=0

→ → → → (理)已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+ → sAC,则 r+s 的值是( 2 A.3 C.-3 [答案] D ) 4 B.3 D.0

→ → → → → → [解析] CD=AD-AC,DB=AB-AD.

→ → → → → 1→ → ∴CD=AB-DB-AC=AB-2CD-AC. 3→ → → ∴2CD=AB-AC, → 2→ 2→ ∴CD=3AB-3AC. → → → 2 2 又CD=rAB+sAC,∴r=3,s=-3, ∴r+s=0. 2.(2012· 四川理,7)设 a、b 都是非零向量,下列四个条件中, a b 使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b C.a=2b [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、 单位向量、 向量的模等基本概念. a b 因 表示与 a 同向的单位向量, 表示与 b 同向的单位向量,要 |a| |b| a b a b 使 = 成立,则必须 a 与 b 同向共线,所以由 a=2b 可得出 = . |a| |b| |a| |b| [点评] a=-b 时,a 与 b 方向相反;a∥b 时,a 与 b 方向相同 ) B.a∥b D.a∥b 且|a|=|b|

a b 或相反.因此 A、B、D 都不能推出 = . |a| |b| 3.(2013· 长春调研)已知向量 a=(2,1),b=(x,-2),若 a∥b, 则 a+b 等于( ) B.(2,1) D.(-3,1)

A.(-2,-1) C.(3,-1) [答案] A

[解析] 由 a∥b 可得 2×(-2)-1×x=0,故 x=-4,所以 a+b =(-2,-1),故选 A. 4.(2013· 辽宁五校联考)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 → → → → → → 2 BC 外,BC =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=( A.2 [答案] A [解析] → → → → → → → → 2 2 由 |AB +AC|= |AB -AC|两边平方得AB +AC + 2AB · AC B.4 C.6 D.8 )

→ → → → → → =AB2+AC2-2AB· AC,即AB· AC=0, → → → 所以AB⊥AC,∴AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线,又由BC2 → → =16 得|BC|=4,所以|AM|=2. → → 5.设OA=e1,OB=e2,若 e1 与 e2 不共线,且点 P 在线段 AB 上, |AP → PB|=4,如图所示,则OP=( )

1 2 A.5e1-5e2 2 1 B.5e1+5e2 1 4 C.5e1+5e2 2 1 D.5e1-5e2 [答案] C → → → → → → [解析] AP=4PB,∴AB=AP+PB=5PB, → → → → 1→ OP=OB+BP=OB-5AB → 1 → → 4→ 1→ 1 4 =OB-5(OB-OA)=5OB+5OA=5e1+5e2. 6.(2013· 湖南衡阳八中月考)向量 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a +λb 的夹角为锐角,则 λ 满足( 5 A.λ<-3 5 C.λ>-3且 λ≠0 [答案] C [解析] 当 λ=0 时,a 与 a+λb 平行,其夹角为 0° ,∴λ≠0,由 a 与 a+λb 的夹角为锐角,可得 a· (a+λb)=(1,2)· (1+λ,2+λ)=3λ+ ) 5 B.λ>-3 5 D.λ<-3且 λ≠-5

5 5 5>0,解得 λ>-3,综上可得 λ 的取值范围为 λ>-3且 λ≠0,故应选 C. 二、填空题 7.(文)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),若 a -2b 与 c 共线,则 k=________. [答案] 1 [解析] a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3) ,因为 a-2b 与 c 平行,所以 3× 3-3k=0, 所以 k=1. → → ( 理 ) 已知点 A(2,3), C(0,1) ,且AB =- 2BC ,则点 B 的坐标为 ________. [答案] (-2,-1) → → [解析] 设点 B 的坐标为(x, y), 则有AB=(x-2, y-3), BC=(- → → x,1-y),因为AB=-2BC,
? ?x-2=2x, 所以? 解得 x=-2,y=-1. ? ?y-3=-2?1-y?,

8.(2013· 新课标Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中 → → 点,则AE· BD=________. [答案] 2 → → [解析] ∵正方形 ABCD 中,AB⊥AD,∴AB· AD=0, → 1→ → → → → ∵E 为 CD 的中点,∴AE=2AB+AD,BD=AD-AB,

→ → 1→ → → → ∴AE· BD=(2AB+AD)· (AD-AB) 1→2 →2 1 =-2|AB| +|AD| =-2×22+22=2. → → → → 9.(文)在△ABC 中,AB=2AC=2,AB· AC=-1,若AO=x1AB+ → x2AC(O 是△ABC 的外心),则 x1+x2 的值为________. [答案] 13 6

→ → → → → → → [解析] O 为△ABC 的外心, AO=x1AB+x2AC, AO· AB=x1AB· AB → → → → 1→ +x2AC· AB,由向量数量积的几何意义,AO· AB=2|AB|2=2,∴4x1- x2=2,① → → → → → → 1 又AO· AC=x1AB· AC+x2AC· AC,∴-x1+x2=2,② 5 4 13 联立①②,解得 x1=6,x2=3,∴x1+x2= 6 . (理)(2013· 保定调研)已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点 → → → C 在第二象限,且∠AOC=135° ,设OC=-OA+λOB(λ∈R),则 λ 的值为________. 1 [答案] 2 [解析] 由∠AOC=135° 知,点 C 在射线 y=-x(x<0)上,设点 C 的坐标为(a,-a),a<0,则有(a,-a)=(-1+λ,λ),得 a=-1+λ, 1 -a=λ,消掉 a 得 λ=2. 10.(2013· 广东中山一模)在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是

→ → → CD 和 BC 的中点,若AC=λAE+μAF,其中 λ,μ∈R,则 λ+μ= ________. 4 [答案] 3 [解析]

→ → 如图,设AB=a,AD=b, → → → 则AC=AB+AD=a+b, → → → 1 AF=AB+BF=a+2b, → → → 1 AE=AD+DE=2a+b, → → 3 3→ ∴AE+AF=2(a+b)=2AC, → 2→ 2→ 即AC=3AE+3AF. 2 4 ∴λ=μ=3,λ+μ=3. 能力拓展提升 一、选择题 → 11.(2013· 哈尔滨四校统考)在△ABC 中,N 是 AC 边一点,且AN

→ → 2→ 1→ =2NC, P 是 BN 上的一点, 若AP=mAB+9AC, 则实数 m 的值为( 1 A.9 [答案] B [解析] 1 B.3 C.1 D.3

)

→ 1→ → 1→ → → 2→ → 如图,因为AN=2NC,所以AN=3AC,AP=mAB+9AC=mAB+ 2→ 2 AN ,因为 B 、 P 、 N 三点共线,所以 m + 3 3=1, 1 所以 m=3,选 B. 12.(文)(2013· 山西大学附中)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角 → → → → → → 形,设点 P,Q 满足AP=λAB,AQ=(1-λ)AC,λ∈R,若BQ· CP=- 3 2,则 λ=( 1± 10 A. 2 1± 2 C. 2 [答案] D [解析] → → → → → → → → → → → → BQ· CP=(BA+AQ)(CA+AP)=BA· CA+BA· AP+AQ· CA ) 3 B.4 1 D.2

→ → +AQ· AP → → → → → → → → =BA· CA-λBA· BA-(1-λ)CA· CA+λ(1-λ)BA· CA =2(-λ2+λ+1)-4λ-4(1-λ) 3 1 =-2λ2+2λ-2=-2,∴λ=2. → → (理)(2012· 宁夏银川一中二模)已知向量AB=(2,x-1),CD=(1, → → 2 1 -y)(xy>0),且AB∥CD,则x+y的最小值等于( A.2 [答案] C → → [解析] 因为AB∥CD,所以 2(-y)-(x-1)=0,即 x+2y=1, 2 1 2 1 4y x 所以(x + y )=( x + y )(x+2y)=4+ x +y≥4+2 1 1 =2,y=4时等号成立).故选 C. → → → 13.(文)在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD → 1→ =3CA+λCB,则 λ=( 2 A.3 1 C.-3 [答案] A [ 解析 ] → → → → → → 2→ → 2 由于 AD = 2 DB ,得 CD = CA + AD = CA + 3 AB = CA +3 ) 1 B.3 2 D.-3 4y x x· y=8(当且仅当 x B.4 C.8 ) D.16

→ → 1→ 2→ → 1→ → 2 (CB-CA)=3CA+3CB,结合CD=3CA+λCB,知 λ=3. (理)(2013· 保定模拟)如图所示,已知点 G 是△ABC 的重心,过 G → → → → 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M, N 两点, 且AM=xAB, AN=yAC, 则 x· y 的值为( x+y )

A.3

1 B.3

C.2

1 D.2

→ → [分析] 由 M、N、G 三点共线知,存在实数 λ、μ 使AG=λAM+ → → → → → → → → μAN,结合条件AM=xAB,AN=yAC,可将AG用AB,AC表示,又 G → → → 为△ABC 的重心,AG用AB,AC表示的表示式唯一,可求得 x,y 的 关系式. [答案] B → → → [解析] 法 1:由点 G 是△ABC 的重心,知GA+GB+GC=0, → → → → → → 1 → → 得-AG+(AB-AG)+(AC-AG)=0,则AG=3(AB+AC).又 M、N、 → → G 三点共线(A 不在直线 MN 上), 于是存在 λ, μ∈R, 使得AG=λAM+ → → → → 1 → → μAN(且 λ+μ=1),则AG=λxAB+μyAC=3(AB+AC),

?λ+μ=1, 所以? 1 λx = μy = ? 3,
1 1 x· y 1 1 于是得x +y =3,所以 =1 1=3. x+y x+y 法 2:特殊化法,利用等边三角形,过重心作平行于底边 BC 的 x· y 1 直线,易得 = . x+y 3 二、填空题 → → → → 14.(2012· 吉林省延吉市质检)已知:|OA|=1,|OB|= 3,OA· OB → → → =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30° ,设OC=mOA+nOB(m,n m ∈R+),则 n =________. [答案] 3 → → → → → → → [解析] 如图,设 mOA=OF,nOB=OE,则OC=OF+OE,

→ → → ∵∠AOC=30° ,∴|OC|· cos30° =|OF|=m|OA|=m, → → → |OC|· sin30° =|OE|=n|OB|= 3n,

→ m |OC|cos30° 1 m 两式相除得: = → =tan30° = 3,∴ n =3. 3n |OC|sin30° 15.(2013· 浙江余姚中学)在△ABC 所在的平面内有一点 P,满足 → → → → PA+PB+PC=AB,则△PBC 与△ABC 的面积之比是________. 2 [答案] 3 → → → → [解析] PA+PB+PC=AB → → → → → → → ?PA+PC+PB-AB=0?PA+PC+PA=0 → → ?2PA=CP, 2 所以 P 是 AC 的三等分点, 所以△PBC 与△ABC 的面积之比是3. 三、解答题 16.(文)已知 a=(2x-y+1,x+y-2),b=(2,-2), (1)当 x、y 为何值时,a 与 b 共线? (2)是否存在实数 x、y,使得 a⊥b,且|a|=|b|?若存在,求出 xy 的值;若不存在,说明理由. [解析] (1)∵a 与 b 共线, ∴存在非零实数 λ 使得 a=λb,

?x= , ?2x-y+1=2λ, ? ∴? ?? 3 ?x+y-2=-2λ, ? ?y∈R.
(2)由 a⊥b?(2x-y+1)×2+(x+y-2)×(-2)=0?x-2y+3=0. ① 由|a|=|b|?(2x-y+1)2+(x+y-2)2=8.②

1

?x=3, ? ?x=-1, 由①②解得? 或? 7 ? ?y=1, ? ?y=3.
35 ∴xy=-1 或 xy= 9 . → → → (理)已知点 O(0,0)、A(1,2)、B(4,5),向量OP=OA+tAB. (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上? (2)t 为何值时,点 P 在第二象限? (3)四边形 ABPO 能否为平行四边形?若能, 求出 t 的值; 若不能, 说明理由. (4)求点 P 的轨迹方程. → → → [解析] ∵OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3) =(1+3t,2+3t),∴P(1+3t,2+3t). 2 (1)∵P 在 x 轴上,∴2+3t=0 即 t=-3.
? ?1+3t<0, 2 1 (2)由题意得? ∴-3<t<-3. ?2+3t>0. ?

?

5

→ → (3)∵AB=(3,3),OP=(1+3t,2+3t). → → 若四边形 ABPO 为平行四边形,则AB=OP,
?1+3t=3, ? ∴? 而上述方程组无解, ?2+3t=3. ?

∴四边形 ABPO 不可能为平行四边形. → (4)∵OP=(1+3t,2+3t),

→ ? ?x=1+3t, 设OP=(x,y),则? ? ?y=2+3t. ∴x-y+1=0 为所求点 P 的轨迹方程.

考纲要求 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 补充说明 1.向量共线的应用中注意事项 (1)向量共线的充要条件中,只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共 线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到 三点共线. (3)若 a 与 b 不共线且 λa=μb,则 λ=μ=0. → → → (4)设OA=λOB+μOC(λ,μ 为实数),若 A,B,C 三点共线,则 λ +μ=1. 2.“数形结合”思想 数形结合是求解向量问题的基本方法.向量加法、减法的几何意 义,充分体现了数形结合思想.

3.方程思想在向量中的应用 在向量的平行与垂直、 向量的共线、 向量的长度与夹角等问题中, 常常要依据条件列方程求解.利用共线条件和平面向量基本定理,是 应用的难点. 备选习题 → → → 1. 设平面内有四边形 ABCD 和点 O, 若OA=a, OB=b, OC=c, → OD=d,且 a+c=b+d,则四边形 ABCD 为( A.菱形 C.矩形 [答案] D → → [解析] 解法一:设 AC 的中点为 G,则OB+OD=b+d=a+c → → → =OA+OC=2OG,∴G 为 BD 的中点,∴四边形 ABCD 的两对角线 互相平分,∴四边形 ABCD 为平行四边形. → → → 解法二:AB=OB-OA=b-a, → → → → CD=OD-OC=d-c=-(b-a)=-AB, ∴AB 綊 CD,∴四边形 ABCD 为平行四边形. → → → 2.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a -3b,其中 a、b 不共线,则四边形 ABCD 为( A.梯形 C.菱形 [答案] A ) B.梯形 D.平行四边形 )

B.平行四边形 D.矩形

→ → → → → → [解析] 由已知得AD=AB+BC+CD=-8a-2b,故AD=2BC, 由共线向量知识知 AD∥BC, 且|AD|=2|BC|, 故四边形 ABCD 为梯形, 所以选 A. 3.已知向量 a、b 不共线,若向量 a+λb 与 b+λa 的方向相反, 则 λ=________. [答案] -1 [解析] 由条件知存在负数 μ,a+λb=μ(b+λa), ∴(1-λμ)a+(λ-μ)b=0,
2 ? ? ?1-λμ=0, ?λ =1, ∵a 与 b 不共线,∴? ∴? ? ? λ - μ = 0. ? ?λ=μ.

∵μ<0,∴λ=-1.


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