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2015年江苏高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题)


2015 年江苏高考全真模拟试卷二
一、填空题 1.已知集合 A ? ?0,1,2?,则 A 的子集的个数为 2.设复数 z1 ? 2 ? ai , z2 ? 2 ? i(其中a ? 0, i为虚数单位 ) ,若

z1 ? z2 ,则 a 的值为

.

3.运行如图所示的流程图,则输出的 S 的值为 . 4. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 若 直 线

1 y ? x ? b(e是自然对数的底数) 是 曲 线 y ? ln x 的 一 条 切 e 线,则实数 b 的值为
5. 某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则他们在 同一食堂用餐的概率为 . 6.设定义在区间 (0, 则 tan ? 的值为

?

1 ) 上的函数 y ? sin 2 x 的图象与 y ? cos x 图象的交点的横坐标为 ? , 2 2

7.已知一组数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差为 3,若数据 ax1 ? b, ax2 ? b,?, axn ? b(a, b ? R) 的方差 为 12,则 a 的所有的值为 .

8. 已 知 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 偶 函 数 , 且 在 区 间 (??,0) 上 是 单 调 递 减 , 则 不 等 式

f ( x2 ? 3x) ? f (4) 的解集为

.

9.我们知道,以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为 1 : 4 ,类比该 命题得,以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 10. 在平面直角坐标系 xoy 中,设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c(c ? 0) ,当 a 2 b2

a , b 任意变化时,
11

a?b 的最大值为 c

2 2 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 若 直 线 l 与 圆 C1:x ? y ? 1 和 圆

C2: ( x ? 5 2 )2 ? ( y ? 5 2 )2 ? 49 都相切,且两个圆的圆心均在直线 l 的下方,则直线 l 的
斜率为 . 12.在平面四边形 ABCD 中,点 E , F 分别是边 AD, BC 的中点,且 AB ? 1 , EF ? 2 ,

CD ? 5 ,则 AB ? DC 的值为

.

13.观察下列一组关于非零实数 a , b 的等式:

a 2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b)

a3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b2 ) a4 ? b4 ? (a ? b)(a3 ? a2b ? ab2 ? b3 )
??
通过归纳推理,我们可以得到等式 a
2015

? b2015 ? (a ? b)(x1 ? x2 ? x3 ? ? ? x2015 ) , 其 中
(1 ? n ? 2015 ,

x1 , x2 , x3 ?, x2015 构成一个有穷数列 {xn } ,则该数列的通项公式为 xn =
且n? N ) (结果用 a, b, n 表示)
?

14.已知角 ?,? 满足 二.解答题

2 tan? 7 ? ,若 sin(? ? ? ) ? ,则 sin(? ? ? ) 的值为 3 tan ? 13

15. 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知 A(0,0), B(4,3) ,若 A,B, C 三点按顺时针方向排列构成 等边三角形 ABC ,且直线 BC 与 x 轴交于点 D 。 (1)求 cos ?CAD 的值; (2)求点 C 的坐标。

16.如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 平面A1 ABB ? 平面ABCD,且 ?ABC ? 1 (1)求证: BC // 平面AB1C1 ; (2)求证: 平面A1ABB1 ? 平面AB1C1 .

?
2



17.如图,圆 O 的直径 AD ? 2 ,动弦 BC 垂直于 AD 。设 ?AOB ? ? , ?ABC 的面积为 S 。 (1)试建立 S 关于 ? 的函数关系; (2)当 ? 为何值时, S 取得最大值,并求出 S 的最大值。 A

O

D 第 17 题

18.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 P 为直线 l:x ? 2 上一点,过点 A(1,0) 作 OP 的垂线 与以 OP 为直径的圆 K 相交于 B, C 两点. (1)若 BC ? 6 ,求圆 K 的方程; (2)求证:点 B 始终在某定圆上。 (3)是否存在一定点 Q (异于点 A ),使得 存在,说明理由。

QB 为常数?若存在,求出定点 Q 的坐标;若不 AB

19.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? b ? a ( a ? 0, b, c ? R )
3 2

(1)设 c ? 0 ①若 a ? b , f ( x) 在 x ? x0 处的切线过点 (1,0) ,求 x 0 的值; ②若 a ? b ,求 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最大值。 (2)设 f ( x) 在 x ? x1 , x ? x2 两处取得极值,求证: f ( x1 ) ? x1 , f ( x2 ) ? x2 不同时成立。

20.已知数列 {an } , {bn }对任意的正整数 n ? N ,都有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? an?1b2 ? anb1
?

? 2n?1 ? n ? 2 成立。
(1) 若 {an } 是等差数列,且首项和公差相等,求证: {bn }是等比数列; (2) 若 {an } 是等差数列,且 {bn }是等比数列,求证: anbn ? n ? 2 。
n?1

附加题
21.选做题(本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内作答. ...... 若多做,则按前两题评分) A.选修 4-1:几何证明选讲(10 分) 如图, AB 和 BC 分别于圆 O 相切与点 D, C ,且 AC 经过圆心 O , AC ? 2 AD ,求证:

BC ? 2OD

B.选修 4-2:矩阵与变换(10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知 A(0,0), B(2,0),C (2,2), D(0,2), 先将正方形 ABCD 绕原点 逆时针旋转 90 ? ,再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变,求连续两次变换 所对应的矩阵 M

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? cos? ? 1 ( ? 为参数) , 现以 O 为 ? y ? sin ?

极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方程.

D.选修 4-5:不等式选讲(10 分) 设 a , b 为互不相等的正实数,求证: 4(a ? b ) ? (a ? b) .
3 3 3

必做题(第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分) 22.(10 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, AB, AD, AP 两两垂直,长度分别为 1,2,2,且

DC ? 2 AB .
(1)求直线 PC 与 BD 所成角的余弦值; (2)求直线 PB与平面PCD的所成角的正弦值。

23.证明二项式定理 ( a ? b) ?
n

?C a
r n r ?0

n

n?r

br , n ? N ?


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