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数列的综合应用


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2 005- 200 6 学 年 度 上 学 期

高中学生学科素质训练
高一数学同步测试( ) 高一数学同步测试(10)—数列的综合应用
说明:本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷 60 分,第 II 卷 90 分,共 150 分;答题 时间 150 分钟.

第Ⅰ卷(共 60 分)
一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知 ABC 的三个内角分别是 A, C,B=60°是 A,B, 的大小成等差数列的( B, C A. 充分非必要条件 C. 充要条件 2.已知 an = B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ( D. 2 ( C. D. S6=S5 ) ) )

1 ( n ∈ N * ) ,则 a1 + a2 + + a10 的值为 n +1 + n
B. 11 1 C. 12 1

A. 10 1

3.设数列 {an } 是等差数列, a2 = 6, a8 = 6 ,Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则 A.S4<S5 S6<S5 B.S4=S5

4.某种细胞开始时有 2 个,1 小时后分裂成 4 个,并死去 1 个,2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个,…,按这种规律进行下去,6 小时后细胞的存活 数为 ( ) A.67 B.71 C.65 D.30 5. 已知数列 {a n } , "对任意的 n ∈ N * , Pn ( n, a n ) 都在直线 y = 2 x + 1 上" " {a n } 那么 点 是 为等差数列"的 ( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.给定正数 p, q, a, b, c ,其中 p ≠ q ,若 p, a, q 成等比数列, p, b, c, q 成等差数列,则一元二次方程
bx 2 2 ax + c = 0

( B.有两个相等的实数根 D.有两个异号的相异的实数根
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)

A.无实数根 C.有两个同号的相异的实数根

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7.北京市为成功举办 2008 年奥运会,决定从 2003 年到 2007 年 5 年间更新市内现有全部出 租车,若每年更新的车辆数比前一年递增 10%,则 2003 年底更新车辆数约为现有总车辆 数的(参考数据 1.14=1.46 A.10% 1.15=1.61) C.16.8% D.20% ( ) ( )

B.16.4%

8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

第1个

第2个

第3个

则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 A. 4 n + 2 B. 4n 2 C. 2n + 4 9.等差数列 {a n } 中, n ≥ 2 ,公差 d < 0 ,前 n 项和是 S n ,则有 A. na n < S n < na1 C. S n ≥ na1 10.设 S n = B. na1 < S n < na n D. S n ≤ na n D. 3n + 3

( (

) )

1 1 1 1 3 + + ++ , 且 S n S n +1 = ,则 n 的值为 2 6 12 n(n + 1) 4

(

)

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 11.设 { a n } ( n ∈ N ) 是等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S 5 < S 6 , S 6 = S 7 > S 8 ,则下列结 论错误的是 ( ) A. d < 0 B. S 9 > S 5 C. a 7 = 0 D. S 6 与 S 7 是 S n 的最大值 12. {a n } 是等差数列, 若 首项 a1 > 0,a 23 + a 24 > 0,a 23 a 24 < 0 , 则使前 n 项和 S n > 0 成立的最大自然数 n 是 A.48 B.47 C.46 D.45 ( )

第Ⅱ卷(共 90 分)
二,填空题:本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上. 13. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, n= S
a1 (3 n 1) (对于所有 n≥1), a4=54, a1 的数值是_____. 且 则 2

14.已知等差数列{an},公差 d ≠ 0,a1,a5,a17 成等比数列,则

a1 + a5 + a17 = a 2 + a 6 + a18

.

15.定义"等和数列" :在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那 么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列 {a n } 是等和数列,且

a1 = 2 ,公和为 5,那么 a18 的值为___,且这个数列的前 n 项和 S n 的计算公式为
-2-

.

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16.已知整数对的序列如下: (1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4) , , , , , , , (2,3)(3,2)(4,1)(1,5)(2,4) , , , , ,……,则第 60 个数对为 . 三,解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程及演算步骤. 17. 设函数 f ( x) = log 2 x log x 4(0 < x < 1) ,数列 {an } 的通项 an 满足 f ( 2 n ) = 2n( n ∈ N * ) .
a

(12 分) (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)判定数列{a n }的单调性.

18.假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末加 1000 元; (Ⅱ)每半年结束时加 300 元.请你选择.(12 分) .... ... (1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种?

19.设等比数列 {a n } 的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,…). (1)求 q 的取值范围; (2)设 bn = a n + 2

(12 分)

3 a n +1 , 记 {bn } 的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 和 Tn 的大小. 2

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20.某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每 现知该药片每片含药量为 220 毫克, 若人的肾脏每 12 天上午 8 时和晚上 20 时各服一片. 小时从体内滤出这种药的 60% ,该药物在人体内的残留量超过 380 毫克,就将产生副 作用. (12 分) (1)某人上午 8 时第一次服药,问到第二天上午 8 时服完药后,这种药在他体内还残留多 少? (2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.

21.给定正整数 n 和正数 b ,对于满足条件 a1 a n +1 ≥ b 的所有无穷等差数列 {a n } ,试求
2

y = a n +1 + a n + 2 + + a 2 n +1 的最大值,并求出 y 取最大值时 {a n } 的首项和公差.(12 分)

22.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n +1 = kS n + 2 ,又 a 1 = 2 ,a 2 = 1 .(14分) (1)求 k 的值; (2)求 S n ; (3)是否存在正整数 m,n,使 在,请说明理由.

Sn m 1 < 成立?若存在求出这样的正整数;若不存 S n +1 m 2

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高一数学同步测试( ) 高一数学同步测试(10)—数列的综合应用答案
一,选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 二,填空题 13. 2. 5.B 6.A 7.B 8.A 9.A 10.A 11.B 12.C

26 29 1 5 n . 2 2

14. 16.

15. 3 ; (5,7).

当 n 为偶数时, S n =

5 n ;当 n 为奇数时, 2

Sn =
三,解答题

17. ⑴∵ f ( x) = log 2 x log x 4(0 < x < 1) ,又 f ( 2 n ) = 2n( n ∈ N * ) ,
a

∴ f (2 n ) = log 2 2 n log 2an 4 = 2n (0 < 2
a a

an

< 1, 即an < 0)

令 log 2 2

an

= t ,则 t
an

2 = 2n ,∴ t 2 2nt 2 = 0 , t = n ± n2 + 2 t
n2 + 2

注意到 log 2 2

= t ,因此 log 2 2 an = n ± n 2 + 2 , 2 an = 2n ±

,

an = n ± n 2 + 2 < 0 ,

∴ an = n n 2 + 2 n ∈ N * 即为数列 {an } 的通项公式.

(

)

∴ an +1 > an ,可知数列 {a n } 是递增数列.
18. 设方案一第 n 年年末加薪 an,因为每年末加薪 1000 元,则 an=1000n; 设方案二第 n 个半年加薪 bn,因为每半年加薪 300 元,则 bn=300n; (1) 在该公司干 10 年(20 个半年),方案 1 共加薪 S10=a1+a2+……+a10=55000 元. 方案 2 共加薪 T20=b1+b2+……+b20=20×300+ 20× ( 20 1) × 300 =63000 元;
2

(2) 设在该公司干 n 年,两种方案共加薪分别为:
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Sn=a1+a2+……+an=1000×n+ n ( n 1) ×1000 =500n +500n,
2

T2n=b1+b2+……+b2n=2n×300+ 2 n × ( 2 n 1) × 3 00 =600n +300n,
2

2

令 T2n≥Sn 即:600n +300n>500n +500n,解得:n≥2,当 n=2 时等号成立. ∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案;如果只干 2 年,随便选;如果只干 1 年,当然选择第一方案. 19. (1)因为 {a n } 是等比数列, S n > 0, 可得a1 = S1 > 0, q ≠ 0. 当 q = 1时, S n = na1 > 0;

2

2

a1 (1 q n ) 1 qn > 0, 即 > 0, ( n = 1, 2,) 1 q 1 q 1 q < 0, 上式等价于不等式组: ① , (n = 1,2,) 1 qn < 0 1 q > 0, 或 ② , (n = 1,2,) n 1 q > 0 当q ≠ 1时, Sn =
解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数,可为偶数,得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是 ( 1,0) ∪ (0,+∞ ).

3 3 3 an +1 得 bn = a n (q 2 q ), Tn = (q 2 q ) S n . 2 2 2 3 1 于是 Tn S n = S n ( q 2 q 1) = S n (q + )(q 2). 2 2 又∵ Sn >0 且-1< q <0 或 q >0, 1 当 1 < q < 或 q > 2 时 Tn S n > 0 即 Tn > S n ; 2 1 当 < q < 2 且 q ≠0 时, Tn S n < 0 即 Tn < S n ; 2 1 当 q = 或 q =2 时, Tn S n = 0 即 Tn = S n . 2 20. (1)设人第 n 次服药后,药在体内的残留量为 an 毫克,则
(2)由 bn = aa + 2

a1 = 220 , a2 = 220 + a1 × (1 60%) = 220 × 1.4 = 308 , a3 = 220 + a2 × (1 60%) = 343.2 ,即到第二天上午时服完药后,这种药在他 体内还残留 343.2 毫克; 2 1100 2 1100 (2)由题意: an +1 = 220 + an ,∴ an +1 = ( an ), 5 3 5 3 1100 1100 440 2 ∴ {an } 是以 a1 = 为首项, 为公比的等比数列, 3 3 3 5
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∴ an

1100 440 2 n 1 = ( ) , 3 3 5 440 2 n1 1100 2 ∵ ( ) < 0 ,∴ an < = 366 ,∴ an < 380 .故若人长期服用这种药, 3 5 3 3
这种药不会对人体产生副作用.

21. 设 {a n } 公差为 d ,则 a n +1 = a1 + nd , nd = a n +1 a1 .

y = a n+1 + a n + 2 + + a 2 n +1

= a n +1 + (a n +1 + d ) + + (a n +1 + nd ) = (n + 1)a n +1 + (1 + 2 + + n)d
n(n + 1) d 2 a a1 nd ) = (n + 1)(a n +1 + ) = (n + 1)(a n +1 + n +1 2 2 n +1 = (3a n +1 a1 ) . 2

= (n + 1)a n +1 +

又 a1 a n +1 ≥ b,∴ a1 ≤ b a n +1 .
2 2

∴ 3a n +1 a1 ≤ a n +1 + 3a n +1 b = ( a n +1 ) +
2 2

3 2

9 4b 9 4b ≤ , 4 4

3 时,等号成立. 2 n +1 (n + 1)(9 4b) ∴y= (3a n +1 a1 ) ≤ . 2 8 9 4b + 3 (n + 1)(9 4b) 时, y = , 当数列 {a n } 首项 a1 = b + ,公差 d = 4 4n 8 (n + 1)(9 4b) ∴ y 的最大值为 . 8 22. (1)∵ S 2 = kS1 + 2 ∴ a1 + a 2 = ka1 + 2 1 又 a1 = 2 ,a 2 = 1, ∴ 2 + 1 = 2 k + 2 ∴k = 2 1 (2)由(I)知 S n +1 = S n + 2 <1> 2 1 当 n ≥ 2 时, S n = S n 1 + 2 <2> 2
当且仅当 a n +1 =
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< 1 > < 2 > 得 a n +1 =
又 a2 =

1 a n ( n ≥ 2) 2

a 1 1 a1 ,且 a n ≠ 0 (n ∈ N *) ,∴ n +1 = (n ∈ N *) 2 an 2 1 , 2

于是 {a n } 是等比数列,公比为

1 2[1 ( ) n ] 1 2 所以 S n = = 4(1 n ) . 1 2 1 2

S m 1 (3)由(2)知不等式 n < S n +1 m 2

1 )m 1 2n < , 1 2 4(1 n +1 ) m 2 4(1

整理得

2n (4 m) 6 < 0,∴ 2 < 2n (4 m) < 6 . n 2[2 (4 m) 2]
Sn m 1 < 成立,由于 2 n 为偶数, 4 m 为整数, S n +1 m 2

假设存在正整数 m,n,使

所以只能有 2 n ( 4 m) = 4 ,

2n = 2, 2n = 4, ∴ 或 4 m = 2, 4 m = 1.
m = 2, m = 3, ∴ 或 n = 1, n = 2.
因此存在正整数 m = 2 ,n = 1 ;或 m = 3,n = 2 ,使

Sn m 1 < 成立. S n +1 m 2

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