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高中数学竞赛专题讲座之六:立体几何


竞赛

立体几何

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竞赛试题选讲之六:立体几何 竞赛试题选讲之六:
一、选择题部分 1. (2006 吉林预赛)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,过顶点 A1 作直线 l,使 l 与直线 AC 和直 吉林预赛) 线 BC1 所成的角均为 60°,则这样的直线 l 的条数为 ( C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 大于 3 2.(2006 陕西赛区预赛)如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为棱 ( 陕西赛区预赛) AB 上一点, 过点 P 在空间作直线 l, l 与平面 ABCD 和平面 AB C1 D1 使 均成 30 角,则这样的直线 l 的条数为(B) A. 1 B .2 C. 3 D .4 3.(集训试题 集训试题)设 O 是正三棱锥 P-ABC 底面是三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交 . 集训试题 于 S,与 PA、PB 的延长线分别交于 Q、R,则和式 A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等
0

1 1 1 + + PQ PR PS





B.有最小值而无最大值 D.是一个与面 QPS 无关的常数

解: 设正三棱锥 P-ABC 中, 各侧棱两两夹角为α, 与面 PAB 所成角为β, vS-PQR= PC 则
△ PQR

1 S 3

1 1 ( PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面,记 O 到各面的距离为 d,则 3 2 1 1 1 1 d 1 vS-PQR=vO-PQR+vO-PRS+vO-PQS, S△PQR· d= △PRS· d+ S△PRS· d+ △PQS· d= ? PQ· PRsin 3 3 3 3 3 2 d 1 d 1 α + ? PS · PRsin α + ? PQ · PS · sin α , 故 有 : PQ · PR · PS · sin β 3 2 3 2
·h=

=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即

1 1 1 sin β + + = =常数。故选 D。 PQ PR PS d

4. . (2006 年江苏)过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 12 条棱所在 年江苏) ( 直线成等角的直线共有(C) A.0 条 B.1 条 C.4 条

D.无数多条

5.(2006 天津)已知 P 为四面体 S ? ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的 ( 天津) 距离等于点 P 到底面 ABC 的距离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一 部分,则该曲线一定是 ( D ) A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆 6. 2006 年南昌市)四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是单位正方形( A, B, C , D 按反时针 年南昌市) . ( 方向排列),侧棱 PB 垂直于底面,且 PB = 3 ,记 ∠APD = θ ,则 sin θ =(C) A.

2 2

B.

3 3

C.

5 5

D.

6 6

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7. . (2005 年浙江)正方体的截平面不可能 年浙江) 不可能是: (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 ( 不可能 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形; 下述选项正确的是(B) A.(1)(2)(5) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(3)(4)(5) 【解】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝 角三角形,直角三角形(证明略) ;对四边形来讲,可以是梯形(等腰梯形) 、平行四边 形、菱形,矩形、但不可能是直角梯形(证明略) ;对五边形来讲,可以是任意五边形, 不可能是正五边形(证明略) ;对六边形来讲,可以是六边形(正六边形)∴ 选 【 B 】 8. (2005 全国 全国)如图,ABCD ? A′B ′C ′D ′ 为正方体。 任作平面 α 与对角线 AC ′ 垂直, 使得 α 与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l .则 ( ) B.S 不为定值, l 为定值 A.S 为定值, l 不为定值 C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 解:将正方体切去两个正三棱锥 A ? A′BD与 C ′ ? D′B′C 后 , 得 到 一 个 以平 行 平 面

A′BD与D′B′C 为上、下底面的几何体 V,V 的每
个侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W 的每 一条边分别与 V 的底面上的一条边平行,将 V 的 侧面沿棱 A′B ′ 剪开,展平在一张平面上,得到一个

A′B ′B1 A1 ,而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A′A1 平行的线段(如图中 E ′E1 ) ,显然 E ′E1 = A′A1 ,故 l 为定值.
当 E ′ 位于 A′B ′ 中点时,多边形 W 为正六边形,而当 E ′ 移至 A′ 处时,W 为正三角形, 易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别为

3 2 3 2 l 与 l ,故 S 不为定值。 24 36

选 B. 9.(2006 浙江省)在正 2006 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为(C) 浙江省) ( A.2006 B. 1003
2

C. 1003 ? 1003
2

D. 1003 ? 1002 .
2

解: 正 2n 边形 A1 A2 L A2 n ,对角线共有

1 × 2n × (2n ? 3) = n(2n ? 3) 条. 2

计算与一边 A1 A2 平行的对角线条数,因 A1 A2 // An +1 An + 2 ,与 A1 A2 平行的对角线的端 点只能取自 2n-4 个点,平行线共 n-2 条。故与某一边平行的对角线共 n(n-2)条。由此可 得与任何边都不平行的对角线共有 n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C. 10. (2005 四川)如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱 四川) . ( 锥, 变成一个新的立体图形。 那么在新图形顶点之间的连线中, 位于原立方体内部的有 120 条. 解: 据题意新的立体图形中共有 24 个顶点, 每两点连一条线,
2 共 C 24 = 12 × 23 = 276 , 其中所有的棱都在原立方体的表面,

有 36 条.原立方体的每个面上有 8 个点,除去棱以外,还可以

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5×8 = 20 条,6 个面共 120 条都在原立方体的表面,除此 2

之外的直线都在原立方体的内部. 二、填空题部分 1. 2006 年南昌市)棱长为 1 的正四面体在水平面上的正投影面积为 s ,则 s 的最大值为_ ( 年南昌市)

1 2

_. 2. 2006 天津)在一个棱长为 5 的正方体封闭的盒内,有一个半径等于 1 的小球,若小球 天津) ( 在盒内任意地运动,则小球达不到的空间的体积的大小等于

44 ?

31π 3



过边 AC 上一点 D 作直线 DE, 3. . (2006 年上海) 年上海) 在△ABC 中, 已知 ∠A = 30°, ∠B = 105° , ( 与边 AB 或者 BC 相交于点 E,使得 ∠CDE = 60° ,且 DE 将△ABC 的面积两等分,则

? CD ? ? ? = ? AC ?

2

3 6



4. . (2006 年上海)在直三棱柱中,已知底面积为 s 平方米,三个侧面面积分别为 m 平方米, 年上海) ( n 平方米, 平方米, p 则它的体积为 立方米. 5. 2006 陕西赛区预赛)用 6 根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架,铁棒的粗细和 ( 陕西赛区预赛) 焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为 R1 ,能包容此框架的最小球的半 径为 R2 ,则

s 2

4

(m + n + p )(m + n ? p )( p + m ? n)(n + p ? m)

R1 等于 R2

3 3

.

6. . (2006 年江苏)长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB1 = 4 , AD1 = 3 ,则对角线 AC1 的 年江苏) ( 取值范围是

( 4,5)



7. (2005 全国 全国)如图, 四面体 DABC 的体积为 则 CD = 解:Q

1 AC , 且满足 ∠ACB = 45°, AD + BC + = 3, 6 2

3. 1 1 1 AD ? ( ? BC ? AC ? sin 45°) ≥ V DABC = , 3 2 6
AC

即 AD ? BC ?

2

≥ 1.
第 7 题图

又 3 = AD + BC +

AC

2

≥ 3 AD ? BC ?

AC

2

≥ 3,

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等号当且仅当 AD = BC =

AC 2

= 1 时成立, 这时 AB = 1, AD ⊥ 面 ABC, DC = 3 . ∴

8. 2004 全国)如图、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,二面角 A ? BD1 ? A1 的度数是____. ( 全国) 解:连结 D1C , 作CE ⊥ BD1 ,垂足为 E,延长 CE 交 A1 B 于 F,则 FE ⊥ BD1 , 连结 AE,由对称性知 AE ⊥ BD1 , ∴∠FEA 是二面角

A ? BD1 ? A1 的平面角.连结 AC,设 AB=1,则
A1

D1

C1

B1 F E

AC = AD1 = 2, BD1 = 3.
AB ? AD1 2 在Rt ?ABD1 中, AE = = , BD1 3
D

C A

B

4 ?2 AE 2 + CE 2 ? AC 2 2 AE 2 ? AC 2 3 1 在 ?AEC中, cos ∠AEC = = = =? . 4 2 AE ? CE 2 AE 2 2 3

∴∠AEC = 1200 , 而∠FEA是∠AEC 的补角,∴∠FEA = 600 .


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