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第六届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案


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20 0 3年 第 2期 

中学 数 学月 刊 

? 3? 4  

第六届 北 京高 中数 学知 识应 用竞赛  初 赛 试题 及 参 考答 案 
( 可使 用任何 参 考 资料 和计 算 工具 , 间从 1 时 2月 2 0日 1

:0开 始 , 2月 2 6o 1 3日8 O :0准 时 交卷 )  




( 分 1 分 ) 强 加 工 厂 接 到 一 批 订 单 , 完 成 订 单 任 务 , 用 n米 长 的 材 料 4 0根 , 满 6 永 为 需 4 6米 长 的 材 料 

40根 , 采 购 到 的 原 料 有 三 种 , 根 甲 种 原 料 可 截 得 n米 长 的 材 料 4根 , 长 的 材 料 8根 , 本 为 6 8 可 一 6米 成 0元 ; 一  根 乙 种 原 料 可 截 得 d米 长 的 材 料 6根 , 长 的 材 料 2 , 本 为 5 b米 根 成 0元 ; 根 丙 种 原 料 可 截 得 d米 长 的 材 料 4 一  

根 , 米 长的材料 4根 , 6 成本 为 4 0元. 问怎样采 购 , 可使材 料成本最低?  
fx+ 6   4 v+ 4 z= 44   0, (1   )

解 设 种 z ?种 . ?种 2 ,已 为 '2 足8 2 4 4. (  甲 取 根乙 取) 丙 取 根则 知 z , i+  z 8 2 , 根 Y满 x y = 0 ) +  
设 总 成 本 为 P元 , 求 P 6 z 5. 4z的最 小 值 . 则 = 0 + 0, 0 ) +  

由() 2 , z 0 -2Y 0 ÷2 因为 z Y都是正数 , 1和()得 一5 一- , =4 - C ‘ ; , 所以0 ≤10 又因为 z Y都是非负整 ≤2 0. ,  
数 . 以 令 一 5 , 0 ≤ 2   所 t 则 ≤f 0
于 是 P: 6 x+ 5 y+ 4 z 6 5 0 0 0 一 0( 0—2 ) 5 4 — 2 ) 4 t + 0( 0 t + 0×5 一5 0 0 0 , t   0 —2 t 

显 然 t 0时 , 本 最 低 . z—l , o2 10时 . 得 材 料 的 最 低 成 本 46 0 =2 成 即 O — . = 0 取  0 .  


为了取得最低成本 , 买 甲种材料 1 购 O根 , 种 0根 , 种 1 0根 。 本是 46 0 . 乙 丙 0 成  0 元  

二、满分 1 ( 6分 ) 国 青 年 报 20 中 0 2年 9 1 月 9日报 道 : 北 京 市 交 通 管 理 局 的 最 新 统 计 , 据 目前 北 京 机 动 车 
总量 已 突 破 10万 辆 , 10个 家 庭 拥 有 超 过 1 8 每 0 0辆 汽 车 , 市 汽 车 拥 有 量 已 跃 居 全 国 首 位   … 到 2 0 城 … 0 8年 左  右 , 京 机 动 车 保 有 量 将 达 到 3 0万 辆 . 北 0  

( ) 你 按 以 上 信 息 , 算 北 京 今 后 6年 的 机 动 车 平 均 年 增 长 率 ; 1请 计  
( ) 出 一 个 适 合 北 京 远 景 规 划 的 汽 车 新 牌 号 设 计 原 则 和 设 计 方 案 , 计 原 则 中应 考 虑 城 区 普 通 车 、 用  2给 设 农 车、 用车 、 籍车等不 同车种 的区分. 警 外  
6 厂 

解  () 1设平均年增长率为z 则据已知信息。 101 )一30 即z   ÷ 一1 .8 -1 .9   , 有 8 (+z  0 , = / ≈108 ≈10 —1
T   o 
●  

一9 . %  

北 京 今 后 6年 的机 动 车 平 均 年 增 长 率 约 为 9   %.

() 个 问题是开放性 的 , 给参考解答. 2这 不  

( 只要 原 则 合 理 , 牌 号 的 总 量 不 少 于 5 0万 个 即 可 得 满 分 , 量 不 足 30万 的 减 4分 , 3 0 5 0的 减  新 0 总 0 在 O~ 0
1 , 则 不 合 理 的 酌 情 减 分 .  分 原 )

三 、满 分 1 ( 6分 ) 育 彩 票 的抽 奖 是 从 写 在 3 个 球 上 的 3 个 号 码 随 机 摇 出 7个 . 人 统 计 了过 去 中 特 等  体 6 6 有
奖 的 号 码 , 称 某 一 号 码 在 历 次 特 等 奖 中 出 现 的 次 数 最 多 , 是 一 个幸 运 号 码 , 们 应 该 买 这 一 号 码 . 有 人  声 它 人 也

说 , 一 个号码在 历次特等 奖 中出现的 次数最少 , 若 由于 每 个 号 码 出 现 的 机 会 相 等 , 该 买 这 一 号 码 . 认 为 他  应 你
们 的说法对 吗?  



体育 彩票应保证 3 6个 号 码 的 3 个 球 大 小 、 量 等 应 该 是 一 致 的 . 6 重 严格 说 , 了保 证 公 平 , 次 用 的  为 每

3 6个球 , 该 只 允许 用 一 次 . 非 能 保 证 用 过 一 次 后 , 没 有 磨 损 , 形 , 没用 过 的 球 一 样 . 应 除 球 变 和   因此 , 你把这 3 个 球看成 每次抽 奖中只用 了一次时 , 难看 出. 当 6 不 以前 抽 奖 的 结 果 对 今 后 抽 奖 的 结 果 没  有任何影响 , 述两种说法 都是错 的. 上  

四 、满 分 1 ( 6分 ) 石 加 工 厂 经 常 需 要 将 矿 石 原 料 内 已 知 位 置 上 的 一 块 精 品 切 割 出来 , 有 一 块 尺 寸 为  宝 现 1 × 1 ×1 (m) 9 4 2 c  的长 方 体 原 料 。 中需 要 切 割 下 来 的精 品 部 分 是 尺 寸 为 5 × 2c  的 小 长 方 体 , 二 者  其 ×4 (m) 且 的 左 侧 面 、 面 和 底 面 相 互 平 行 , 离 分 别 为 6m.c 9m. 前 距 c 7m.c 已知 切 割 的 加 工 费 用 为 垂 直 纵 向切 割 ( 切 割 面  即
平 行于侧面 ) 3元 /m。垂 直 横 向 切 割 ( 切 割 面 平 行 于 前 面 ) c , 即 3元 /m  水 平 方 向 切 割 ( c , 即切 割 面 平 行 于 底 面 )   5元 /m . 了减 少 旋 转 刀 具 的 次 数 , 求 同 向 切 割 连 续 两 次后 再 旋 转 刀 具. 给 出 切 割 的程 序 使 切 割 的 总 费  c  为 要 试

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用最 少 .  

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解 法 1 建 立 坐标 系 (   , 。 , 得  轴 、 z 、 s 分 别 与 长 方 体 的 长 、 、 平 行 . 厶 (= 1 2 3  z , z )使 z轴 z轴 宽 高 令   ,,) 分 别 表 示 原料 长 方 体 的长 、 和 高 ,   1 2 3 分 别 表 示 精 品 部 分 长 方 体 的 长 、 和 高 . 直 和 水 平 切 割 的 费  宽  (一 , , ) 宽 垂
用 分 别 为 n和 b元 .  

根 据 意 题 可 知 , 个 切 割 的过 程 可 以 分 为 三 次 , 垂 直 纵 向 切 割 、 直 横 向切 割 和 水 平 方 向切 割 , 次 包  整 即 垂 每 括 平 行 的 两 刀 , 两 刀 切 割 的 面 积 是 一 样 的 . 我 们 的 坐 标 系 下 这 三 次 切 割 可 以记 为 沿 zz 这 在   。向 、   。 和  zz 向 z z 向 的 切 割 . 切 割 的 原 料 的形 状 在 每 次 切 割 后 都 要 发 生 变 化 , 某 一 个 方 向 上 的 长 度 由 于 切 割 而 减 小 . 。  被 即   如 沿 着 z z 面 切 割 ( 直 横 向切 割 ) , 使 得 长方 体 在  。即 宽 ) 方 向 减 少 的 1, 着 zz 面 切 割 ( 平 方  。。 垂 时 将 ( 的 。沿 。  水

向 切 割 ) , 使 得 长 方 体 在 z ( 高 ) 方 向 减 少 为 z. 时 将 。即 的 。因此 后 面 切 割 的 面 积 会 由于 前 面 的 切 割 而 不 同 .  
在 我 们 的 问 题 中这 三 次 切 割 按 加 工 先 后 次序 的不 同 总 共 有 3 —6种 情 况 . 们 是    1 它

① 纵 ( 23 、 ( l3、 ( I2 , ② 纵 ( l3 、 ( l ) 横 ( l3 . ⑧ 横 ( l3、 ( 23 、 ( l2 . z z ) 横 zz ) 平 z z )  z z )平 z 2、 zz )   zz )纵 zz ) 平 zz )   ④ 横 ( l 3、 ( l2、 ( 2 3. ⑤ 平 ( l 2、 ( 2 3、 ( l3 , ⑥ 平 ( l2、 ( l 3、 ( 23. z z ) 平 zz )纵 z z )  zz ) 纵 zz )横 z z )  zz ) 横 zz ) 纵 zz )   根 据 上 面 的 分 析 , 六 种 情 况 中 每 一 种 的 三 次 切 割 的 切 割 面 积 ( 记 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 ) 别 是  这 只 分
① L2J ,I3ZZ . ( J, .I ZZ , ( JL3 Z,”ZZ . , ZZ.l2  , J Z如.l3 3 23  ,l ,2J 21  

④ Ll 3 z .2 . ⑤ Ll 2 3 2z   ⑥ Ll 2z J.3 . , ,2 1 3 J L1 z   , . L .3 Jz 厶, , ,3 Iz 2 J , z  于 是 . 六 种 情 况 的 切 割 费 用 应 该 是  这

① Fl 2 ( L + z 3n l 6 , ② F2 2 ( 2 3 。 ) +zL6 . 一 [L2 3 1 ) +z 2]  L 1 — [ L L +z 3d 。 2]  1 ⑧ F3 2 ( l 3 2 3d   6  ④ F 一 2 ( 厶 +z 3d 2 。]  — [ , , +z, ) +z l] JJ J z   [  2 ) +zL6 . z ⑤ F5 [zL + z n , ,6 . ⑥ F6 2 ( l 3 ) + , , 6 . —2 (3 2 3 ) + J J ] 1 l2   — [ zL +z 2d J J ] 3 z 12  
由 题 目 的假 设 可 知 , I 1 , 2 1 ,J: 1 ;l 5z=4 z=2 Ⅱ 36 . 人 上 式 可 算 得  L 一 9, — 4, J 3 2z= .2 .3 ;= . =5 代

Fl [ 1 8 6 ) + 2 ×5 — 74  F — 2 ( 6 + 1 ) + 7 ×5 —8 4  一2 (6 + 0 ×3 O 3 8 , 2 [ 18 O ×3 O 3 8 , F —2 ( 2 + 4 ) + 2 ×5 — 9 8 F 一2 (2 +8 ×3 7 ×5 — 108  3 [ 2 8 8 ×3 0 3 2 .   [ 2 8 ) + 6 3   8 ,

Fs [ 2 +1 ) +2 6 3   4  F —2 ( 8 ) +2 6 3   6 . =2 (8 o ×3 6 ×5 —14 4 6 [3 +8 ×3 6 ×5 —14 8  
比 较 这 六 种 情 况 的 费 用 可 知 , 一 种 切 割 方 式 , 先 纵 切 , 横 切 , 后 平 切 的切 割方 式 费 用 最 低 . 第 即 再 最  
解 法 2 首 先 考 虑 垂 直 和 水 平 切 割 费 用 相 同 的情 况 . n 即 一6时 . 种 情 况 的 费 用 为  六

① Fl 2 l 2 3 l3 l ]  ② F2 2 [ 2 3 z 3 z 2 , ⑧ F :2 [ l 3 z 3 21. = a L L +zL +z 2, 1 — a L L + l + 1 ]  1 L 3 a L L + 2 +z ]  L 1 ④ F = 2 l l 3 2 +z, ]  ⑤ F — 2 E3 2 z l J 2 , ⑥ F =2 [3 l z 2 J J] 4 a L , +z 3 2 1, J z J 5 a l J 3 +, L ]  ,+ z l 6 a 1L + 3 +, , . z j2 
由 此 可 以得 到 Fl F 甘 zL +z   z 3 l 2 L - l<L2 l甘 < s. < 2 l 3 l < l +z 臼 3 3 z 2 z L - 2 3 2  

这 里 我 们 引 入 Ti 法  一厶 一 , 表 示 当切 割相 应 的 长 度 时 的 切 割 量 . 似 的 我 们 有 如 下 的 结 论  e   它 类
F , F2=s < s , <   甘 s < s . 5 F6 s < s . < F 3   < s , <   甘 s < s , < F 6   < s. <  ̄>3 z F3 3 1F < 骨 2 1 F1 甘 2 I F2 3 j F4 甘 3 2 

将 上 述 关 系 中 的 <换 成 一 、 同 样 成 立 . 合 这 些 不 等 式 的 关 系 . 们 可 以得 到  > 综 我 当 s> s s 时 , F <F2 F <Fe F <F。 , z 3 有 t > < s 和   <  , 第 ① 种 情 况 ( 横 平 ) 用 最 低 ; 即 纵 费   当 s> s s 时 , F <Fs F <  和 F <F。 F , 第 ② 种 情 况 ( 平 横 ) 用最 低 ; , 3 2 有 2 > < e 2 < s即 纵 费   当 s s s 时 , F <F < F <Fs F <  < F , 第 ⑧ 种 情 况 ( 纵 平 ) 用 最 低 ; z , 3 有 3   2 > > 和 s  即 横 费   当 s s>s 时 , F < Fe F <F: F < F < F , 第 ④ 种 情 况 ( 平 纵 ) 用 最 低 ;     t 有   > < s 和   。  即 横 费   当 s> j s 时 , F < F6 F <F 和 F <  < F , 第 ⑤ 种 情 况 ( 纵 横 ) 用 最 低 ; s   z 有 s > <   s s  即 平 费  

当 s> s s 时 , F < F < F <F 和 F <  < F . 第 ⑥ 种 情 况 ( 横 纵 ) 用 最 低 ; 3 z , 有 s   s   >   2即 平 费  
由 这些 结 论 可 以 看 出 , 当各 方 向 切 割 的 费 用 相 同 时 , 割 策 略 的 制 定 只 需 要 选 择 切 割 量 大 的 方 向 首先 切  切 割就可 以了 . 们 不妨称之为 大切割量原理. 我   当6 ≠n时 ? 们 可 以 通 过 改 变 长 方 体 高 度 的 方 法 化 为 相 等 费 用 的 问 题 来 解 决 就 可 以 了. 我 们 的 问 题  我 在 中 , 以 通 过 变 换  可 = ( / )   = (/ )s 实 现 . 时 在 z Z 和 z  方 向 切 割 长方 体 时 有 关 系  a bLs abl来 这 卜。 :
a , :d( l  ,3 和 d L3 lL3 b a) J ‘ L^ =d( / L^ ‘ b L . b a) L3 : L   ’  

它 表 明 当 使 用 原 费 用 n在 原 长 方 体 上 沿 上 述 方 向 切 割 时 的 费 用 相 当 于 用 费 用 b在 新 长 方 体 上 切 割 。 样  这
就 化 为 等 费 用 的 问题 了 .  

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这 样 一 来 , 需 要 将 原 问 题 中 的高 度 L。 1 只 = 2和 z一2变 换 为 L 一 ( / ) 1 = 7 2和 1 s s 35 × 2 . 3 ( / ) =   = 3 5 ×2
1 2 然 后 计 算  ..
5 = Ll Z 一 1 — 5= 1 , 2 L2 I = 1 l — l 9 45一 - 2 4— 4 1 5 。一 L3 一 Z = 0.3 。 ;一 7 2 1 2 6   .— . = ,

由于 5>s>s 根据 大切割量 原理可知应采用方 案① , I 。  。 即纵切 、 横切 在平切 的程序 总的切割费用最 低.  
五 、满 分 1 ( 8分 ) 京 时 间 2 0 北 0 2年 9月 2 日 1 7 4点 , 航 C 8 国 A9 1航 班 从 首 都 国 际 机 场 准 时 起 飞 . 当地 时 间  9 2 月 7日 1 5日 3 分 . 航 班 正 点 平 稳 降 落 在 纽 约 肯 尼 迪 机 场 ; 京 时 间 1 0 该 北 O月 1 日 1 9点 1 4分 . A9 2航 班  C 8 在经过 1 3个 小 时 的 飞 行 后 , 点 降 落 在 北 京 首 都 国 际 机 场 , 此 国 航 北 京 —— 纽 约 直 飞 首 航 成 功 完 成 . 是  准 至 这 中 国 承 运 人 第 一 次 经 极 地 经 营 北 京 —— 纽 约 直 飞 航 线 . 北 京 至 纽 约 原 来 的 航 线 飞 经 上 海 ( 纬 3 。东 经  从 北 1. 1 2) 京 ( 纬 3 。东 经 10) 旧 金 山 ( 纬 3 。西 经 13) 处 , 2 。东 北 6. 4 。和 北 7. 2。等 如果 飞 机 飞行 的 高 度 为 1 O千 米 , 假 设  并 地 球 是 半 径 为 6 7 千 米 的 球 体 . 分 析 计 算 新 航 线 的 空 中航 程 较 原 航 线 缩 短 了 多 少 . 31 试   解 在 地 球 上 . 地 间 飞 行 的 最 短 距 离 是 这 两地 所 在 大 圆 ( 半 径 为 地 球 的 半 径 与 飞 行 高 度 之 和 ) 两地  两 其 的

间劣弧长.  

本 题 应计 算 以北 京 、 约 为 端 点 的 大 圆 劣 弧 长 . 纽 再计 算 北 京 到 上 海 、 海 到 东京 、 京 到 旧 金 山 、 金 山 到  上 东 旧
纽 约 各 段 大 圆 劣 弧 长 度 和 , 后 求 它 们 的差 . 然   ( ) 于 地 球 上 任 意 两 点  . 当 其 经 纬 度 已 知 时 . 用 如 下 方 法 求 出 其 间 大 圆劣 弧 的 长 . 1对 B. 可  

如 图 . 点  的 纬 度 和 经 度 分 别 为  . . B 的 纬 度 和 经 度 分 别 为  和  设   点


A. 所 在 纬 线 的 圆 心 分 别 为 o。o . 圆半 径 为 R. 点  作 点 B 所 在 纬 线  B . 。大 过

的 平 面 的垂 线 . 垂 足 为 c  设 .
.  C — R sn 口 — Rs n 1 O l — O 2 = R c s 口l O I — Rc   l / BO l = 口  . ‘ i l i  . C A o , B os , C 2
一  



. BC。 0I + 0I 一 2 . . = B  C  0l?BOl o ( z Cc s a 一  ) AB。 AC。 B 一 2 (   . 一 + C。 R  1



sn sn l C S口 C S IO ( 2 i   i  — O l O   C S 口 一  ) . ) 

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20 0 3年第 2期 

票 将停止 出售 , 发 行普通 邮票 两套. 套 普票 面值均 暂定 为十 种 : 新 每 5分 、 O分 、 O 、 O分 、 O分 、 1 3分 6 8 1元 、.   15
元、 2元 、 . 4 2元 、 . 5 4元 .  

下 表 是 目前 国 内 邮 件 资 费 情 况 , 位 : 单 元 

编 号  业 务 种 类 

计 费 单 位 
首 重 10克 内 , 重 2 0 每 O克 ( 足 2 不 O克 按 2  O

资 费 标 准 
本 埠 资 费  外 埠 资 费 
O. O 6  0.8   0

1  

信 函 

克计算 )   续 重 11 0


20 0 0克 . 重 10克 ( 足 1 0克  每 0 不 0

1. O 2 

2 0 .O  

按 10克 计 算 ) 0  
2  
说明:  

明 信 片 

每 件 

06 . 

1 本 埠 以市 属 区 ( 含 市 辖 县 和 飞地 ) 范 围 , 县 以 县 境 为 范 围. . 不 为 本  

2 国 内 信 函 、 刷 品 邮 件 计 费 方 式 由 原 递 重 等 额 累进 计 费 改 为 分 首 、 重 分 别 计 费 . . 印 续   3取消邮政 附加费. .   根 据 以 上 信 息 , 回答 下 面 问 题 : 试  

( ) 如 在 信 封 上 最 多 可 以 贴 四 张 邮 票 , 你 在 0 6元 、. 1假 请 . 0 8元 两 种 面 值 基 础 上 再 从 新 发 行 的 邮 票 中 选 出   两种面值 . 形成 一 套 四 面值 且 能 满 足重 量 不 超 过 5 0克 的所 有 国 内信 函 ( 明 信 片 ) 费 需 要 的 邮 票 ; 0 含 付  
() 你 设 计 九 套 均 为 四 种 面 值 的 邮 票 , 求 含 0 6 、 . 2请 要 . 元 0 8元 两 种 面 值 , 两 种 面 值 的 邮 票 随 意 确 定 . 另 但 

要 满 足 重 量 不超 过 5 0克 的 所 有 国 内信 函 ( 明 信 片 ) 费 需 要 ; 0 含 付  
() 实 际 中 , 很 多 指 标 可 以用 来 衡 量 一 套 邮 票 的合 理 性 . 你 试 列 举 两 个 指 标 , 分 别 用 它 们 衡 量 你  3在 有 请 并 在 前 两 问 中所 设 计 出 的 十套 邮 票 , 出其 中你 认 为最 合 理 的 一 套 邮票 . 找  
解 ( ) 两 种 面值 选 2元 . . 1另 5 4元.  

( ) 合 题 目要 求 的 答 案 至 少 有 以 下 2 套 :单 元 : ) 2符 O ( 元  
序 号   口  1
1   2   3   4   5   6   7   8   9   1  O O.   6 0.   6 O   .6 0.   6 0.6   O.   6 O.   6 O   .6 O   .6 O.   6

口  2
O   .8 0   .8 0   .8 O.   8 O   .8 O.   8 O.   8 0.   8 0.   8 O   .8

口  3
2   1   18 .  2   2   2   2   2   2   2.   4

口  l
5   .4 3   6   .6 3   4   .6 5   5.   2 6   7   .2 4   .4

序 号 
1  1 1  2 1  3 1  4 1  5 1  6 1  7 1  8 19   2  0

a  1
O   .6 O   .6 O.   6 O   .6 O.   6 O   .6 O.   6 O.   6 O   .6 O.   6

a  2
O.   8 O.   8 O.   8 O.   8 O.   8 O.   8 O   .8 O   .8 O.   8 O   .8

a  3
2   .4 2   .4 2   .6 2   .6 2   .6 2   .8 2   .8 3   3   3  

a  4
5.   2 6   34 .  4   4.   2 32 .  3   .8 3   .2 34 .  4  

3 参 考 指 标 一 : 套 邮 票 的 数 量 . 任 何 一 种 可 能 出 现 的 邮 资 , 有 若 干 张 邮 票 面 值 和 与 之 相 等 , 套 邮  . 一 对 均 一
票 的数 量 越 少 越 合 理 .  

参考 指 标 二 : 种 邮 票 的 面 值 大 小 , 可 能 小 便 于 组 合 使 用 , 于 销 售 . 每 尽 便  
每种 面 值 的 邮 票 被 使 用 的 频 率 相 近 程 度 , 些 邮 票 被 使 用 的 频 率 越 相 近 , 这 邮票 面 值 组 合 越 为 合 理 .   提 出 两 种 可 行 的指 标 即可 , 过 验 算 , 出 自己 设 计 的 十套 邮 票 中 最 合 理 的一 组 . 通 指  


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