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2015年高考理科数学试题汇编(含答案):函数与方程


? 2x ? a ? x ? 1? ? (北京)14.设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.
① 若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为 ; .

② 若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】(1)1,(2)

1 ? a ? 1或a ? 2 . 2

考点:1.函数的图象;2.函数的零点;3.分类讨论思想.

? x3 , x ? a 13.(湖南)已知 f ( x) ? ? 2 ,若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零 ?x , x ? a
点,则 a 的取值范围是 【答案】 (??,0) ? (1,??) . .

考点:1.函数与方程;2.分类讨论的数学思想. (陕西)12.对二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a 为非零常数) ,四位同学分别给出下列结 论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1 是 f ( x ) 的零点 C.3 是 f ( x ) 的极值 【答案】A B.1 是 f ( x ) 的极值点 D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

考点:1、函数的零点; 2、利用导数研究函数的极值. (天津) ( 8 ) 已 知 函 数 f ? x? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ?
2

, x ? 2,

函 数 g ? x? ? b ? f ?2 ? x? , 其 中

b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是
(A) ?

7? ?7 ? ? ? 7? ?7 ? , ?? ? (B) ? ??, ? (C) ? 0, ? (D) ? , 2 ? 4? ?4 ? ? ? 4? ?4 ?

【答案】D

【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x?0 ? ?x ,

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 0 ? x ? 2, 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, 0? x?2 ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b ,所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方程
f ( x ) ? f (2 ? x ) ? b ? 0 有 4 个不同的解,即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) 的图
象的 4 个公共点,由图象可知

7 ? b ? 2. 4
8 6 4 2

15

10

5 2 4 6 8

5

10

15

考点:1.求函数解析式;2.函数与方程;3.数形结合.

(江苏)13.已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ? 根的个数为 【答案】4

? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 | f ( x) ? g ( x) |? 1 实 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

考点:函数与方程


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