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江西省九校2013届高三第一次联考数学理科试卷


江西省九校 2013 届高三第一次联考数学试卷(理科)
主命题: 乐平中学 许敏 副命题:余江一中 宋卫华 总分:150 分

时长:120 分钟
注意事项:

答题前考生务必将学校、姓名、班级、学号写在答题纸的密封线内。答案填写在答题 .. 卷上对应题目的答案空格内,答案写在试卷上无效。考试结束后,交回答题卷。 .

r />
一、选择题(每小题 5 分,合计 50 分.每小题只有唯一正确选项,请填写在答题 纸中相应的位置) 1.已知集合 M ? { x | ? 3 ? x ? 5}, N ? { x | x ? ? 5或 x ? 5} , M ? N 等于( A { x | ? 5 ? x ? 5} D { x | x ? ? 3或 x ? 5} 2.已知向量 A、
5
a



B { x | x ? ? 5 或 x ? ? 3}

C { x | ? 3 ? x ? 5}

=(1,2) , B、 2
a, b c, d
5

a ? b

=5, |

a ? b |? 2 5

,则 |

b | 等于(



C、5

D、25
z ,? 2 i 1 1 ? i ,? i 1
?

3.定义运算 应的点在( A.第一象限

? ad ? bc ,则符合条件

? 0 的复数 z 的共轭复数 z 对 ....

) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.若 x , y ? R , 则“ log 2 ? xy ? 4 x ? 2 y ? ? 3 ”是“ x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 25 ? 0 ”成立 的条件( ) A.充分不必要 B.充要
?
4

C.必要不充分

D.既不充分也不必要
?
2 ) 的对称轴

5.设函数 f ( x ) ? 2 sin ? x + ) ( ? >0) 与函数 g ( x ) ? cos( 2 x ? ? )(| ? |? ( 完全相同,则 ? 的值为( A. ?
?
4

) C.
?
2

B.

?
4

D. ?

?
2

6.某市端午期间安排甲.乙等 5 支队伍参加端午赛龙舟比 赛,若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上, 且甲和乙不相邻,则不同的安排方有( ) A.56 种 B.48 种 C.42 种 D.36 种 7.定义在 R 上的函数 g=f(x)满足 f(4-x)=f(x)(x , -2)f′(x)<0,若 x1<x2,且 x1+x2>4,则( )
1

A、f(x1)<f(x2) B、f(x1)>f(x2) C、f(x1)=f(x2) D、f(x1)与 f(x2)的大小不确定 8,执行如图所示的程序框图,输出的 y 值最接近的是(
4



A, 3

2

B.

4 3

C. 3

D.

3 2

9.某正多面体的三视图如图所示,该几何体的体积是( A. 8 B.
8 3



C. 4

D.

4 3

10. 设函数 f(x)= e x (sin x ? cosx ) (0≤ x ≤2013π ) ,则函数 f(x)的各极 大值之和为( A.
e 1? e 1? e e 1? e
?
?


2013 ?

?

? ?

?

B.

e 1? e 1? e

?

?

1007 ? 2?

?

C.

?

1007 ?

1? e

?

D.

e 1? e 1? e

?

?

2014 ? 2?

?

二、填空题 (每小题 5 分,合计 25 分,请将答案填到答题纸上。其中 15 题为选做 题,若两题都作答,则只按第 1 题给分)
4

11. ? 2 ? x dx ?
0

. .
2

12.在△ABC 中,AB=7,BC=5,CA=6,则 AB ? BC = 13.设双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x ? 1 只有一个公共点,则双

曲线的离心率为 14. 以下命题: 1) 若 a ? b ? a ? b , 则 a ∥ b ;

.

2) a ? (? 1,1) 在 b ? ( 3 , 4 ) 方向上的投影为 ;
5

1

3)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称, 函 则 数 y ? f ?2x? 与 y ?
1 2 g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x

对称;

2

4)已知△ABC 中, PN ? 过 N 点。

1 3

( PA ? PB ? PC )

则向量 ? ( AB ? AC )( ? ? 0 ) 所在直线必

其中所有真命题的序号是

.
? ?x ? c o s ? ?y ?1? sin
(? 为 参 数 ) 与 曲 线

15 . 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 曲 线 ? (
? ? 2 ? cos ? ? 0 的交点个数为
2



(不等式选讲选做题)设函数 f ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? a ,若函数 f ( x ) 的定义 域为 R,则实数 a 的取值范围是 三、解答题(共 6 小题,合计 75 分) 16. (本题满分 12 分) 。

等差数列 { a n } 的各项均为正数,a1 ? 3 , n 项和为 S n ,{bn } 为等比数列, b1 ? 2 , 前 且 b2 S 2 ? 32, b3 S 3 ? 120 . (1)求 a n 与 bn ;(2)求数列 ?a n ? b n ? 的前 n 项和 Tn

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=sin(2x-
?
6

)+2cos2x-1(x∈R)

(1) 求 f(x)的单调递增区间。 (2) 在△ABC 中,三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A) = ,b、a、c 成等差数列,且 AB
2 1
? AC ? 9

,求 a 的值。

18、 (本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中 一次性抽取 3 道题独立作答, 然后由乙回答剩余题,每人答对其中 2 题就停止答 题,即闯关成功。已知在 6 道被选题中,甲能答对其中的 4 道题,乙答对每道题 的概率都 。
3 2

(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率;
(2)设甲答对题的个数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望。

3

19. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 底 面 ABCD , PA ? AB ? 1 , AD ? 3 ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 P E ? A F ;[ (3)当 B E 为何值时, P A 与平面 P D E 所成角的大小为 45°.

20.(本小题满分 13 分)如图是由两个全等的圆锥组成的几何体, O1 , O 2 分别是 上底面和下底面的圆心,0 是两个圆锥的交点,AB, A1 B1 分别是上下底

面的直径,已知 O1O 2 ? 4 且 AB= A1 B1 =4,现有一个平行于 o1 o 2 的平面去截这 个连体圆锥,所得到截图的简易图形如图所示。 (1) 求所截得双曲线的离心率 (2) 若点 P 的坐标(0,1) ,过双曲线上焦点 F1 (0.,c)做一条直线与双曲 线交与 E,F 两点,无论直线怎么移动都满足 PE ? PF 为一个定值,求满 足上述条件的双曲线的标准方程.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ? x (1)求 f ( x ) 的单调区间;
1? ? (2)证明 ? a ? ? ? ? , ? ? 2? ?

,有

af ? x ? ? x ?

1 2

x

2

在 (0, ?? ) 内恒成立

(3) n ? N * ,求证:

1 ln 2

?

1 ln 3

? ......... ?

1 ln( n ? 1)

?

n n ?1

江西省九校 2011 届高三第一次联考数学理科试题答案
4

一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C D C A C B C D D 二、填空题 (每小题 5 分,合计 25 分,请将答案填到答题纸上。其中 15 题为选做 题,若两题都作答,则只按第 1 题给分) 2. 4 12. -19 13.
5

14. 1234

15(坐标系与参数方程选做题)2 (不等式选讲选做题) a ? 3 三、解答题(共 6 小题,合计 75 分) 16. (1)设 { a n } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,
a n ? 3 ? ( n ? 1) d , b n ? 2 q
n ?1

? S 3 b3 ? (9 ? 3 d )2 q 2 ? 120 ? (9 ? 3 d ) q 2 ? 60 依题意有 ? ,即 ? , ? (6 ? d ) q ? 16 ? S 2 b2 ? (6 ? d )2 q ? 32
6 ? d ?? ? ?d ? 2 ? 5 解得 ? , 或者 ? ?q ? 8 ? q ? 10 ? 3 ?

(舍去) ,

故 a n ? 3 ? 2( n ? 1) ? 2 n ? 1, bn ? 2 n 。 (2) Tn ? n 2 ? 2 n ? 2 n ?1 ? 2 17,1)易得
f ( x ) ? sin( 2 x ?
? ?

?
6

)

即 f(x)的单调区间为 ? k ? ? (3) 易得 A ?
?
3

?
3

, k? ?

??

,k ? z 6? ?

————6 分

,由 b,a,c 成等差数列得 2a=b+c

AB ? AC ? 9 , 所以 bc cos A ? 9 , 所以 bc ? 18

由余弦定理得, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 b cos A ? ?b ? c ? ? 3 bc
2
2 2 所以 a ? 4 a ? 3 ? 18 , 即 a ? 3 2 ——————12 分

B、解答: (1)设甲乙闯关成功的事件 A,B.

5

则 p ( A) ?

c4 ? c2
1

2

c6

3

?

1

2? 2 2 7 ? 1 2 , p ( B ) ? ? 1 ? ? ? c 3 ? (1 ? ) ? 5 3? 3 3 27 ?

3

则甲乙至少有一人闯关成功的事件是 1p ( A) ? P ( B ) ? 1 ? 1 ? 7 ? 128 135 ——————6 分 5 27

(2)由题意可知, ? 的可能值是 1,2
?

1
1 5

2
4 5

P( ? )

? ?? ? ? 1 ?

1 5

? 2?

4 5

?

9 5

——————12 分

19..解:(1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点,∴EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,而 PC?平面 PAC,∴EF∥平面 PAC. (2)证明: 建立如图所示空间直角坐标系, 则

P(0,0,1),B(0,1,0), F(0, , ),D( 3,0,0),
设 BE=x(0≤x≤ 3),则 E(x,1,0), → → 1 1 PE·AF=(x,1,-1)·(0, , )=0,∴ 2 2 ⊥AF. (3)设平面 PDE 的法向量为 1 2 1 2

PE

m=(p,q,1),

?m·→=0 PD 由? → ?m·PE=0

,得 m=(

1 x ,1- ,1). 3 3

→ 而AP=(0,0,1),依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45°, → 2 |m·AP| 所以 sin45°= = ,∴ 2 → |m||AP| 1 1 x +(1- )2+1 3 3 = 1 , 2

6

得 BE=x= 3- 2或 BE=x= 3+ 2> 3(舍). 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45°. 20..解:1) 如图所示 设双曲线的标准方程为
y a
2 2

?

x b

2 2

?1

设 AC=m 所以 O1 C=2-m∵ △ A C D ∽ △ A O O1 ∴CD=m
∴a =2 ? m ∴
y
2 2

(2 ? m )

?

x b

2 2

?1

在 RT 三角形 O1 CM 中 O1 C=2-m O1 M=2,所以 CM= 4m ? m ∴双曲线经过点 M( 4m ? m ,2)代入方程可得
2

2

4 (2 ? m )
2

?

4m ? m b
2

2

?1

解得 b ? a 由于 c 2 ? a 2 ? b 2 ∴ c 2 ? 2 a 2 ∴离心率 e ?
2 ————————————6 分 2 ,所以可设双曲线的方程为 y ? x ? ?
2 2

2)由第一问可得双曲线离心率 e ?

设 E 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,F 点的坐标 ( x 2 , y 2 ) ∴双曲线的上焦点坐标(0, 2 ? )∴直线 L 的方程为 y ? kx ? 联立方程 y ? kx ?
2 2

2?

2 ? 和 y ? x ? ? 可得
2 2

k x ? 2 2 ? kx ? 2 ? ? x ? ?
2

、 ( k ? 1) x ? 2 2 ? kx ? ? ? 0
2 2

x1 x 2 ?

?
k ?1
2

直线方程可变现为 x ?

y? k

2?

与 y 2 ? x 2 ? ? 联立的
?2? ? k ?
2

( k ? 1) y ? 2 2 ? y ? 2 ? ? k ? ? 0 、 y1 y 2 ?
2 2 2

k ?1
2

y1 ? y 2 ?

?2 2? k ?1
2

? PE = ( x1 , y1 ? 1) ??

? PF ( x 2 , y 2 ? 1) ??

∴ ? PE ?? ? ? PF ?? = x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 )

7

=

?
k ?1
2

-

?2 2? k ?1
2

+

?2? ? k ?
2

k ?1
2

=

?
k ?1
2

?

?2? ? k ?
2

k ?1
2

?

2 2? k ?1
2

?

? k ? ? ? ? 2 2?
2

k ?1
2

为一个定值

所以 ? ? ? 2 2 ? = ? ∴ ? =2∴
f(x) ?
1

y

2

?

x

2

? 1 ——————13 分

2

2

1? x x
x ? (1, ?? ) 是 f ( x ) 单 调 递减区间

21 解 :1)

x ? ( 0 ,1) 是 f ( x ) 单 调 递增区间

___4 分

5)
1

af ? x ? ? x ?

1 2

x

2

即 Q ( x) ?

1 2

x ? aInx ? ( a ? 1) x ? o 成立
2

Q( x) ? x ?

a x

? ( a ? 1) ?

( x ? a )( x ? 1) x

又 a ? ? ? ? , ? ? , Q (1x ) 在(0,1)小于 0,Q(x) 递减。 2
? ?
Q ( x ) 在(1,+ ?
1

?

1?

)大于 0,Q(x) 递增。

Qmin=Q(1)=1+a-a-1=0 即 ? a ? ? ? ? ,? ? , 有 2
? ? ? 1?
af ? x ? ? x ? 1 2 x
2

在 (0, ?? ) 内恒成立。 _-------------------9

分-

8

9


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