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高中数学《指数函数-指数函数及其性质》说课稿2


2.1.2

指数函数及其性质(2)

从容说课 指数函数是在学生系统的学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究 的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用, 也是今后学习对数函数的基础, 同时在生活及生产中有着广泛的应用, 所以指数函数应重点 研究. 指数函数对学生来说是完全陌生的一类函数,

对于这样的函数应该怎样进行较为系统的 研究是学生面临的重要问题.所以, 从指数函数性质的应用过程中去研究指数函数固然重要, 但更为重要的是要让学生去体会研究的方法,以便能将其迁移到对其他函数的研究中去.本 课是在学习了指数函数的定义、图象、性质之后,重点运用指数函数的图象和性质来解决的 一些问题.因此,在教学过程中,首先要组织学生回顾一下指数函数的性质,进一步加深对 指数函数概念的理解. 在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质以及解决与指数函数有关 的实际应用问题, 是本节教材的重点, 关键在于弄清楚底数 a 对于函数值变化的影响.对于 a>1 与 0<a<1 时函数值变化的不同情况,学生往往容易混淆,这是教学中的一个难点, 为此,必须利用图象,数形结合.数形结合是研究函数的重要思想方法,通过数与形之间的 相互转化,借助形的直观性,使问题得以解决 . 本节课的教学中要注意培养学生对数学思想方法的认识,结合数形结合思想、分类讨 论思想、 化归的思想以及函数与方程的思想 .譬如比较两数值的大小, 常可以归结为比较两 函数值的大小,所以需要我们能够恰当地构造函数,使两数值为同一函数的两个函数值, 然后根据函数的单调性来比较大小,这种思想是构造函数的思想;对于 a>1 与 0<a<1 的不同情况是分类讨论的思想;有时我们把两数值看作两个函数后,又在相应的图象上描 出函数值的对应点,再由图象的位置关系决定对应点的纵坐标(即函数值)的大小,这种 思想是数形结合的思想.可见, 注重对数学思想方法的理解和运用, 才能提高分析问题和解 决问题的能力. 三维目标 一、知识与技能 1.加深对指数函数性质的理解与掌握. 2.掌握对指数函数性质的灵活应用. 二、过程与方法 1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流,培养学生的协作精神. 2.通过探索函数性质的应用,培养学生的科学探索精神. 3.通过探究、思考,把生活实际问题转化为数学问题,从而培养学生理性思维能力、观 察能力、判断能力. 三、情感态度与价值观 1.通过指数函数性质的应用,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性. 2.在教学过程中, 通过学生间的相互交流, 确立具体函数模型, 解决生活中的实际问题, 增强学生数学交流能力,使学生明确指数函数是一种描述客观世界变化规律的重要数学模 型,进一步认识数学在生活中的巨大作用. 教学重点 指数函数的性质的理解与应用. 教学难点

1

指数函数的性质的具体应用. 教具准备 多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程 一、回顾旧知,引入新课 师:我们上节课学习了指数函数的图象和性质,请同学们回顾一下有关知识.
a>1 0<a<1

图象

(1)定义域为(-∞,+∞) ;值域为(0,+∞)性质 (2)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=a0=1 性质 (3)若 x>0,则 ax>1; 若 x<0,则 0<a <1 (4)在 R 上是增函数
x

(3)若 x>0,则 0<ax<1; 若 x<0,则 ax>1 (4)在 R 上是减函数

二、讲解新课 例题讲解 【例 1】 已知指数函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)的图象经过点(3,π ) ,求 f(0) , f(1) ,f(3)的值. 师:要求 f(0) ,f(1) ,f(3)的值,我们先要知道指数函数 f(x)=ax 的解析式,也 就是先要求出 a 的值,如何求? 生:通过指数函数 f(x)=ax 的图象经过点(3,π ) ,求出 a 的值. x 解:因为 f(x)=a 的图象经过点(3,π ) ,所以 f(3)=π , 即 a3=π .解得 a=π
0
1 3

,于是 f(x)=π
1 3

x 3


-1

所以 f(0)=π =1,f(1)=π

= 3 π ,f(3)=π

=

1 . π

方法引导:这是渗透了函数与方程的思想方法. 【例 2】 将下列各数从小到大排列起来: (

2 3 3 2 3 5 5 ? ) , ( ) 2 ,3 3 , ( )2, ( )3, ( )0, (-2)3, ( ) 3. 3 5 5 2 6 3

1

1

2

1

2

1

师:在很多数比较大小的时候,应该先将他们分类,按什么进行分类呢? 生:按一些特殊的中间值. 师:指数式中特殊的中间值有哪些? 生:0,1 等. 师:分完之后呢,要通过什么来比较? 生:函数的单调性.

2

解: (
1

5 0 ) =1,将其余的数分成三类: ( 1)负数: (- 2)3; ( 2)大于 0 小于 1 的数: 6
1 1 1



3 2 2 5 ? 3 ) , ( )2, ( ) 3 =( ) 3 ; 5 5 3 5
(3)大于 1 的数: (

2 ?3 3 3 ) =( ) 3 ,3 3 , ( )3 . 3 2 2
1 1 1 1

1

1

2

2

3 2 3 3 然后将各类中的数比较大小:在(2)中( ) 2 >( ) 2 , ( ) 2 <( ) 3 ; 5 5 5 5
在(3)中(

2 ?3 3 3 3 ) =( ) 3 <( ) 3 , ( ) 3 <3 3 . 3 2 2 2 2 2 3 5 ? 5 2 ? 3 ) <( ) 2 <( ) 3 <( )0<( ) 3 <( ) 3 5 5 3 6 3 2
1 1 1 1 2

1

1

2

2

2

由此可得(-2)3<(
2

<3 3 . 方法引导:比较两数值的大小,常可以归结为比较两函数值的大小,所以需要我们能够 恰当地构造函数,使两数值为同一函数的两个函数值,然后根据函数的单调性来比较大小. - 【例 3】 解不等式: (1)9x>3x 2; (2)3×4x-2×6x>0. 师:你觉得要解决以上问题需要哪些知识?该题的本质是考查哪些知识? (生讨论,师总结) - - 解: (1)∵9x>3x 2,∴32x>3x 2. 又∵y=3x 在定义域 R 上是增函数, ∴原不等式等价于 2x>x-2, 解之得 x>-2. ∴原不等式的解集为{x|x>-2}. (2)3×4x-2×6x>0 可以整理为 3×4x>2×6x, ∵4x>0,6x>0, ∴

4x 2 2 2 > ,即( )x>( )1. x 3 3 3 6

又∵y=(

2 x ) 在定义域 R 上是减函数,∴x<1. 3

故原不等式的解集为{x|x<1}. 方法引导:本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围.首先要根据题中的具体要求, 确定相应的目标函数, 进而利用函数的单调性得出自变量之间的关系. (2) 式形式比较复杂, 可先根据幂的运算法则进行化简,为能找到一个目标函数作好准备. 【例 4】 求下列函数的定义域和值域:

1 (1)y= 1 ? a ; (2)y=( ) x ? 3 . 2
x

1

3

(生讨论,师总结) 解: (1)要使函数有意义,必须 1-ax≥0,即 ax≤1. 当 a>1 时,x≤0;当 0<a<1 时,x≥0. ∴当 a>1 时,函数的定义域为{x|x≤0};当 0<a<1 时,函数的定义域为{x|x≥0}. ∵ax>0,∴0≤ax-1<1. ∴值域为{y|0≤y<1}. (2)要使函数有意义,必须 x+3≠0,即 x≠-3. ∴函数的定义域为{x|x≠-3}. ∵

1 ≠0, x?3
1

1 1 ∴y=( ) x ? 3 ≠( )0=1. 2 2
又∵y>0,∴值域为{y|y>0,且 y≠1}. 方法引导: 结合第一章中函数的定义域与值域来求解指数函数的复合函数的定义域与值 域.(1)中还涉及了分类讨论的思想方法.在解决值域的过程中可采用数形结合的思想方法. 【例 5】 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少?(精确到亿) (师生共同讨论,假设、找关系,明确自变量的取值范围) 解:先求出函数关系式: 设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿. 经过 1 年,人口数 y=13×(1+1%) (亿) ; 2 经过 2 年,人口数 y=13×(1+1%) (亿) ; …… 经过 x 年,人口数 y=13×(1+1%)x=13×1.01x(亿). 当 x=20 时,y=13×1.0120≈16(亿). 所以,经过 20 年后,我国的人口数最多为 16 亿. 方法引导:在解决实际应用问题时,首先要根据题目要求进行恰当假设,通过恰 当假设,进而求得结论 .为了更有助于学生理解关系式,在推导关系式时可以从自变量 许可的范围内多取几个数值,运用归纳法得出所求关系式 .在实际问题中,经常会遇到 类似的指数增长模型:设原有量为 N,平均增长率为 p,则对于经过时间 x 后的总量可 以用 y=N( 1+p) x 表示 .我们把形如 y=kax( k∈ R, a> 0,且 a≠ 1)的函数称为指数型 函数,这是非常有用的函数模型 . 合作探究:你是如何看待我国的计划生育政策的?为什么? 说明:本例中函数的定义域是时间,故只能取非负实数;而且在解决实际问题时往往用 到从函数图象上找出某一自变量对应的函数值. 知识拓展:在解决应用问题时,其关键是能正确理解题意,从而建立目标函数,进而将 生活实际问题转化为数学问题.同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域. 三、巩固练习 1.函数 y=ax+2-1(a>0,a≠1)的图象过定点________. 2.函数 f(x)的定义域为(0,1) ,则函数 f(2 2 x ? x )的定义域为________. 3.求 y=4x-2x 1+1 的最小值以及取得最小值时的 x 的值. 4.一片树林中现有木材 30000 m3,如果每年增长 5%,经过 x 年树林中有木材 y m3,写

2

4

出 x、y 间的函数关系式,并利用图象求约经过多少年,木材可以增加到 40000 m3.(结果保 留一个有效数字) 解答:1.(-2,0) 2.(-∞,0)∪(2,+∞) 3.当 x=-2 时,y 的最小值为 4.函数关系式为 y=30000(1+5%)x(x≥0).当 y=40000 时,得 ∴画出 y=1.05x(x≥0)的图象,从图象上找到与 y=
x 0 1 2 3 4 5 5.5

15 . 16

4 =(1+5%)x =1.05x, 3

4 ≈1.33 对应的 x 值即可.列出下表: 3
5.7 5.8 5.9 6 7 …

y

1

1.05

1.1

1.16

1.22

1.28

1.31

1.32

1.327

1.33

1.34

1.41



描点作出图象(如下图所示).

由图象可知,与 y=

4 ≈1.33 对应的 x 值约为 6. 3

答:约经过 6 年,木材可以增加到 40000 m3. 四、课堂小结 本节课中主要渗透了数学的思想方法:分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程 的思想,数学的思想方法是数学学习的主轴线. 五、布置作业 课本 P70 习题 2.1A 组第 12 题,B 组第 1、3、4 题. 板书设计 2.1.2 指数函数及其性质(2) 一、函数性质的复习 二、例题解析与学生训练 三、课堂小结 四、布置作业

5


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