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四川省宜宾市2017届高三第二次诊断检测数学(文)试题 Word版含答案


高 2014 级第二次诊断性测试题

数学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答题前,考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码; 请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效 . ......... 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有四个选项,只有一个 是正确的. (1)已知集合 A ? ?x | x ? 3n ? 2, n ? N ?, B ? ?6, 8, 10, 12, 14?,则集合 A ? B ? (A) ? 8, 10? (B) ? 8, 12? (C) ? 8, 14? (D) ? 8, 10, 14?

(2)已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? (A) ?2 ? i (3)已知向量 a ? ( (A) ? 1 (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

1 3 3 1 , ) ,b ? (? , ) ,则 (a ? b) ? a ? 2 2 2 2
(B) 0 (C) 1 (D) 2

(4)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 15 , a 2 ? 5 ,则公差 d ? (A) ? 3 (B) ? 2 (C) ? 1 (D) 2

(5)某生产车间的甲、乙两位工人生产同一种零件,这种零件的标准尺寸为 85 mm,现分 别从他们生产的零件中各随机抽取 8 件检测, 其尺寸用茎叶图表 图(单位:mm) ,则估计 (A)甲、乙生产的零件尺寸的中位数相等 (B)甲、乙生产的零件质量相当 (C)甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好 (D)乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好

甲 3 98542 98 9 8 7 0

示 如 乙

445568 8

(6)某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 (A)

3? 12

(B)

? 6

2

2

3? (C) 6

3? (D) 3

2 正视图

1 侧视图

2 (7) 如果函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? ? 3
对称,那么 | ? | 的最小值为

俯视图

? 12 ? (C) 4
(A)

? 6 ? (D) 3
(B)

开始 输入a,b n=0 求a除以b的余数r

(8)执行右图所示的程序框图,如果输入的 a ? 918, b ? 238 ,则 输出的 n ? (A) 2 (C) 4 (B) 3 (D) 34

a=b b=r

(9)已知 loga b ? ?1, 2a ? 3, c ? 1 ,设 x ? ? logb

a,

n=n+1 r=0? 是 输出n 结束 否

1 y ? logb c , z ? a ,则 x, y, z 的大小关系正确的是 3 (A) z ? x ? y (B) z ? y ? x
(C) x ? y ? z (D) x ? z ? y
2

(10)数列 {an } 的通项 a n ? n(cos 为 Sn ,则 S 40 为 (A) 10 (C) 20 (B) 15

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和 4 4

(D) 25

(11)如图,有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器,其中侧棱长为 8cm ,底面边长 为 12 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好 接触水面时,测得水深为 6cm ,如果不计容器的厚度,则球的

表面积为 (A) 36?cm (C) 80?cm
2

(B) 64?cm

2

2

?cm (D) 100

2

(12)已知点 A(?3, ?

6 ) 是抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 准线上的一点,点 F 是 C 的焦 2

点,点 P 在 C 上且满足 PF ? m PA ,当 m 取最小值时,点 P 恰好在以原点为中心,

F 为焦点的双曲线上,则该双曲线的离心率为
(A) 3 (B)

3 2

(C) 2 ? 1

(D)

2 ?1 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项:必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作 图题可先用 2B 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚,在试题卷上作答无 效. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

?x ? y ?1 ? 0 ? (13)设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为_______. ?x ? 3 y ? 3 ? 0 ?
(14)某优秀学习小组有 6 名同学,坐成三排两列,现从中随机抽 2 人代表本小组展示小组 合作学习成果,则所抽的 2 人来自同一排的概率是_______. (15) 设直线 l :3x ? 4 y ? 4 ? 0 , 圆 C :?x ? 2? ? y 2 ? r 2 ?r ? 0? , 若圆 C 上存在两点 P ,
2

Q ,直线 l 上存在一点 M ,使得 ?PMQ ? 90? ,则 r 的取值范围是_____.
(16)已知函数 f ( x) ? ln x ,曲线 y ? g ( x) 与曲线 y ? f ( x) 关于直线 y ? x 对称,若存在 一条过原点的直线与曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g (ax) 都相切,则实数 a 的值为_____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,不 能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内. (17) (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 cos A ? (I)求 AB ? AC 的值; (II)若 b ? 2 ,求 a 的值.

3 , ?ABC 的面积为 4 . 5

(18) (本小题满分 12 分) 如图 1, 在矩形 ABCD 中, AB ? 4, AD ? 2 ,E 是 CD 的中点, 将 ?ADE 沿 AE 折起, 得到如图 2 所示的四棱锥 D1 ? ABCE ,其中平面 D1 AE ? 平面ABCE . (I)证明: BE ? 平面D1 AE ; (II)求三棱锥 C ? BD1 E 的体积.

D

E

C

D1 E C

A
图1

B

A
图2

B

(19) (本小题满分 12 分) 某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到以下数据: 单价 x(元/件) 销量 y(件) 60 91 62 84 64 81 66 75 68 70 70 67

(I)画出散点图,并求 y 关于 x 的回归方程; (II)已知该产品的成本是 36 元/件,预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I) 中的关系,为使企业获得最大利润,该产品的单价应定为多少元(精确到元)?

? 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: ? ?a ? ? bx 附:回归直线 y

?? b

y ?y ? (x ? x ) (
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

) ? . ? ? y ? bx ,a

2

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦距为 2 ,点 (1, ) 在 C 上. 2 2 a b

(I)求 C 的方程; (II)过原点且不与坐标轴重合的直线 l 与 C 有两个交点 A, B ,点 A 在 x 轴上的射影为

M ,线段 AM 的中点为 N ,直线 BN 交 C 于点 P ,证明:直线 AB 的斜率与直线 AP 的
斜率乘积为定值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ax ? ln a, (a ? 0, 且 a ? 1) . x
e ?1 ,当 x ? ?? 1,0? ? ?0,1?时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有两个 ex

(I)若 a ? e ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (其中 e ? 2.71828 ? 是自然对数的底数) (II)设函数 g ( x ) ? 交点,求 a 的取值范围.

请考生从(22) 、 (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 作答 时请写清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2 cos? , 参数 ? ? ?0, ? ? ,M 为 ? y ? 2 sin ?

C1 上的动点,满足条件 OM ? 2OP 的点 P 的轨迹为曲线 C2 .
(I)求 C2 的普通方程; (II)在以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 别交于 A, B 两点,求 AB .

?
3

与 C1, C2 分

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ?1 ,关于 x 的不等式 f ?x? ? 3 ? 2x ?1 的解集记为 A .

(I)求 A ; (II)已知 a, b ? A ,求证: f ?ab? ? f ?a ? ? f ?b? .

高 2014 级第二次诊断性测试题
数学(文史类)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分意见制订相 应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题:本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 B 8 B 9 A 10 C 11 B 12 A C D C B D C 答案 二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) 9 ; (14)

1 ; 5

(15) [ 2, ? ?) ;

(16) 2 .

1

e

注:16 题可不用复合函数求导,参看 2015 年全国卷乙(21)题. 三.解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.不能答在试卷上, 请答在答题卡相应的方框内 (17)解: (I)? 在 ?ABC 中,由 cos A ?

3 5

解得 sin A ?

4 5

……………2 分 ……………4 分

1 2 bc sin A ? bc ? 4 ,解得 bc ? 10 2 5 3 所以 AB ? AC ? bc cos A ? 10 ? ? 6 5 (II)由 b ? 2 , bc ? 10 得 c ? 5 S ?ABC ?
2 2 2

……………7 分 ……………9 分

由余弦定理可得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 25 ? 12 ? 17 即 a ? 17 ……………12 分 (18) (I)证明: 过 D1 作 D1 F ? AE 交 AE 于 F

? 平面 D1 AE ? 平面ABCE

? D1 F ? 平面A B C E

由此可证 BE ? D1 F 在 ?ABE 中, AB ? 4, AE ? BE ? 2 2 满足 AB ? AE ? BE
2 2 2

所以 BE ? AE

又? AE ? D1 F ? F ……6 分

由此可证 BE ? 平面D1 AE . (II)由(Ⅰ)可得 D1 F ?

2 且为三棱锥 D1 - BCE 的高,由此可得

1 1 1 1 2 2 . VC ? BD1E ? VD1 ? BCE ? S ?BCE ? D1 F ? ? ? BC ? CE ? D1 F ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 3 2 6 3
…………12 分 (19)解: (I)散点图如图 由图得销量 y 与单价 x 线性相关 ……………2 分

x?

60 ? 62 ? 64 ? 66 ? 68 ? 70 ? 65 6 91 ? 84 ? 81 ? 75 ? 70 ? 67 y? ? 78 6

…………3 分 …………4 分
95 90 85 80 75 70

销量(件)

? ? ?5 ?13 ? 3 ? 6 ? 1? 3 ? 3 ? 8 ? 7 ?11 =- 12 , b ……6 分 2(52 ? 32 ? 1) 5
? ? 78 ? a 12 ? 65 ? 234, 5 12 x ? 234 5
……………8 分

65 60 60 62 64 66 68 70

??? ? 回归直线方程为 y (? (II)利润 Q ?

单价(元)

12 12 585 x ? 234) ( x ? 36) ? ? ( x ? )( x ? 36) 5 5 6

……………10 分

585 ? 36 当x? 6 时,利润最大,这时 x ? 67 2
故定价约为 67 元时,企业获得最大利润. ……………12 分

, 0? ,……………1 分 (20)解: (I)由题意知, C 的焦点坐标为 ?? 1

3 3 5 3 2a ? 22 ? ( ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ? ? 4 , b ? 3 . ……………3 分 2 2 2 2
所以,椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ……………4 分 4 3
2

y (II)设 A?x1, y1 ?, P?x2 , y2 ? ?x1 ? x2 ? ,则 B?? x1 ,? y1 ?, N ( x1 , 1 )

2 2 ? x1 y1 ? ?1 ? 2 y 2 ? y2 3 ?4 3 由点 A, P 在椭圆 C 上得, ? ,两式相减得, 1 . ……………7 分 ? ? 2 2 2 2 4 x ? x x y ? 2 1 2 ? 2 ?1 ? 3 ?4 3 y1 3 y y ? y2 2 k BN ? ? ? 1 , k BP ? 1 . 2 x1 4 x1 x1 ? x2

y 4 y ? y2 因为 B, N , P 三点共线,所以 k BN ? k BP ,即 1 ? ? 1 . ……………9 分 x1 3 x1 ? x2
2 y1 y1 ? y2 4 y1 ? y2 y1 ? y2 4 y1 ? y2 ? ? ? ? ? ? 2 1 ? ?1 ,为定值. ……12 分 2 x1 x1 ? x2 3 x1 ? x2 x1 ? x2 3 x1 ? x1

? k AB ? K AP ?

(21)解: (I)定义域 (??,0) U (0, ??)

a ? e 时, f ( x) ?

ex e x x ? e x e x ( x ? 1) ? 1,f ?( x) ? ? , x x2 x2

……………1 分 ……………2 分 ……………3 分

由 f ?( x) ? 0, 得 f ( x ) 增区间为 (1, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 f ( x ) 减区间为 (??,0),(0,1)

e ?1 1 ax x ? ln a = (II)联立 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 得 , a ? x ln a ? 1 ? ? 0 e ex x 1 x 令 h( x) ? a ? x ln a ? 1 ? , x ? [ ? 1,0) ? (0, 1] e x x 则 h?( x) ? a ln a ? ln a ? ln a(a ?1) ……………4 分 (1) 当 a ? 1 时, ln a ? 0 , 由 h?( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1 , h?( x) 在 (0, 1] 上单调递增 由 h?( x) ? 0 得, ?1 ? x ? 0 , h?( x) 在 [?1, 0) 上单调递减 ……………5 分 1 且h(0) ? ? ? 0 e 1 ? h(1) ? a ? 1na ? 1 ? ? 0 ? ? e 由题意得 ? ……………6 分 1 1 ?h(?1) ? ? 1na ? 1 ? ? 0 ? a e ? 1 1 1 1 1 令 F (a ) ? h(?1) ? ? 1na ? 1 ? ,则 F ?( a ) ? ? 2 ? ? 2 ( a ? 1) ? 0 , a e a a a 1 1 ……………7 分 F ( a ) 单调递增,? F (e) ? ? 1ne ? 1 ? ? 0,? a ? e e e 1 1 令 G (a ) ? h(1) ? a ? 1na ? 1 ? , G?( a) ? 1 ? ? 0, G ( a) 单调递增, e a 1 a ? e 时, h(1) ? G (a ) ? G (e) ? e ? 1 ? 1 ? ? 0 ,? a ? e 合题意……………8 分 e (2) 当 0 ? a ? 1 时, ln a ? 0 , 由 h?( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1 , h?( x) 在 (0, 1] 上单调递增

由 h?( x) ? 0 得, ?1 ? x ? 0 , h?( x) 在 [?1, 0) 上单调递减

………9 分

1 且h(0) ? ? ? 0 e 1 ? h(1) ? a ? 1na ? 1 ? ? 0 ? ? e 由题意得 ? ……………10 分 1 1 ?h(?1) ? ? 1na ? 1 ? ? 0 ? a e ? 1 1 令 G (a ) ? h(1) ? a ? 1na ? 1 ? , G?( a) ? 1 ? ? 0, G ( a) 单调递减, e a 1 1 1 1 1 ……………11 分 ? G ( ) ? ? 1n ? 1 ? ? 0,? 0 ? a ? e e e e e 1 1 1 1 1 令 F (a ) ? h(?1) ? ? 1na ? 1 ? ,则 F ?( a ) ? ? 2 ? ? 2 ( a ? 1) ? 0 , a e a a a ? F (a ) 单调递减 1 1 1 0 ? a ? 时,? h(?1) ? F (a) ? F (e) ? e ? 1 ? 1 ? ? 0, ? 0 ? a ? 合题意. e e e 1 综上, a 的取值范围是 (0, ] U[e, ??) ……………12 分 e
(22)解: (I)设 P?x, y ?,则 M ?2 x,2 y ? , 因为 M 为 C1 上的动点,所以 ?
2

消去参数得 ?x ?1? ? y 2 ? 1 , 0 ? y ? 1.
2

?2 x ? 2 ? 2 cos? ? x ? 1 ? cos? ,即 ? , ? ? ?0, ? ? . ……3 分 ?2 y ? 2 sin ? ? y ? sin ?

所以, C2 的普通方程为 ?x ?1? ? y 2 ? 1 , 0 ? y ? 1. ……………5 分 (II) C1 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? , (0 ? ? ?

?

C2 的极坐标方程为: ? ? 2 cos ? , (0 ? ? ?

?

2

),
) ,……………7 分

2

? ? ?? ? ? ? 3 由? 得点 A 的极坐标为 ( 2, ) , 3 ? ? ? 4 cos? , (0 ? ? ? ? ) ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? 3 由? 得点 B 的极坐标为 (1, ) ,……………9 分 3 ? ? ? 2 cos? , (0 ? ? ? ? ) ? 2 ? 所以, AB ? 1 . ……………10 分
(23)解: (I)由 f ?x? ? 3 ? 2x ?1 得, x ?1 ? 2x ? 1 ? 3 ,即

1 ? ? 1 ?x ? 1 ?x ? ? ?? ? x ? 1 或? 2 或? ,……………3 分 2 ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 3 ? ? ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? 3 ? ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? 3

解得, ? 1 ? x ? ?

1 1 或 ? ? x ? 1. 2 2

所以,集合 A ? ?x ? R | ?1 ? x ? 1? . ……………5 分 (II)? a, b ? A ,? ?1 ? ab ? 1 .

? f ?ab? ? ab ?1 ? 1 ? ab, f ?a? ? a ?1 ? 1 ? a , f ?b? ? b ?1 ? 1 ? b . ……………7 分
? f ?ab? ? ( f ?a ? ? f ?b?) ? 1 ? ab ?1 ? a ? 1 ? b ? ?1 ? a ??1 ? b? ? 0 . ……………9 分 ? f ?ab? ? f ?a? ? f ?b? . ……………10 分


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