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安徽省桐城中学2012-2013学年高一上学期期中考试


桐城中学 2012-2013 学年高一上学期期中考试 数学试题
时间:120 分钟 满分:150 分 命题:高一数学备课组

一.选择题: (每题中仅有一个正确答案,请将正确答案填写在答题卡上。共 10 小题,每 题 5 分,共计 50 分)
2 1.设 A ? ( x, y ) x ? 1 ? ( y ? 2) ? 0 , B ? ??

1,0,1,2?,则 A、 B 两个集合的关系是

?

?

A. A ? B

B. A ? B

C. A ? B

D. A ? B ? ?

2.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是 A. y ?

x2

B. y ?

x2 x

C. y ? a

loga x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? loga a x ( a ? 0且a ? 1)

3.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 A. f ( x) ? 2 ? x B. f ( x) ? 2x ? 3x
2

C. f ( x) ? ?( )

1 2

x

D. f ( x ) ? ?

3 x?2

4.若函数 f (3 x ? 2) ? 3 x ? x ? 2 ,则 f (3) 的值是 A.3 B.6 C.17 D.32

2 5.已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? x ? 1 ,在下列区间中,函数 f ( x) 不 存在零点的是 .

A. [?1,0]

B. [0,1]

C. [2,3]

D. [4,5]

x 6. 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? 2 ? x ? a ( a 为常数) , 则 f (?1) ?

A. ?

3 2

B. 2

C. ? 2

D. ? 1

xa x (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是 7.函数 y ? x

8.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 时再增选一名代表. 那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用 ..6 . 取整函数 y ? [ x] ( [ x ] 表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 A. y ? [

x ] 10

B. y ? [

x?2 ] 10

C. y ? [

x?3 ] 10

D. y ? [ ) .

x?4 ] 10

9.若 (log2 3) x ? (log2 3) ? y ? (log5 3) x ? (log5 3) ? y ,则( A. x ? y ? 0 B. x ? y ? 0 C. x ? y ? 0

D. x ? y ? 0

x 10 .用 min{a,b,c} 表示 a,b,c 三个数中的最小值, 设 f ( x ) =min{ 2 , x ? 2 , 10 ? x }

( x ? 0 ),则 f ( x ) 的最大值为 A.4 B.2 2 C.6 D.10 ? log 2 2 2

二.填空题(请将正确答案填写在答题卡上。共 5 小题,每题 5 分,共计 25 分) 。 11.计算:

2lg 2 ? lg3 ? 1 1 1 ? lg 0.36 ? lg8 2 3 12.函数 f ( x) ? log 1 (3 x ? 2) 的定义域是
2

13.幂函数 y ? (m ? 2m ? 2) x
2

?4 m?2

在 x ? (0,??) 上为减函数,则实数 m 的值是

1 1 ? x? , 0? x? , ? ? 2 2 14.已知 f ( x) ? ? ,则方程 f [ f ( x)] ? x 的解集为 1 ?2(1 ? x), ? x ? 1. ? 2 ?
2 x 15.给出下列四个函数 f ( x ) :① f ( x) ? x ? 1 ,② f ( x) ? 16 x ? 8x ?1 ,③ f ( x) ? e ? 1 ,

④ f ( x) ? ln(4 x ?1) ,若 f ? x ? 的零点与 g ( x) ? 4x ? x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25 , 则符合条件的函数 f ? x ? 的序号是

三.解答与证明(共 6 小题,总计分值 75 分) 。 16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga (3 ? x) (a ? 0 且 a ? 1) 。 (1) .求函数 f ( x) 的定义域; (2) .若函数 f ( x) 的最小值为 ?2 ,求实数 a 的值。

17. (本题 12 分)己知集合 A ? x ? 1 ? x ? 3 , 集合 B ? ? y y ?

?

?

? ?

? 1 , x ? (?3,0) ? (0,1)? , x ?

2 集合 C ? x 2 x ? mx ? 8 ? 0 .

?

?

(1)求 A ? B、A ? (C R B) ( R 为全集);(2)若 ( A ? B) ? C ,求 m 的取值范围.

18. (本题 12 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN , 要求 M 在 AB 的延长线上,N 在 AD 的延长线上, 且对角线 MN 过 C 点. 已知 AB ? 2 米,

AD ? 1米.
(1)设 BM ? x (单位:米),要使花坛 AMPN 的面积大于 9 平方米,求 x 的取值范围; (2)若 x ? [1,3] (单位:米),则当 AM , AN 的长度分别是多少时,花坛 AMPN 的面 积最大?并求出最大面积.

19. (本题 13 分)已知 a ? 1 , f ?log a x ? ? (1)求 f ( x) 的解析式; (2)判断 f ( x) 的奇偶性与单调性;

a x ? x ?1 a ?1
2

?

?

(3)对于 f ( x) ,当 x ? (?1,1)时, f ?1 ? m? ? f ?1 ? 2m? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. (本题 13 分)已知:函数 f ( x ) 对一切实数 x, y 都有 f ( x ? y ) ? f ( y ) ? x( x ? 2 y ? 1) 成 立,且 f (1) ? 0 . (1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式。

(3) 已知 a ? R , 设 P: 当0 ? x ?

1 2 ,2 ] 时, 不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立; Q: 当 x ? [? 2

时, g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数。如果满足使 P 成立的 a 的集合记为 A ,满足使 Q 成立的 ( R 为全集) 。 a 的集合记为 B ,求 A ∩( CR B )

21. (本小题满分 13 分)已知 y ? f ( x) ( x ? D , D 为此函数的定义域)同时满足下列两 个条件:①函数 f ( x ) 在 D 内单调递增或单调递减;②如果存在区间 [a, b] ? D ,使函数

f ( x) 在区间 [a, b] 上的值域为 [a, b] ,那么称 y ? f ( x) , x ? D 为闭函数;
请解答以下问题: (1) 判断函数 f ( x) ? (2) 求证:函数 (3)若 y ? k ?

3 1 x ? ( x ? (0, ??)) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x

y ? ? x3 是闭函数;
x (k ? 0) 是闭函数,求实数 k 的取值范围;

高一数学期中考试试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

(2)令 f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? 8 ,由题意可得 ?

? f (?1) ? 0 10 ,解得 ? 6 ? m ? ? …12 分 3 ? f (3) ? 0

19. (本题 13 分)解: (1)令 loga =t 则 x=a

x

t

? x 2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 0 ? 有两个不等非负实根; ?x ? 0 ?x ? k ?
设 x1 , x2 为方程 x2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 0 的二根,

? ? ? (2k ? 1) 2 ? 4k 2 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 2k ? 1 ? 0 则? ? 2 ? x1 x2 ? k ? 0 ? ?k ? 0

,解得: ?

1 1 ? k ? 0 ? k 的取值范围 (? , 0) . 4 4

…………………………………………13 分


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